1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -相似的判定解答题（带解析） 解答题 如图，在矩形 ABCD 中， AB=6， BC=8，沿直线 MN 对折，使 A、 C 重合，直线 MN 交 AC 于 O （ 1）求证： COM CBA； （ 2）求线段 OM的长度 答案：（ 1）见 （ 2） 试题分析：（ 1）证明： 沿直线 MN 对折，使 A、 C重合 A与 C关于直线 MN 对称， AC MN， COM=90 在矩形 ABCD中， B=90， COM= B， 又 ACB= ACB， COM CBA； （ 2）解： 在 Rt CBA中， AB=6， BC=8， AC=10， OC=5， COM
2、CBA， ， OM= 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形 情境观察将矩形 ABCD纸片沿对角线 AC 剪开，得到 ABC和 ACD，如图 1所示将 ACD的顶点 A与点 A重合，并绕点 A按逆时针方向旋转，使点 D、 A（ A）、 B在同一条直线上，如图 2所示 观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 _ ， CAC= _ 问题探究 如图 3， ABC中， AG BC 于点 G，以 A为直角顶点，分别以 AB、 AC 为直角边，向 ABC外作等腰 Rt ABE和等
3、腰 Rt ACF，过点 E、 F作射线 GA的垂线，垂足分别为 P、 Q试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论 拓展延伸 如图 4， ABC中， AG BC 于点 G，分别以 AB、 AC 为一边向 ABC外作矩形 ABME和矩形 ACNF，射线 GA交 EF 于点 H若 AB=kAE， AC=kAF，试探究 HE与 HF 之间的数量关系，并说明理由 答案： AD， 90 AFQ CAG HE=HF（具体过程见） 试题分析： 观察图形即可发现 ABC ACD，即 BC=AD， CAD= ACB， CAC=180 CAD CAB=90； 故答案：为： AD， 90 FAQ+ CA
4、G=90， FAQ+ AFQ=90， AFQ= CAG，同理 ACG= FAQ， 又 AF=AC， AFQ CAG， FQ=AG， 同理 EP=AG， FQ=EP HE=HF 理由：过点 E作 EP GA， FQ GA，垂足分别为 P、 Q 四边形 ABME是矩形， BAE=90， BAG+ EAP=90， 又 AG BC， BAG+ ABG=90， ABG= EAP AGB= EPA=90， ABG EAP， AG： EP=AB： EA 同理 ACG FAQ， AG： FQ=AC： FA AB=k AE， AC=k AF， AB： EA=AC： FA=k， AG： EP=AG： FQ EP=
5、FQ 又 EHP= FHQ， EPH= FQH， Rt EPH Rt FQH（ AAS） HE=HF 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质 点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为 180的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证 AFQ CAG是解题的关键 两个全等的直角三角形重叠放在直线 l 上，如图（ 1）， AB=6cm， BC=8cm， ABC=90，将 Rt ABC在直线 l上左右平移，如图（ 2）所示 （ 1）求证：四边形 ACFD是平行四边形； （ 2）怎样移动 Rt ABC，使
6、得四边形 ACFD为菱形； （ 3）将 Rt ABC向左平移 4cm，求四边形 DHCF的面积 答案：（ 1）见 （ 2）故将 Rt ABC向左、右平移 10cm均可使得四边形ACFD为菱形 （ 3） 18cm2 试题分析：（ 1）证明：四边形 ACFD为 Rt ABC平移形成的， 即 AD CF， AC DF，故四边形 ACFD为平行四边形 （ 2）解：要使得四边形 ACFD为菱形，即使 AD=AC 即可， 在 Rt ABC中， AB=6cm， BC=8cm， ABC=90， 根据勾股定理求得 AC= =10cm， 故将 Rt ABC向左、右平移 10cm均可使得四边形 ACFD为菱形； （
7、 3）解：将 Rt ABC向左平移 4cm，即 BE=4cm， 即 EH为 Rt ABC的中位线， 即 H为 DE的中点， 故 CEH的面积均为 6cm2， 故四边形 DHCF的面积为： S DEFS HEC=246=18（ cm2） 答：四边形 DHCF的面积为 18cm2 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；平移的性质 点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了相似三角形的判定，考查了中位线定理，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求证 CEH的面积是解题 的关键 如图，在四边形 ABCD中， BAC= ACD=90， B= D （ 1）求证：四边形
