1、2011年安徽省中考压轴题预测试数学卷 解答题 如图，抛物线 与 x轴交 A、 B两点（ A点在 B点左侧），直线 与抛物线交于 A、 C两点，其中 C点的横坐标为 2 【小题 1】求 A、 B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； 【小题 2】 P是线段 AC 上的一个动点，过 P点作 y轴的平行线交 抛物线于 E点，求线段 PE长度的最大值； 【小题 3】点 G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F， 使 A、 C、 F、 G这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由 答案： 【小题 1】令 y=0，解得 或 A（
2、-1， 0） B（ 3， 0）； （ 2分） 将 C点的横坐标 x=2代入 得 y=-3， C（ 2， -3）（ 1分） 直线 AC 的函数式是 y=-x-1 （ 1分） 【小题 2】设 P点的横坐标为 x（ -1x2）（注： x的范围不写不扣分） 则 P、 E的坐标分别为： P（ x， -x-1）， E（ P点在 E点的上方， PE= （ 2分） =-(x-1/2)2+9/4 （ 1分） 当 时， PE的最大值 = （ 1分） 【小题 3】存在 4个这样的点 F，分别是 F1（ 1， 0） F2（ -3， 0） F3（ +4 ， 0） F4（ - +4 ， 0） (共 4分，对 1个得 1分
3、 ) 如图，抛物线 （ a 0）与反比例函数 的图像相交于点 A，B. 已知点 A的坐标为（ 1， 4），点 B（ t， q）在第三象限内，且 AOB的面积为 3（ O 为坐标原点） 【小题 1】求反比例函数的式 【小题 2】用含 t的代数式表示直线 AB的式； 【小题 3】求抛物线的式； 【小题 4】过抛物线上点 A作直线 AC x轴，交抛物线于另一点 C，把 AOB绕点 O 逆时针旋转 90o，请在图 中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足 EOC AOB的点 E的坐标 . 答案： 【小题 1】因为 点 A（ 1， 4）在反比例函数 上， 所以 k=4. 故反比例函数表达式为 . 【小题
4、 2】设点 B（ t， ）， ， AB所在直线的函数表达式为 ，则有 解得 ， . 直线 AB的式为 y= - x+ 3 分 【小题 3】直线 AB与 y轴的交点坐标为 ，故 ，整理得 ， 解得 ，或 t （舍去）所以点 B的坐标为（ ， ） 因为点 A， B都在抛物线 （ a 0）上，所以 解得所以抛物线的式为 y=x2+3x 4 分 【小题 4】画出图形 2 分 点 的坐标是（ 8， ），或（ 2， ） 2 分 如图 1，在 中， ， ， ，另有一等腰梯形 （ ）的底边 与 重合，两腰分别落在 AB、 AC 上，且G、 F分别是 AB、 AC 的中点 【小题 1】直接写出 AGF 与 AB
5、C的面积的比值； 【小题 2】操作：固定 ，将等腰梯形 以每秒 1个单位的速度沿方向向右运动，直到点 与点 重合时停止设运动时间为 秒，运动后的等腰梯形为 （如图 2） 探究 1：在运动过程中，四边形 能否是菱形？若能，请求出此时 的值；若不能，请说明理由 探究 2：设在运动过程中 与等腰梯形 重叠部分的面积为 ，求与 的函数关系式 答案： 【小题 1】 AGF 与 ABC的面积比是 1： 【小题 2】 能为菱形 （ 1分） 由于 FC ， CE ， 四边形 是平行四边形 （ 1分） 当 时，四边形 为菱形， ( 1分 ) 此时可求得 当 秒时，四边形 为 (1分 ) 分两种情况： 当 时，
6、如图 3过点 作 于 ， ， ， 为 中点， 又 分别为 的中点， ( 1分 ) 等腰梯形 的面积为 6 ， 重叠部分的面积为： ( 1分 ) 当 时， 与 的函数关系式为 ( 1分 ) 当 时， 设 与 交于点 ，则 ， ， 作 于 ，则 ( 1分 ) 重叠部分的面积为： 综上，当 时， 与 的函数关系式为 ；当时， ( 1分 ) 如图，已知抛物线与 x轴交于点 A(-2,0),B(4,0)，与 y轴交于点 C(0,8) 【小题 1】求抛物线的式及其顶点 D的坐标 【小题 2】设直线 CD交 x轴于点 E，过点 B作 x轴的垂线，交直线 CD于点 F，在坐标平面内找一点 G，使以点 G、 F
