1、2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（山东青岛） 选择题 若 (x+4)(x-2)=x2+px+q，则 p、 q的值是 A 2、 -8 B -2、 8 C -2、 -8 D 2、 8 答案： A 一个正方形的边长增加了 2cm，面积相应增加了 32cm2，则这个正方形的边长为 A 6cm B 5cm C 7cm D 8cm 答案： C 下列因式分解正确的是 A x2-9=(x-3)2 B -1+4a2=(2a+1)(2a-1) C 8ab-2a2=a(8b-2a) D 2x2-4x+2=2(x2-2x+1) 答案： B 试题考查知识点：因式分解 思路分析：根据所给式子选择恰当的方法。
2、具体解答过程： A、利用平方差公式： x2-9=(x+3)(x-3) B利用平方差公式： -1+4a2=4a2-1=(2a+1)(2a-1) C.利用提公因式法： 8ab-2a2=2a 4b-2a a=2a(4b-a) D.先提公因式，再利用完全平方公式： 2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2 与所给选项一一对比，不难看出只有 B是正确的。 故选 B 试题点评：灵活运用因式分解方法，直至结果分解彻底。 若 (a+2b)2=(a-2b)2+M，则 M= . 答案： ab 计算 (0.5105)3(4103)2的结果是 A 21013 B 0.51014 C 21021 D 81
3、021 答案： C 计算 (2x)3x 的结果是 A 8x2 B 6x2 C 8x3 D 6x3 答案： A 下列计算正确的是 A 2a5-a5=2 B a2 a3=a5 C a10a 2=a5 D (a2)3=a5 答案： B 试题考查知识点：有关幂的运算 思路分析：在加减法中，只有同类项才能合并；在同底数幂乘除法中，底数不变，指数相加减；在幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘。 具体解答过程： A 2a5-a5=（ 2-1） a5= a5 B a2 a3=a2+3= a5 C a10a 2=a10-2= a8 D (a2)3=a23= a6 把这些运算结果与题目中所给的结果对比，不难发现，只
4、有选项 B是正确的。 故选 B 试题点评：把握运算法则，才能得到正确结果。 若 8n（ n为大于 0的自然数）的算术平方根是整数，则正整数 n的最小值为 A 1 B 2 C 4 D 8 答案： B 在下列实数中，无理数是 A B 3.14 C D 答案： C 在下列实数中，无理数是 A B 3.14 C D 答案： C 下列说法中，正确的是 A =4 B -32的算术平方根是 3 C 1的立方根是 1 D - 是 7的一个平方根 答案： D 试题考查知识点：平方根、算数平方根、立方根 思路分析：严格按照定义来分析 具体解答过程： A 表示 16的算数平方根， =4； B. -32=-9 0，是
5、没有算术平方根的； C. 只有 13=1，而（ -1） 3=-1 1的立方根是 1； D. （ - ） 2=7 - 是 7的一个平方根 综上所述，并与所给选项对比可知，只有 D的说法是正确的。 故选 D 试题点评：把握定义，注意区分。 4的平方根是 A 2 B C 2 D 16 答案： A 填空题 2x ( )=-6x3y. 答案： -3x2y 试题考查知识点：单项式的乘除法的转换 思路分析：已知一个因式和积，求另一个因式，用除法。 具体解答过程： =- = 试题点评：这是一道关于单项式的基础题目。 64的立方根是 . 答案： 用计算器计算（结果精确到 0.01） . （ 1） ； （ 2）
6、. 答案： （ 1） -12.67 （ 2） 8.02 （ 1） = =-( )-（ ） =-12.674-12.67 （ 2） 8.0248.02 如图 1，在数轴上点 A和点 B之间的整数是 答案：、 3 A和点 B之间表示整数的点对应的整数的平方也必为整数，而 之间的被开方数是整数的只有 ，其中能化成整数的只有 在数轴上点 A和点 B之间的整数是 2、 3 观察图 2，利用图形间的面积关系，写出一个代数恒等式： . 答案： (a-b)2=a2-2ab+b2 解答题 （本小题满分 8分）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 55座客车，
7、则可以少租一辆，且余45个空座位 （ 1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （ 2）已知 35座客车的租金为每辆 320元， 55座客车的租金为每辆 400元根据租车资金不超过 1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4辆（可以坐不满）请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金 答案： （ 1） 175人 （ 2） 1440元 解：（ 1）设单独租用 35座客车需 x辆，由题意得： , 解得： . （人） . 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175人 3分 （ 2）设租 35座客车 y辆，则租 55座客车（ ）辆，由题意得： ， 6分 解这个不等式组，得 y取正整数， y