8、ABCD是平行四边形； （ 2）若 AB=3cm， BC=5cm， AE= AB，点 P从 B点出发，以 1cm/s的速度沿BCCDDA 运动至 A点停止，则从运动开始经过多少时间， BEP为等腰三角形？ 答案：（ 1） ABC CDA， AD=BC， AB=CD， 四边形 ABCD是平行四边形 （ 2）从运动开始经过 2s或 s或 s或 s时， BEP为等腰三角形 试题分析：（ 1）证明： 在 ABC和 CDA中 ABC CDA， AD=BC， AB=CD， 四边形 ABCD是平行四边形 （ 2）解： BAC=90， BC=5cm， AB=3cm， 由勾股定理得： AC=4cm， 即 AB、
9、 CD间的最短距离是 4cm， AB=3cm， AE= AB， AE=1cm， BE=2cm， 设经过 ts时， BEP是等腰三角形， 当 P在 BC 上时， BP=EB=2cm， t=2时， BEP是等腰三角形； BP=PE， 作 PM AB于 M， BM=ME= BE=1cm cos ABC= = = ， BP= cm， t= 时， BEP是等腰三角形； BE=PE=2cm， 作 EN BC 于 N，则 BP=2BN， cosB= = ， = ， BN= cm， BP= ， t= 时， BEP是等腰三角形； 当 P在 CD上不能得出等腰三角形， AB、 CD间的最短距离是 4cm， CA
10、AB， CA=4cm， 当 P在 AD上时，只能 BE=EP=2cm， 过 P作 PQ BA于 Q， 平行四边形 ABCD， AD BC， QAD= ABC， BAC= Q=90， QAP ABC， PQ： AQ： AP=4： 3： 5， 设 PQ=4xcm， AQ=3xcm， 在 EPQ 中，由勾股定理得：（ 3x+1） 2+（ 4x） 2=22， x= ， AP=5x= cm， t=5+5+3 = ， 答：从运动开始经过 2s或 s或 s或 s时， BEP为等腰三角形 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 点评：本题主要考
11、查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A的坐标是（ 4， 0），点 B的坐标是（ 0， b）（ b 0） P是直线 AB上的一个动点，作 PC x轴，垂足为 C记点 P 关于 y轴的对称点为 P（点 P不在 y轴上），连接 PP， PA，PC设点 P的横坐标为 a （ 1）当 b=3时， 求直线 AB的式； 若点 P的坐标是（ 1， m），求 m的值； （ 2）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 PC的交点为
12、D当 PD： DC=1： 3 时，求 a的值； （ 3）是否同时存在 a， b，使 PCA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a， b的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） y= x+3 （ 2） a= （ 3）分情况讨论，具体过程见 试题分析：（ 1） 设直线 AB的式为 y=kx+3， 把 x=4， y=0代入得： 4k+3=0， k= ， 直线的式是： y= x+3， 由已知得点 P的坐标是（ 1， m）， m= 1+3= ； （ 2） PP AC， PPD ACD， = ，即 = ， a= ； （ 3）以下分三种情况讨论 当点 P在第一象限时， 1）若 APC=90，
13、PA=PC（如图 1） 过点 P作 PH x轴于点 H PP=CH=AH=PH= AC 2a= （ a+4） a= PH=PC= AC， ACP AOB = = ，即 = ， b=2 2）若 PAC=90，（如图 2），则四边形 PACP是矩形，则 PP=AC 若 PCA为等腰直角三角形，则： PA=CA， 2a=a+4 a=4 PA=PC=AC， ACP AOB = =1，即 =1 b=4 3）若 PCA=90， 则点 P， P都在第一象限内，这与条件矛盾 PCA不可能是以 C为直角顶点的等腰直角三角形 当点 P在第二象限时， PCA为钝角（如图 3），此时 PCA不可能是等腰直角三角形；
14、当 P在第三象限时， PAC为钝角（如图 4），此时 PCA不可能是等腰直角三角形 所有满足条件的 a， b的值为： ， 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数式；等腰直角三角形 点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（ 3）中，要根据 P点的不同位置进行 分类求解 在平面直角坐标系中，己知 O 为坐标原点，点 A（ 3， 0）， B（ 0.4），以点 A为旋转中心，把 ABO 顺时针旋转，得 ACD记旋转角为 ABO为 （ I ）如图 ，当旋转后点 D恰好落在 AB边上时，求点 D的坐标； （ II）如图 ，当旋转后满足 BC x
