1、2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（山东威海） 解答题 如图，在 ABCD中， BE AD于点 E， BF CD于点 F， AC与 BE、 BF分别交于点 G， H。 （ 1）求证： BAE BCF （ 2）若 BG BH，求证四边形 ABCD是菱形 答案： （ 1）略 （ 2）略 如图，有一直径是 1米的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角是 120的扇形 ABC，求： （ 1）被剪掉阴影部分的面积。 （ 2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？ 答案： （ 1） （ 2） 解：（ 1）设 O为圆心，连 OA、 OB （ 1） OA OC OB AB AC ABO
2、ACO （ sss） 又 BAC 120 BAO CAO 60 ABO是等边三角形 AB （ 3） S 扇形 ABC （ ） （ 5） S 阴影 ( )2- （ 6） （ 2）在扇形 ABC中， 的长为 （ 7） 设底面圆的半径为 r。 则 2r （ 8） r （ 9） 玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需 6周完成，共需装修费为 5.2万元；若甲公司单独做 4周后，剩下的由乙公司来做，还需 9周才能完成，共需装修费 4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成。 （ 1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ （ 2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由。 答
3、案： （ 1）甲公司 （ 2）乙公司 如图， O是 ABC的外接圆， A 30， AB是 O的直径，过点 C作 O的切线，交 AB延长线于 D， CD 3 cm， （ 1）求 O的直径。 （ 2）若动点 M以 3cm/s的速度从点 A出发沿 AB方向运动。同时点 N以1.5cm/s的速度从 B点出发沿 BC方向运动。设运动的时间为 t(0t2)，连结MN，当 t为何值时 BMN为 Rt？并求此时该三角形的面积？ 答案： （ 1） 6cm （ 2） （ cm2） （ 1）解： AB是 O的直径 . ACB 90 （ 0.5） 又 A 30 ABC 60 （ 1） 连接 OC，因 CD切 O于 C
4、，则 OCD 90 （ 2） 在 OBC中 OB OC， ABC 60 OCB 60 BCD 30 （ 2.5） 又 OBC BCD D D 30 （ 3） AC CD 3 （ 3.5） 在 Rt ABC中， cosA AB 6（ cm） （ 5） （ 2） BMN中， 当 BNM 90时， cos MBC 即 cos60 t 1 （ 6） 此时 BM 3 BN 1.5 MN （ 7） S BMN BN MN （ cm2） （ 8） 当 NMB 90时， cos MBC 即 cos60 t 1.6 （ 9） 此时 BM BN MN （ 10） S BMN BM MN （ cm2） （ 11）
5、如图，在直角坐标平面内， O为坐标原点， A点的坐标为（ 1， 0）， B点在x轴上且在点 A的右侧， AB OA，过点 A和 B作 x轴的垂线分别交二次函数y x2的图象于点 C 和 D，直线 OC交 BD于 M，直线 CD交 y轴于点 H。记 C、D的横坐标分别为 xC， xD，点 H的纵坐标 yH。 （ 1）证明： S CMD S梯形 ABMC 2 3 xC xD -yH （ 2）若将上述 A点坐标（ 1， 0）改为 A点坐标（ t， 0）， t 0，其他条件不变，结论 S CMD： S 梯形 ABMC 2 3是否仍成立？请说明理由。 （ 3）若 A的坐标（ t， 0）（ t 0），又将
6、条件 yx2改为 y ax2（ a 0），其他条件不变，那么 XC、 XD和 yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。 答案： （ 1）略 （ 2）成立 （ 3） xC xD - yH. 解：（ 1）由已知可得点 B的坐标为（ 2， 0）点 C的坐标为（ 1， 1），点 D的坐标为（ 2， 4），且直线 OC的函数式为 y x。 点 M 的坐标为（ 2， 2），易得 S CMD 1， S 梯形 ABMC （ 1.5） S CMD S 梯形 ABMC 2 3，即结论 成立。 设直线 CD的函数式为 y kx b，则 即 直线 CD的式为 y 3x-2。 由上述可得点 H的坐标为（ 0， -2
7、），即 yH -2 （ 2.5） xC xD -yH. 即结论 成立 （ 3） （ 2）结论 S CMD： S 梯形 ABMC 2:3仍成立 . （ 4） 理由如下： 点 A的坐标为（ t， 0），（ t 0） . 则点 B的坐标为（ 2t， 0） 从而点 C的坐标为（ t， t2），点 D的坐标为（ 2t， 4t2） . 设直线 OC的式为 y kx，则 t2 kt 得 k t 直线 OC的式为 y tx （ 5） 又设 M的坐标为（ 2t， y） 点 M在直线 OC上 当 x 2t时， y 2t2 点 M的坐标为（ 2t， 2t2） （ 6） S CMD： S 梯形 ABMC 2t2 t （ t2 2t2） t t3 （ t3） （ 7） （ 3） xC， xD和 yH有关数量关系 xC xD - yH. （ 8） 由题意，当二次函数的式为 y ax2（ a 0），且点 A的坐标为（ t， 0）时，点C的坐标为（ t， at2），点 D的坐标为（ 2t， 4at2） （ 9） 设直线 CD的式为 y kx b 则 得 CD的式为 y 3atx-2at2 （ 11） 则 H的坐标为（ 0， -2at2）即 yH -2at2 （ 11.5） xC xD t 2t 2t2 （ 12） xC xD - yH.