8、= 2. 4-y = 4-2 = 2. 3202 4002 = 1440（元） . 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440元 8分 （本小题满分 10分）某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看作一次函数： （ 1）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （ 2）如果李明想要每月获得 2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （ 3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2
9、000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本进价 销售量） 答案： （ 1） 35元 （ 2）销售单价应定为 30元或 40元 （ 3） 3600元 （本小题满分 10分） 问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习 “平面图形的镶嵌 ”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究 . 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4个正方形的内角 . 试想：如果用正六边形镶嵌平
10、面，在一个顶点周围应该围绕 个正六边形内角 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设 计出几种不同的组合方案？ 问题解决 猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x个正方形和 y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程： ，整理得： ， 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为
11、 结论 1： 镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1个正方形和 2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面 镶嵌的方案，并写出验证过程 答案：略 解： 3个； 1分 验证 2：在镶
12、嵌平面时，设围绕某一点有 a个正三角形和 b个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程： 整理得： ， 可以找到两组适合方程的正整数解为 和 3分 结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 2个正三角形和 2个正六边形的内角或者围绕着 4个正三角形和 1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌 5分 猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正 六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分 验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m个正三角形、 n个正方形和 c个正六边形的内角可以拼成一个周角 . 根据题意，可得方程： ， 整理得：
13、 ， 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 . 8分 结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1个正三角形、 2个正方形和 1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌 . （说明：本题答案：不惟一，符合要求即可 .） 10分 （本小题满分 6分） 小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB， AB 米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部 A的仰角为 37，大厦底部 B的俯角为 48求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD的长度（结果保留整数） （参考数据： ） 答案：米 （本小题满分 8分） 已知：如图
14、，在正方形 ABCD中，点 E、 F分别在 BC 和 CD上， AE = AF （ 1）求证： BE = DF； （ 2）连接 AC 交 EF 于点 O，延长 OC至点 M，使 OM = OA，连接 EM、FM判断四边形 AEMF是什么特殊四边形？并证明你的 结论 答案： （ 1） BE = DF，证明略。 （ 2）四边形 AEMF是菱形，证明略。 证明：（ 1） 四边形 ABCD是正方形， AB AD, B = D = 90 AE = AF， BE DF 4分 （ 2）四边形 AEMF是菱形 四边形 ABCD是正方形， BCA = DCA = 45， BC = DC BE DF， BC-BE