15、轴时，求 与 之间的数量关系： （ III）当旋转后满足 AOD=时，求直线 CD的式（直接写出结果即可） 答案：（ 1）（ ， ） （ 2） =2 （ 3） y= x4 试题分析：（ 1） 点 A（ 3， 0）， B（ 0， 4），得 OA=3， OB=4， 在 Rt AOB中，由勾股定理，得 AB= =5， 根据题意，有 DA=OA=3 如图 ，过点 D作 DM x轴于点 M， 则 MD OB， ADM ABO有 ， 得 ， OM= ， ， 点 D的坐标为（ ， ） （ 2）如图 ，由已知，得 CAB=， AC=AB， ABC= ACB， 在 ABC中， =1802 ABC， BC x轴，
16、得 OBC=90， ABC=90 ABO=90， =2； （ 3）若顺时针旋转，如图，过点 D 作 DE OA于 E，过点 C 作 CF OA于 F， AOD= ABO=， tan AOD= = ， 设 DE=3x， OE=4x， 则 AE=4x3， 在 Rt ADE中， AD2=AE2+DE2， 9=9x2+（ 4x3） 2， x= ， D（ ， ）， 直线 AD的式为： y= x ， 直线 CD与直线 AD垂直，且过点 D， 设 y= x+b，把 D（ ， ）代入得， = +b， 解得 b=4， 互相垂直的两条直线的斜率的积等于 1， 直线 CD的式为 y= 同理可得直线 CD的另一个式为
17、 y= x4 考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数式；勾股定理；旋转的性质 点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标 如图，在 Rt ABC中， B=90， AB=1， BC= ，以点 C为圆心， CB为半径的弧交 CA于点 D；以点 A为圆心， AD为半径的弧交 AB于点 E （ 1）求 AE的长度； （ 2）分别以点 A、 E为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点 F（ F与 C在 AB两侧），连接 AF、 EF，设 EF 交弧 DE所在的圆于点 G，连接 AG
18、，试猜想 EAG的大小，并说明理由 答案：（ 1） （ 2） 36，理由见 试题分析：（ 1）在 Rt ABC中，由 AB=1， BC= ， 得 AC= = ， 以点 C为圆心， CB为半径的弧交 CA于点 D；以点 A为圆心， AD为半径的弧交 AB于点 E BC=CD， AE=AD， AE=ACCD= ； （ 2） EAG=36，理由如下： FA=FE=AB=1， AE= ， = ， FAE是黄金三角形， F=36， AEF=72， AE=AG， EAG= F=36 考 点：相似三角形的判定与性质；勾股定理 5 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了相似三角形的证明和性质，本
19、题中求证三角形相似是解题的关键 如图，直线 y= x+m（ m0）交 x轴负半轴于点 A、交 y轴正半轴于点 B且AB=5，过点 A作直线 AC AB交 y轴于点 C点 E从坐标原点 O 出发，以 0.8个单位 /秒的速度沿 y轴向上运动；与此同时直线 l从与直线 AC 重合的位置出发，以 1个单位 /秒的速度沿射线 AB方向平行移动直线 l在平移过程中交射线 AB于点 F、交 y轴于点 G设点 E离开坐标原点 O 的时间为 t（ t0） s （ 1）求直线 AC 的式； （ 2）直线 l在平移过程中，请直接写出 BOF为等腰三角形时点 F的坐标； （ 3）直线 l在平移过程中，设点 E到直线
20、 l的距离为 d，求 d与 t的函数关系 答案：（ 1） y= x （ 2） F1（ ， ）、 F2（ ， ）、 F3（ ， 2） （ 3） d= t+ d= t 试题分析：（ 1） y= x+m交 x轴负半轴于点 A、交 y轴正半轴于点 B， B（ 0， m）、 A（ 3， 0） AB=5， m2+32=52， 解得 m=4 m 0， m=4 B（ 0， 4） OB=4 直线 AC AB交 y轴于点 C，易得 BOA AOC， = CO= = = 点 C在 y轴负半轴上， C（ 0， ） 设直线 AC 式为 y=kx+b， A（ 3， 0）， C（ 0， ）， ， 解得 ， y= x ； （
21、 2） F1（ ， ）、 F2（ ， ）、 F3（ ， 2）； （ 3）分两种情况：第一种情况：当 0t5时， 如图，作 ED FG于 D，则 ED=d 由题意， FG AC， = ， AF=t， AB=5， BF=5t B（ 0， 4）， BC=4+ = = BG= （ 5t） OE=0.8t， OB=4， BE=40.8t EG= （ 5t） （ 40.8t） = t FG AB， ED FG， GDE= GFB=90 ED AB = = d= t+ 第二种情况：当 t 5时， 如图（ 2）， 作 ED FG于 D，则 ED=d， 则题意， FG AC， = AF=t， AB=5， BF=