7、、 C为顶点的三角形与 COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点 G的坐标； 【小题 3】在线段 OB的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P到直线 CD的距离等于点 P到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由； 【小题 4】将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？ 答案： 【小题 1】设抛物线式为 ， 把 代入得 1 分 ，顶点 2 分 【小题 2】 G(4,8), G(8,8), G(4,4)3 分 【小题 3】 假设满足条件的点 存在，依题意设 ， 由 求得直线 的式为 1 分 它与 轴的
8、夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 则 ，点 到 的距离为 又 平方并整理得： ， 1 分 存在满足条件的点 ， 的坐标为 1 分 【小题 4】由上求得 抛物线向上平移，可设式为 当 时， 当 时， 或 1 分 向上最多可平移 72个单位长。 2 分 如图，在菱形 ABCD中， AB=2cm， BAD=60， E为 CD边中点，点 P从点 A开始沿 AC 方向以每秒 cm的速度运动，同时，点 Q 从点 D出发沿 DB方向以每秒 1cm的速度运动，当点 P到达点 C时， P， Q 同时停止运动，设运动的时间为 x秒 . 【小题 1】当点 P在线段 AO 上运动时 . 请用含 x的代数式表示 OP
9、的长度； 若记四边形 PBEQ 的面积为 y，求 y关于 x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 【小题 2】显然，当 x=0时，四边形 PBEQ 即梯形 ABED，请问，当 P在线段AC 的其他位置时，以 P， B， E， Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 x的值；若不能，请说明理由 . 答案： 【小题 1】 由题意得 BAO=30， AC BD AB=2 OB=OD=1， OA=OC= OP= 2 分 过点 E作 EH BD，则 EH为 COD的中位线 DQ=x BQ=2-x 1 分 1 分 2 分 【小题 2】能成为梯形，分三种情况： 当 PQ BE时， P
10、QO= DBE=30 即 x= 此时 PB不平行 QE， x= 时，四边形 PBEQ 为梯形 . 2 分 当 PE BQ 时， P为 OC中点 AP= ，即 此时， BQ=2-x= PE， x= 时，四边形 PEQB为梯形 . 2 分 当 EQ BP 时， QEH BPO x=1（ x=0舍去） 此时， BQ 不平行于 PE， x=1时，四边形 PEQB为梯形 . 2 分 综上所述，当 x= 或 或 1时，以 P， B， E， Q 为顶点的四边形是梯形 . 如图，抛物线 交 轴于 A、 B两点（ A点在 B点左侧），交 轴于点 C，已知 B（ 8， 0）， ， ABC的面积为 8. 【小题 1
11、】求抛物线的式； 【小题 2】若动直线 EF（ EF 轴）从点 C开始，以每秒 1个长度单位的速度沿 轴负方向平移，且交 轴、线段 BC 于 E、 F两点，动点 P同时从点 B出发，在线段 OB上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动。连结 FP，设运动时间 秒。当 为何值时， 的值最大，并求出最大值； 【小题 3】在满足（ 2）的条件下，是否存在 的值，使以 P、 B、 F为顶点的三角形与 ABC相似。若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由。 答案： 【小题 1】由题意知 COB = 90B(8， 0) OB=8 在 Rt OBC中 tan ABC = OC= OBtan ABC =
12、8 =4 C(0,4) AB = 4 A(4,0) 把 A、 B、 C三点的坐标带入 得 解得所以抛物线的式为 。 【小题 2】 C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) ( t 0) OC = 4 OB = 8 CE = t BP=2t OP =8-2t EF / OB CEF COB 则有 得 EF = 2t = 当 t=2时 有最大值 2. 【小题 3】存在符合条件的 t值，使 PBF与 ABC相似。 C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) F(2t , 4 - t ) P ( 8-2t , 0 ) ( t 0) AB = 4 B
