1、2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（河北） 选择题 有理数 、 在数轴上的位置如图所示，则 的值 A大于 0 B小于 0 C小于 D大于 答案： A 一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地已知轮船在静水中的速度为 15 km/h，水流速度为 5 km/h轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出发后所用时间为 t（ h），航行的路程为 s（ km），则 s与 t的函数图象大致是答案： C 小悦买书需用 48元钱，付款时恰好用了 1元和 5元的纸币共 12张设所用的 1元纸币为 x张，根据题意，下面所列方程正确的是 A B C D 答案：
2、A 如图 3， 在 55正方形网格中，一条圆弧经过 A， B， C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A点 P B点 Q C点 R D点 M 答案： B 把不等式 ”填空） 答案： 解答题 （本小题满分 8分）如图 11-1，正方形 ABCD是一个 6 6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为 1位于 AD中点处的光点 P按图 11-2的程序移动 （ 1）请在图 11-1中画出光点 P经过的路径； （ 2）求光点 P经过的路径总长（结果保留 ） 答案： （ 1）图略 （ 2） 6 解： （ 1）如图 1； 【注：若学生作图没用圆规，所画路线光滑且基本准确即给 4分】 （ 2） ， 点 P经
3、过的路径总长为 6 （本小题满分 9分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等比赛结束后，发现学生成绩分别为 7分、 8分、 9分、 10分（满分为 10分） 依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 （ 1）在图 12-1中， “7分 ”所在扇形的圆心角等于 （ 2）请你将图 12-2的统计图补充完整 （ 3）经计算，乙校的平均分是 8.3分，中位数是 8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好 （ 4）如果该教育局要组织 8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从
4、这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 答案： （ 1） 144 （ 2）略 （ 3）乙校 （ 4）甲校 解：（ 1） 144； （ 2）如图 2； （ 3）甲校的平均分为 8.3分，中位数为 7分；由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好 （ 4）因为选 8名学生参加市级口语团体赛，甲校得 10分的有 8人，而乙校得10分的只有 5人，所以应选甲校 （本小题满分 9分） 如图 13，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 O与坐标原点重合，顶点 A， C分别在坐标轴上，顶点 B的坐标为（ 4， 2）过点 D（ 0，
5、3）和 E（ 6， 0）的直线分别与 AB， BC交于点 M， N （ 1）求直线 DE的式和点 M的坐标； （ 2）若反比例函数 （ x 0）的图象经过点 M，求该反比例函数的式，并通过计算判断点 N是否在该函数的图象上； （ 3）若反比例函数 （ x 0）的图象与 MNB有公共点，请直接 写出 m的取值范围 答案： （ 1） （ 2）在 （ 3） 4 m 8 （本小题满分 10分） 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 14-1，图 14-2是它的示意图其工作原理是：滑块 Q在平直滑道 l上可以左右滑动，在 Q滑动的过程中，连杆 PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆 OP绕固定点
6、O摆动在摆动过程中，两连杆的接点 P在以 OP为半径的 O上运动数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点 O作 OH l于点 H，并测得 OH = 4分米， PQ = 3分米，OP = 2分米 解决问题 （ 1）点 Q与点 O间的最小距离是 分米；点 Q与点 O间的最大距离是 分米；点 Q在 l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米 （ 2） 如图 14-3，小明同学说： “当点 Q 滑动到点 H的位置时， PQ 与 O 是相切的 ”你认为他的判断对吗？为什么？ （ 3） 小丽同学发现： “当点 P运动到 OH上时，点 P到 l的距离最小 ”事实上，还存在着点 P到 l距