22、t5 B（ 0， 4）， C（ 0， ）， BC=4+ = = BG= （ t5） OE=0.8t， OB=4， BE=0.8t4， EG= （ t5） （ 0.8t4）， = t FG AB， ED FG， GDE= GFB=90， ED AB = = d= t 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数式；两条直线相交或平行问题；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质 点评：此题考查了一次函数的综合；解题的关键是求出各点的坐标，再用各点的坐标求出式，注意（ 3）中分两种情况进行讨论，不要漏掉 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设 BAC=（ 0 90）现把小棒依次摆放在两射线之间
23、，并使小棒两端分别落在射线 AB， AC 上 活动一： 如图甲所示，从点 A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， A1A2为第 1根小棒 数学思考： （ 1）小棒能无限摆下去吗？答： _ （填 “能 ”或 “不能 ”） （ 2）设 AA1=A1A2=A2A3=1 = _ 度； 若记小棒 A2n1A2n的长度为 an（ n为正整数，如 A1A2=a1， A3A4=a2， ）求出此时 a2， a3的值，并直接写出 an（用含 n的式子表示） 活动二： 如图乙所示，从点 A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 A1A2为第 1根小棒，且 A1A2=AA1 数学思考： （ 3）若
24、已经摆放了 3根小棒， 1= _ ， 2= _ ， 3= _ ；（用含 的式子表示） （ 4）若只能摆放 4根小棒，求 的范围 答案：（ 1）能 （ 2） =22.5 （ 3） 1=2， 2=3，3=4 （ 4） 18 22.5 试题分析：（ 1）能 因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去； （ 2） AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2 A2A3 2=45， =22.5 故答案：为 22.5； AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2 A2A3， A1A3= ， AA3= 又 A2A3 A3A4， A1A2 A3A4 同理： A3A4 A5A6， A= AA2A
25、1= AA4A3= AA6A5， AA3=A3A4， AA5=A5A6 a2=A3A4=AA3= ， a3=AA3+A3A5=a2+A3A5 A3A5= a2， a3=A5A6=AA5= ； （ 3） A1A2=AA1 1= A2A1A3=2， 2= A2A4A3=+2=3， 3= A2A4A3+=4， 故答案：为 1=2， 2=3， 3=4； （ 4）由题意得： ， 18 22.5 考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；勾股定理；等腰直角三角形 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相
26、关角的度数等 如图：公路旁有两个高度相等的路灯 AB、 CD数学老师杨柳上午上学时发现路灯 B在太阳光下的影子恰好落到里程碑 E处，他自己的影子恰好落在路灯 CD的底部 C处晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯 CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑 E处 （ 1）在图中画出杨老师的位置（用线段 FG表示），并画出光线，标明（太阳光、灯光）； （ 2）若上午上学时候高 1米的木棒的影子为 2米，杨老师身高为 1.5米，他离里程碑 E恰 5米，求路灯高 答案：（ 1）见 （ 2） 2.4 试题分析：（ 1） （ 2） 上午上学时候高 1米的木棒的影子为 2米，杨老师身高为 1.5米， 杨老
27、 师的影长 CF为 3米， GF AC， DC AC， GF CD， EGF EDC， = ， = ， 解得 CD=2.4 考点：中心投影；相似三角形的判定与性质 点评：综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例 如图，小明家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C射进房间的地板 F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D射进房间的地板 E处，小明测得窗子距地面的高度 OD=0.8m，窗高 CD=1.2m，并测得 OE=0.8m， OF=3m，求围墙 AB
