1、 2012 年 普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 参考公式： 棱锥的体积 13V Sh ，其中 S 为底面积， h 为高 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1已知集合 1 2 4A ， ， ， 2 4 6B ， ， ，则 AB 2 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 3 4: ，现用分层抽样的方法从该校高中三 个年 级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 名学生 3设 abR， ， 11 7ii 1 2iab （ i 为虚数单位），则 ab 的值 为 4右图是一个算法流程图， 则输出的 k 的值是
2、 5函数 6( ) 1 2 logf x x 的定义域为 6现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3 为公比的 等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ： 1 本试卷共 4 页 ，均为非 选 择 题（ 第 1 题第 20 题，共 20 题 ）。 本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。 考试结束后，请将 本 试卷和答题卡一并交回。 2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色 墨水 的签字笔填写在试卷及 答题卡 的规定位置 。 3 请认真核对监考员 在答题卡上
3、 所粘贴的条形码上的姓名、 准考 证号与您本人是否相符。 4 作答试题 必须用 0.5 毫米黑色 墨水 的签字笔在答题卡的指定位置 作答 ，在其它位置 作答 一律无效。 5 如 需作图 ， 须 用 2B 铅笔 绘、写清楚 ， 线条、符号等须 加黑 、 加粗。 开 始 结束 k1 k2 5k+40 输出 k kk +1 N Y （第 4 题） 7 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ， 3cmAB AD， 1 2cmAA ， 则四棱锥 11A BBDD 的体积为 cm3 8在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 22 2 14xymm 的离心率 为 5 ，则 m 的值为 9如
4、图，在矩形 ABCD 中， 22AB BC， ，点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上，若 2AB AF ，则 AE BF 的值是 10设 ()fx是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 11， 上， 0 1 11() 2 0 1 x x axfx bx x ， ， ， ， 其中 abR， 若 13 22ff ， 则 3ab 的值为 11设 为锐角，若 4cos 65 ，则 4sin 2 12 5 的值为 12 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 22 8 15 0 x y x ，若直线 2y kx上至少存 在 一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有
5、公共点，则 k 的 最大值是 13 已知函数 2( ) ( )f x x ax b a b R，的值域为 0 )， ，若关于 x 的不等式 ()f x c 的 解 集为 ( 6)mm， ，则实数 c 的值为 14已知正数 abc， ， 满足： 4 l n5 3 l nb c a a c cc a c b ， ，则 ba 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在 ABC 中，已知 3AB AC BA BC （ 1）求证： tan 3tanBA ； （ 2）若 5cos 5C
6、， 求 A 的值 A B C E F D D A B C 1C 1D 1A 1B （第 7 题 ） （第 9 题 ） 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 1 1 1AB AC ， DE， 分别是棱 1BC CC， 上的点（点 D 不 同于点 C），且 AD DE F ， 为 11BC 的中点 求证：（ 1）平面 ADE 平面 11BCCB ； （ 2）直线 1 /AF 平面 ADE 17 （本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 xOy， x 轴在地平面上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千 米某 炮位于坐标原点已知炮弹发射后的
7、轨迹在方程 221 (1 ) ( 0 )20y kx k x k 表示的 曲线上， 其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 （ 1）求炮的最大射程； （ 2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超 过多少时，炮弹可以击中 它？请说明理由 18 （本小题满分 16 分） 已知 a， b 是实数， 1 和 1 是函数 32()f x x ax bx 的两个极值点 （ 1）求 a 和 b 的值； （ 2）设函数 ()gx的导函数 ( ) ( ) 2g x f x ，求 ()gx的极值点； （ 3）设 ( ) ( ( )h x f
8、f x c，其中 2 2c， ，求函数 ()y hx 的零点个数 1A 1C （第 16 题 ） F D C A B E 1B x（ 千 米） y（千米） O （第 17 题 ） 19 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22 1( 0)xy abab 的左、右焦点分别为 1( 0)Fc， ， 2( 0)Fc， 已知 (1 )e， 和 32e， 都在椭圆上，其中 e 为椭圆 的离心率 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设 A， B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 1AF 与直线 2BF 平行， 2AF 与 1BF 交于点 P （ i）若 1262AF B
9、F ，求直线 1AF 的斜率； （ ii）求证： 12PF PF 是定值 20 （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的两个数列 na 和 nb 满足： 1 22nnn nnabanab N， （ 1）设 1 1 nn nbbna N， ，求证：数列 2n n ba 是等差数列； （ 2）设 1 2 nn nbbna N， ，且 na 是等比数列，求 1a 和 1b 的值 A B P O 1F 2F x y （第 19 题） 数学（附加题） 21.【选做题】 本大题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定期中两小题，并在相应的 答题区域内作答 ，若多做，则按作答的前两小题评分 . 解答
10、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A. 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图 ， AB 是圆 O 的直径， D , E 为圆 O 上位于 AB 异侧 的两点，连结 BD 并延长至点 C , 使 BD DC ,连结 , , .AC AE DE 求证： .EC 已知矩阵 A 的逆矩阵 1 13- 44= 11 - 22 A ，求矩阵 A 的特征值 . B. 选修 4-4： 坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在坐标系中，已知圆 C 经过点 2, 4P ，圆心为直线 3sin , 32 与极轴 的交点，求圆 C 的极坐标方程 . C. 选修 4-5： 不等式选讲
11、（本小题满分 10 分） 已知实数 ,xy满足： 11, 2 ,36x y x y 求证： 518y . 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 . 请在 答题卡指定区域 内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2.(本小题 满分 10 分 ) 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0 ； 当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 1 . （ 1） 求概率 ( 0)p （ 2） 求 的分布列，并求其数学期望 ()E . 23 （本小题满分 10 分） 设集合 1 2 nPn ， ， ， ， n N 记 ()fn为同时满足下列条件的集合 A 的个数： nAP ； 若 xA ，则 2xA ； 若 nPxA ，则 2 nPxA （ 1）求 (4)f ； （ 2）求 ()fn的解析式（用 n 表示）