15、 = DC-DF. 即 OM = OA， 四边形 AEMF是平行四边形 AE = AF， 平行四边形 AEMF是菱形 8分 (本小 题满分 6分 ) 常用的确定物体位置的方法有两种 . 如图，在 44个边长为 1的正方形组成的方格中，标有 A， B两点 . 请你用两种不同方法表述点 B相对点 A的位置 . 答案：略 方法 1用有序实数对 (a， b)表示 . 比如：以点 A为原点，水平方向为 x轴，建立直角坐标系，则 B(3， 3). - 3分 方法 2. 用方向和距离表示 . 比如 : B点位于 A点的东北方向（北偏东 45等均可），距离点 3 处 - 3分 (本小题满分 12分 ) 在平面
16、直角坐标系 xOy中，抛物线的式是 y = +1，点 C的坐标为 (4， 0)，平行四边形 OABC 的顶点 A， B在抛物线上， AB与 y轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t， 0)在 x轴上 . (1) 写出点 M的坐标； (2) 当四边形 CMQP是以 MQ， PC为腰的梯形时 . 求 t关于 x的函数式和自变量 x的取值范围； 当梯形 CMQP的两底的长度之比为 1： 2时，求 t的值 . 答案： （ 1） M (0， 2) （ 2） t = + x 2 8. (1) OABC是平行四边形， AB OC，且 AB = OC = 4， A， B在抛物线上， y轴是抛
17、物线的对称轴， A， B的横坐标分别是 2和 2， 代入 y = +1得， A(2, 2 )， B( 2， 2)， M (0， 2)， -2分 (2) 过点 Q 作 QH x轴，设垂足为 H， 则 HQ = y ， HP = xt ， 由 HQP OMC，得： , 即： t = x 2y , Q(x,y) 在 y = +1上， t = + x 2. -2分 当点 P与点 C重合时，梯形不存在，此时， t = 4，解得 x = 1 , 当 Q 与 B或 A重合时，四边形为平行四边形，此时， x = 2 x的取值范围是 x 1 1 , 且 x1 2的所有实数 . -2分 分两种情况讨论： 1）当
18、CM PQ 时，则点 P在线段 OC上， CM PQ， CM = 2PQ ， 点 M纵坐标为点 Q 纵坐标的 2倍，即 2 = 2( +1)，解得 x = 0 ， t = + 0 2 = 2 . - 2分 2）当 CM PQ 时，则点 P在 OC的延长线上， CM PQ， CM = PQ， 点 Q 纵坐标为点 M纵坐标的 2倍，即 +1=22，解得： x = . -2分 当 x = 时，得 t = 2 = 8 , 当 x = 时， 得 t = 8. -2分 (本小题满分 10分 ) 如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ移动，已知台风移动的速度为 30千米 /时，受影响区域的半径为 20
19、0千米， B市位于点 P的北偏东 75方向上，距离点 P 320千米处 . (1) 说明本次台风会影响 B市； （ 2）求这次台风影响 B市的时间 . 答案： （ 1）会 （ 2） 8小时 （第 23题） (1) 作 BH PQ于点 H, 在 Rt BHP中 , 由条件知 , PB = 320, DBPQ = 30, 得 BH = 320sin30 = 160 200, 本次台风会影响 B市 . -4分 (2) 如图 , 若台风中心移动到 P1时 , 台风开始影响 B市 , 台风中心移动到 P2时 , 台风影响结束 . 由（ 1）得 BH = 160, 由条件得 BP1=BP2 = 200,
20、所以 P1P2 = 2 =240, - 4分 台风影响的时间 t = = 8(小时 ). - 2分 (本小题满分 10分 ) 如图， AB = 3AC， BD = 3AE，又 BD AC，点 B， A， E在同一条直线上 . (1) 求证： ABD CAE； (2) 如果 AC =BD， AD = BD，设 BD = a，求 BC 的长 . 答案： （ 1） ABD CAE,证明略。 (2) a (1) BD AC，点 B， A， E在同一条直线上， DDBA = DCAE, 又 , ABD CAE. - 4分 (2) AB = 3AC = 3BD， AD =2 BD ， (第 22题 ) A
21、D2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， DD =90, 由 （ 1）得 DE =DD = 90, AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ， 在 Rt BCE中， BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 , BC = a . - 6分 (本小题满分 8分 ) 已知直四棱柱的底面是边长为 a的正方形， 高为 , 体积为 V, 表面积等于 S. (1) 当 a = 2, h = 3时，分别求 V和 S； (2) 当 V = 12， S = 32时，求 的值 .