13、P=2t BF = OC = 4 OB = 8 BC = 当点 P与 A、 F与 C对应 则 ，代入得 解得 当点 P与 C、 F与 A对应 则 ，代入得 解得（不合题意，舍去） 综上所述：符合条件的 和 。 如图， P为正方形 ABCD的对称中心，正方形 ABCD的边长为 ,。直线 OP交 AB于 N， DC 于 M，点 H从原点 O 出发沿 x轴的正半轴方向以 1个单位每秒速度运动，同时，点 R从 O 出发沿 OM方向以 个单位每秒速度运动，运动时间为 t。求： 【小题 1】分别写出 A、 C、 D、 P的坐标； 【小题 2】当 t为何值时， ANO 与 DMR相似？ 【小题 3】 HCR
14、面积 S与 t的函数关系式；并求以 A、 B、 C、 R为顶点的 四边形是梯形时 t的值及 S的最大值。 答案： 平面直角坐标系中，点 A、 B、 C在 x轴上，点 D、 E在 y轴上， OA=OD=2，OC=OE=4， B为线段 OA的中点，直线 AD与经过 B、 E、 C三点的抛物线交于F、 G 两点，与其对称轴交于 M，点 P 为线段 FG 上一个动点 (与 F、 G 不重合 )，PQ y轴与抛物线交于点 Q。 【小题 1】求经过 B、 E、 C三点的抛物线的式； 【小题 2】判断 BDC的形状，并给出证明；当 P在什么位置时，以 P、 O、 C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点
15、P的坐标 【小题 3】若抛物线的顶点为 N，连接 QN，探究四边形 PMNQ 的形状： 能否成为菱形； 能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点 P的坐标；若不能，请说明理由。 答案： 【小题 1】 B(-1,0) E(0,4) C(4， 0) 设式是 可得 解 得 （ 2分） 【小题 2】 BDC是直角三角形 （ 1分） BD2=BO2+DO2=5 , DC2=DO2+CO2=20 ,BC2=(BO+CO)2=25 BD2+ DC2= BC2 （ 1分） BDC是 Rt 点 A坐标是（ -2,0），点 D坐标是（ 0,2）直线 AD的式是 （ 1分） 设点 P坐标是（ x， x+2） 当 OP=
16、OC 时 x2+(x+2)2=16 解得 （ 不符合，舍去）此时点P（ ） 当 PC=OC 时 方程无解 当 PO=PC 时，点 P在 OC的中垂线上， 点 P横坐标是 2， 得点 P坐标是（ 2,4） 当 POC 是等腰三角形时，点 P坐标是（ ）或（ 2,4） （ 2分） （ 1） 【小题 3】点 M坐标是（ ） N 坐标是（ ） MN= 设点 P 为（ x， x+2） Q(x,-x2+3x+4),则 PQ= 若 PQNM是菱形，则 PQ=MN，可得 x1=0.5 x2=1.5 当 x2=1.5时，点 P与点 M重合；当 x1=0.5时，可求得 PM= ，所以菱形不存在（ 2分） 能成为等
17、腰梯形，此时点 P的坐标是（ 2.5,4.5）（ 2分） 如图，在平面直角坐标系 xoy中，矩型 ABCD的边 AB在 x轴上，且 AB=3，BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y轴于点 G 【小题 1】点 C、 D的坐标分别是 C（ ） ， D（ ） 【小题 2】求顶点在直线 y= 上且经过点 C、 D的抛物线的式 【小题 3】将（ 2）中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后的抛物线交 y轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y轴右侧）。平移后是否存在这样的抛物线，使 EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的式；若不存在，请说明理由。 答案： 【小题 1】 【小题 2】由二次函数对称性得顶