28、的高度 答案： .4m 试题分析：延长 OD， DO BF， DOE=90， OD=0.8m， OE=0.8m， DEB=45， AB BF， BAE=45， AB=BE， 设 AB=EB=xm， AB BF， CO BF， AB CO， ABF COF， = ， = ， 解得： x=4.4m 经检验： x=4.4是原方程的解 答：围墙 AB的高度是 4.4m 考 点：中心投影；相似三角形的判定与性质 点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明 ABF COF 正方形 ABCD中， E为 AD上的一点（不与 A、 D点重合）， AD
29、=nAE，BE的垂直平分线分别交 AB、 CD于 F、 G两点，垂足为 H （ 1）如图 1，当 n=2时，则 = _ ； （ 2）如图 1，当 n=2时，求 的值； （ 3）延长 FG交 BC 的延长线于 M（如图 2），直接填空：当 n= _ 时， 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）如图 1，过点 H作 HM AD于 M BE的垂直平分线分别交 AB、 CD于 F、 G两点， HM AD， MH是 ABE的中位线， AM=ME； AD=2AE， AM= DM， = = （平行线分线段成比例定理）， 故答案：为： ； （ 2）如图 2，连接 EG、 BG ABCD是正方形
30、， AB=BC=CD=AD， A= D= C=90 设 AB=BC=CD=AD=4x， CG=y 当 n=2时， AD=2AE， AE=ED=2x； 在 Rt EDG中， EG2=ED2+DG2（勾股定理） ， 即 EG2=（ 2x） 2+（ 4xy） 2 在 Rt BCG中， BG2=BC2+CG2， 即 BG2=（ 4x） 2+y2 FG垂直平分 BE， EG=BG （ 2x） 2+（ 4xy） 2=（ 4x） 2+y2 得 y= ， DG=DCCG= FH BE， BHF=90 可得 Rt BHF Rt BAE，可得 BF= ； （ 3） n= 考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质
31、；相似三角形的判定与性质 点评：本题综合考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点要充分利用好正方形的性质，通过已知和所求的条件构建出相似三角形来求解是解题的关键 已知等边 ABC和 Rt DEF按如图所示的位置放置，点 B， D重合，且点E、 B（ D）、 C在同一条直线上其中 E=90， EDF=30， AB=DE= ，现将 DEF沿直线 BC 以每秒 个单位向右平移，直至 E点与 C点重合时停止运动，设运动时间为 t秒 （ 1）试求出在平移过程中，点 F落在 ABC的边上时的 t值； （ 2）试求出在平移过程中 ABC和 Rt DEF重叠部分的面积 s与 t的函数关系
32、式； （ 3）当 D与 C重合时，点 H为直线 DF 上一动点，现将 DBH绕点 D顺时针旋转 60得到 ACK，则是否存在点 H使得 BHK 的面积为 ？若存在，试求出 CH的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） 8或 10 （ 2） s= （ 12t） 2 （ 3）见http:/ 试题分析：（ 1）当 F在边 AB上时，如图（ 1），作 AM BC，则 AM=AB= 6 =9， AM BC， FEB=90 EF AM， BEF BMA， = ，即 = ，解得： BE=2 ，则移动的距离是： 6 +2 =8 ，则t= =8； 当 F在 AC 上时，如图（ 2）同理可得： EC=2 ，则移
33、动的距离是： 26 2=12 2 =10 ，则 t= =10， 故 t的值是： 8或 10； （ 2）当 0 t6时，重合部分是三角形，如图（ 3），设 AB与 BE交于点 N， 则 BD= t， 则 NB= BD= t， ND= BD= t= t，则 s= NB ND= t t= t2； 当 6 t 10时，如图（ 4），则 CD= t6 ， TCB=60， D=30 DTC=30， D= DTC， TC=CD= t6 ， 则在直角 THC中， TH= TC= （ t6 ） = t9， 则 s=18 CD TH=18 （ t6 ）（ t9） = （ t6） 2+18； 当 10t 12时，重
34、合部分如图（ 5）， EC=12 t， 则直角 ECJ中， EJ= EC= （ 12 t）， 则 s= EC EJ= （ 12 t） 2= （ 12t） 2 （ 3）当 B， H， K 在一条直线上时， CH=CK=BC tan30=6 =6， 设 CH=x，作 HL BC 于点 L，则 HL= x， CKH是边长是 x的等边三角形，则面积是 x2， BCH的面积是： BC HL=3 x= x， BCK 的面积是： 3 x 当 0 CH 6时， BHK 的面积 = BCK 的面积 CKH的面积 BCH的面积，即 3 x x x2=4 ，方程无解 当 CH 6时， BHK 的面积 = CKH的面