22、答案： （ 1） 32 （ 2） (1) 当 a = 2, h = 3时， V = a2h= 12 ; S = 2a2+ 4ah =32 . - 4分 (2) a2h= 12, 2a(a + 2h) =32， , (a + 2h) = , = = = . - 4分 (本小题满分 6分 ) 给出下列命题： 命题 1. 点 (1,1)是直线 y = x与双曲线 y = 的一个交点 ; 命题 2. 点 (2,4)是直线 y = 2x与双曲线 y = 的一个交点 ; 命题 3. 点 (3,9)是直线 y = 3x与双曲线 y = 的一个交点 ; . （ 1）请观察上面命题，猜想出命题 ( 是正整数 )
23、; （ 2）证明你猜想的命题 n是正确的 . 答案： （ 1）命题 n: 点 (n , n2) 是直线 y = nx与双曲线 y = 的一个交点 ( 是正整数 ). （ 2）略 (1)命题 n: 点 (n , n2) 是直线 y = nx与双曲线 y = 的一个交点 ( 是正整数 ). - 3分 (2)把 代入 y = nx，左边 = n2，右边 = n n = n2， 左边 =右边， 点 (n， n2)在直线上 . - 2分 同理可证：点 (n， n2)在双曲线上， 点 (n， n2)是直线 y = nx与双曲线 y = 的一个交点，命题正确 . - 1分 (本小题满分 6分 ) (第 18
24、题 ) 如图 , 在平面直角坐标系 中 , 点 A(0,8), 点 B(6 , 8 ). (1) 只用直尺 (没有刻度 )和圆规 , 求作一个点 P，使点 P同时满足下 列两个条件 (要求保留作图痕迹 , 不必写出作法 )： 1）点 P到 A， B两点的距离相等； 2）点 P到 的两边的距离相等 . (2) 在 (1)作出点 P后 , 写出点 P的坐标 . 答案： （ 1）略 （ 2）（ 3， 3） (1) 作图如右 , 点 即为所求作的点 ; - 图形 2分 , 痕迹 2分 (2) 设 AB的中垂线交 AB于 E，交 x轴于 F， 由作图可得 , , 轴 , 且 OF =3, OP是坐标轴的
25、角平分线， (3， 3). - 2分 （本小题满分 12分） 已知：把 Rt ABC和 Rt DEF按如图（ 1）摆放（点 C与点 E重合），点 B、C（ E）、 F在同一条直线上 ACB = EDF = 90， DEF = 45， AC = 8 cm， BC = 6 cm， EF = 9 cm 如图（ 2）， DEF从图（ 1）的位置出发，以 1 cm/s的速度沿 CB向 ABC匀速移动，在 DEF移动的同时，点 P从 ABC的顶点 B出发，以 2 cm/s的速度沿 BA向点 A匀速移动 .当 DEF的顶点 D移动到 AC 边上时， DEF停止移动，点 P也随之停止移动 DE与 AC 相交于
26、点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（ s）（ 0 t 4.5） 解答下列问题： （ 1）当 t为何值时，点 A在线段 PQ的垂直平分线上？ （ 2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（ cm2），求 y与 t之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使面积 y最小？若存在，求出 y的最小值；若不存在，说明理由 （ 3）是否存在某一时刻 t，使 P、 Q、 F三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t的值；若不存在，说明理由 答案： （ 1） t=2 （ 2）当 t = 3时， y最小 = （ 3）当 t = 1s，点 P、 Q、 F三点在同一条直线上 解：（ 1） 点 A在线段 PQ的
27、垂直平分线上， AP = AQ. DEF = 45， ACB = 90， DEF ACB EQC = 180， EQC = 45. DEF = EQC. CE = CQ. 由题意知： CE = t， BP =2 t， CQ = t. AQ = 8-t. 在 Rt ABC中，由勾股定理得： AB = 10 cm . 则 AP = 10-2 t. 10-2 t = 8-t. 解得： t = 2. 答：当 t = 2 s时，点 A在线段 PQ的垂直平分线上 . 4分 （ 2）过 P作 ，交 BE于 M， . 在 Rt ABC和 Rt BPM中， ， . PM = . BC = 6 cm， CE =
28、t， BE = 6-t. y = S ABC-S BPE = - = - = = . ， 抛物线开口向上 . 当 t = 3时， y最小 = . 答：当 t = 3s时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 cm2. 8分 （ 3）假设存在某一时刻 t，使点 P、 Q、 F三点在同一条直线上 . 过 P作 ，交 AC 于 N， . ， PAN BAC. . . ， . NQ = AQ-AN， NQ = 8-t-( ) = ACB = 90， B、 C（ E）、 F在同一条直线上， QCF = 90， QCF = PNQ. FQC = PQN， QCF QNP . . . 解得： t = 1. 答：当 t = 1s，点 P、 Q、 F三点在同一条直线上 . 12分