18、点横坐标为 ，代入一次函数，得顶点坐标为（ ， ）， 设抛物线式为 ，把点 代入得， 式为 【小题 3】设顶点 E在直线上运动的横坐标为 m，则 2 可设式为 当 FG=EG时， FG=EG=2m，代入式得： ，得 m=0(舍去 )， ， 2 此时所求的式为： ； 当 GE=EF时，FG=4m， 代入式得： ，得 m=0(舍去 )， ， 2 此时所求的式为： ； 当 FG=FE时，不存在； 已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1， 将 AOC沿 AC 翻折得 APC. 【小题 1】求 PCB的度数 【小题 2】若 P， A两点在抛物线 y=- x2+bx+c上，求 b， c的值
19、，并 说明点 C在此抛物线上； 【小题 3】（ 2）中的抛物线与矩形 OABC 边 CB相交于点 D，与 x轴相交 于另外一点 E，若点 M是 x轴上的点， N 是 y轴上的点，以点 E、 M、 D、 N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点 M、 N 的坐标 . 答案： 【小题 1】 PCB=30 【小题 2】 点 C（ 0， 1）满足上述函数关系式，所以点 C在抛物线上 . 【小题 3】 、若 DE是平行四边形的对角线，点 C在 y轴上， CD平行 x轴， 过点 D作 DM CE交 x轴于 M,则四边形 EMDC为平行四边形， 把 y=1代入抛物线式得点 D的坐标为（ ， 1） 把 y=0代
20、入抛物线式得点 E的坐标为（ ， 0） M( ,0);N 点即为 C点，坐标是 (0,1); 9 分 、若 DE是平行四边形的边， 则 DE=2, DEF=30, 过点 A作 AN DE交 y轴于 N，四边形 DANE是平行四边形， M( ,0),N(0,-1); 11 分 同理过点 C作 CM DE交 y轴于 N，四边形 CMDE是平行四边形， M( ,0),N(0, 1). 12 分 考点：二次函数综合题 分析：（ 1）根据 OC、 OA的长，可求得 OCA= ACP=60（折叠的性质）， BCA= OAC=30，由此可判断出 PCB的度数 （ 2）过 P作 PQ OA于 Q，在 Rt P
21、AQ 中，易知 PA=OA=3，而 PAO=2 PAC=60，即可求出 AQ、 PQ 的长，进而可得到点 P 的坐标，将 P、A坐标代入抛物线的式中，即可得到 b、 c的值，从而确定抛物线的式，然后将C点坐标代入抛物线的式中进行验证即可 （ 3）根据抛物线的式易求得 C、 D、 E点的坐标，然后分两种情况考虑： DE是平行四边形的对角线，由于 CD x轴，且 C在 y轴上，若过 D作直线CE的平行线，那么此直线与 x轴的交点即为 M点，而 N 点即为 C点， D、 E的坐标已经求得，结合平行四边形的性质即可得到点 M的坐标，而 C点坐标已知，即可得到 N 点的坐标； DE是平行四边形的边，由于
22、 A在 x轴上，过 A作 DE的平行线，与 y轴的交点即为 N 点，而 M点即为 A点；易求得 DEA的度数，即可得到 NAO 的度数，已知 OA 的长，通过解直角三角形可求得 ON 的值，从而确定 N 点的坐标，而 M点与 A点重合，其坐标已知； 同理，由于 C在 y轴上，且 CD x轴，过 C作 DE的平行线，也可找到符合条件的 M、 N 点，解法同上 解：（ 1）在 Rt OAC中， OA= ， OC=1，则 OAC=30， OCA=60； 根据折叠的性质知： OA=AP= ， ACO= ACP=60； BCA= OAC=30，且 ACP=60， PCB=30 （ 2）过 P作 PQ O
23、A于 Q； Rt PAQ 中， PAQ=60， AP= ； OQ=AQ= ， PQ= ， 所以 P（ ， ）； 将 P、 A代入抛物线的式中，得： ， 解得 ； 即 y=- x2+ x+1； 当 x=0时， y=1，故 C（ 0， 1）在抛物线的图象上 （ 3） 若 DE是平行四边形的对角线，点 C在 y轴上， CD平行 x轴， 过点 D作 DM CE交 x轴于 M，则四边形 EMDC为平行四边形， 把 y=1代入抛物线式得点 D的坐标为（ ， 1） 把 y=0代入抛物线式得点 E的坐标为（ - ， 0） M（ ， 0）； N 点即为 C点，坐标是（ 0， 1）； 若 DE是平行四边形的边， 过点 A作 AN DE交 y轴于 N，四边形 DANE是平行四边形， DE=AN= = =2， tan EAN= = ， EAN=30， DEA= EAN， DEA=30， M（， 0）， N（ 0， -1）； 同理过点 C作 CM DE交 y轴于 N，四边形 CMDE是平行四边形， M（ - ， 0）， N（ 0， 1）