35、积 + BCH的面积 BCK 的面积，即 x2+http:/ 已知：点 P为正方形 ABCD内部一点，且 BPC=90，过点 P的直线分别交边 AB、边 CD于点 E、点 F （ 1）如图 1，当 PC=PB时，则 S PBE、 S PCF S BPC之间的数量关系为 _ ； （ 2）如图 2，当 PC=2PB时，求证： 16S PBE+S PCF=4S BPG； （ 3）在（ 2）的条件下， Q 为 AD边上一点，且 PQF=90，连接 BD， BD交QF于点 N，若 S bpc=80， BE=6求线段 DN 的长 答案：（ 1） S PBE+S PCF=S BPC； （ 2）见 （ 3）
36、DN=2 或 3 试题分析：（ 1）如图 1所示：过点 P作 PI BC 于点 I， PB=PC， PI BE CF， PI是梯形 BCFE的中位线， PI= （ BE+CF）， PBC是等腰直角三角形， PI=AB=CI， S PBE+S PCF= BE BI+ CF CI= BE BC+ CF BC= BC（ BE+CF） = BC PI=S PBC； 故答案：为： S PBE+S PCF=S BPC； （ 2）如图 2，过点 P作 PG EF 交 BC 于点 G， EPG=90， BPC=90， EPB+ BPG=90， BPG+ CPG=90， EPB= CPG， 同理， EBP+ P
37、BC=90， PBC+ BCP=90， EBP= BCP， EPB GPC， PC=2PB， =（ ） 2= S GPC=4S EPB， 同理可得 S FPC=4S GPB， S PBG+S PGC=S BPC， 16S PBE+S PFC=4S BPC； （ 3）如图 3，设正方形的边长为 a（ a 0）， BPC=90， PC=2PB， S BPC=80， =80，解得 a=20， 由（ 2）知， EPB GPC， CG=2BE=12， BG=8， CF=16， DF=4， 过点 P作 PM AB交 BC 于点 M交 AD于点 H，过点 P作 PT CD于 T， PM BC， BC=20，
38、 S BPC=80， PM=8， PH=12， PT=16， FT=8， PQF=90， 由勾股定理得，（ HQ2+HP2） +（ DQ2+DF2） =PT2+TF2，即（ 16DQ） 2+122+（ DQ2+42） =162+82，解得 DQ=4或 DQ=12， 当 DQ=4时， DQ=DF=4， PQF=90， DN 为 QDF的角平分线， DN= QD=2 ； 当 DQ=12时，过点 N 作 NN1 QD于 N1， QOF=90， DN 为 QDF的角平分线， QDN=45， NN1 AD， NN1=N1D， QDF QN1N， = ， = ，解得 NN1=3， DN= = =3 ， 综
39、上所述， DN=2 或 3 考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查的是相似形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再利用相似三角形的性质进行解答 在 ABC中， BAC=90， AB AC， M是 BC 边的中点， MN BC 交 AC于点 N动点 P从点 B出发沿射线 BA以每秒 厘米的速度运动同时，动点Q 从点 N 出发沿射线 NC运动，且始终保持 MQAMP设运动时间为 t秒（ t 0） （ 1） PBM与 QNM相似吗？以图 1为例说明理由： （ 2）若
40、 ABC=60， AB=4 厘米 求动点 Q 的运动速度； 设 APQ 的面积为 S（平方厘米），求 S与 t的函数关系式 答案：（ 1）相似 （ 2） 每秒钟 1cm S= 试题分析：（ 1）相似 证明： MN BC 交 AC 于点 N， MQAMP， BMN= PMQ=90， 即 BMP+ PMN= PMN+ NMQ， PMB= NMQ， ABC与 MNC中， C= C， A= NMC=90， ABC MNC， B= MNC， PBM QNM； （ 2） 在直角 ABC中， ABC=60， AB=4 厘米， 则 BC=8 cm， AC=12cm 由 M为 BC 中点，得 BM=CM=4 ，
41、 若 BP= cm 在 Rt CMN 中， CMN=90， MCN=30， NC= =8cm， PBM QNM， = ， 即 NQ=1， 则求动点 Q 的运动速度是每秒钟 1cm AP=ABBP=4 t， AQ=AN+NQ=ACNC+NQ=128+t=4+t， 则当 0 t 4时， APQ 的面积为： S= AP AQ= （ 4 t）（ 4+t） =， 当 t 4时， AP= t4 =（ t4） 则 APQ 的面积为： S= AP AQ= （ t4 ）（ 4+t） = 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及相似三角形与函数的综合应用，利用时间 t正确表示出题目中线段的长度是解题的关键 如图， ABC 和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形， BAC= EDF=90， DEF的顶点 E与 ABC的斜边 BC 的中点重合将 DEF绕点 E旋转，旋转过程中，线段 DE与线段 AB相交于点 P，线段 EF 与射线 CA相交于点 Q （ 1）如图 ，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证： BPE C