7、离最大的位置，此时，点 P到 l的距离是 分米； 当 OP绕点 O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数 答案： （ 1） 4 5 6 （ 2）不对 （ 3） 3 120 （本小题满分 10分） 在图 15-1至图 15-3中，直线 MN与线段 AB相交于点 O， 1 = 2 = 45 （ 1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO与 BD 的数量关系和位置关系； （ 2）将图 15-1中的 MN绕点 O顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO = OB 求证： AC = BD， AC BD； （ 3）将图 15-2中的 OB拉长为 AO的 k倍得到图 15-
8、3，求 的值 答案： （ 1） AO = BD， AO BD （ 2） AC = BD， AC BD，证明略。 （ 3） （本小题满分 12分） 如图 16，在直角梯形 ABCD中， AD BC， ， AD = 6， BC = 8，点 M是 BC的中点点 P从点 M出发沿 MB以每秒 1个单位长的速度向点 B匀速运动，到达点 B后立刻以原速度沿 BM返回；点 Q从点 M出发以每秒 1个单位长的速度在射线 MC上匀速运动在点 P， Q的运动过程中，以 PQ为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形 ABCD在射线 BC的同侧点 P， Q同时出发，当点 P返回到点 M时停止运动，点 Q也随之停止 设点
9、P， Q运动的时间是 t秒 (t 0) （ 1）设 PQ的长为 y，在点 P从点 M向点 B运动的过程中，写 出 y与 t之间的函数关系式（不必写 t的取值范围） （ 2）当 BP = 1时，求 EPQ与梯形 ABCD重叠部分的面积 （ 3）随着时间 t的变化，线段 AD会有一部分被 EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t的取值范围；若不能，请说明理由 答案： （ 1） y = 2t （ 2） （ 3）能 4t5 （本小题满分 8分）解方程： 答案： x=3 解： ， 经检验知， 是原方程的解 对非负实数 x“四舍五入 ”到个位
10、的值记为 即：当 n为非负整数时，如 果 如： =0， =1， =2， =4， 试解决下列问题： （ 1）填空： = （ 为圆周率）； 如果 的取值范围为 ； （ 2） 当 ； 举例说明 不恒成立； （ 3）求满足 的值； （ 4）设 n为常数，且为正整数，函数 范围内取值时，函数值 y为整数的个数记为 的个数记为 b. 求证： 答案： （ 1） 3 （ 2） 证明略 举反例： 不一定成立 . （ 3） （ 4） 证明略。 如图，在直角坐标系 的直角顶点 A， C始终在 x轴的正半轴上， B， D在第一象限内，点 B在直线 OD上方， OC=CD， OD=2，M为 OD的中点， AB与 OD相
11、交于 E，当点 B位置变化时， 试解决下列问题： （ 1）填空：点 D坐标为 ； （ 2）设点 B横坐标为 t，请把 BD长表示成关于 t的函数关系式，并化简； （ 3）等式 BO=BD能否成立？为什么？ （ 4）设 CM与 AB相交于 F，当 BDE为直角三角形时，判断四边形 BDCF的形状，并证明你的结论 . 答案： （ 1） （ 2） （ 3）略 （ 4）略 （ 1） ；（ 1分） （ 2） （ 2分） （ 3分） （ 4分）（注：不去绝对值符号不扣分） （ 3） 法一 若 OB=BD，则 由 得 （ 5分） 法二 若 OB=BD，则 B点在 OD的中垂线 CM上 . 直线 CM的函数关
12、系式为 ， （ 5分） 联立 ， 得： ， 法三 若 OB=BD，则 B点在 OD的中垂线 CM上，如图 27 1 过点 B作 （ 4）如果 ， 当 ，如图 27 2 此时四边形 BDCF为直角梯形 .（ 7分） 当 如图 27 3 此时四边形 BDCF为平行四边形 .（ 8分） 下证平行四边形 BDCF为菱形： 法一 在 ， 方法 上方 （舍去） . 得 方法 由 得： 此时 此时四边形 BDCF为菱形（ 9分） 法二 在等腰 中 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象： （ 1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象； （ 2）请你证明海宝发现的这个有趣现象 . 答案： （ 1
13、） （ 2）证明略。 实践应用（本小题满分 6分） 有 200名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门的招聘，到各部门报名的人数百分比见图表 1，该企业各部门的录取率见图表 2.（部门录取率 =100%） （ 1）到乙部门报名的人数有 人，乙部门的录取人数是 人，该企业的录取率为 ； （ 2）如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的情况下，该企业的录取率将恰好增加 15%，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？ 答案： （ 1） 80 40 47% （ 2） 50 （ 1） 80，（ 1分） 40，（ 2分） 47%；（ 3分） （ 2）设有 x人从甲部门改到丙部门
14、报名，（ 4分） 则： （ 5分） 化简得： 0.6 ， 答：有 50人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加 15%的录取率 .（ 6分） 已 知二次函数 的图象 C1与 x轴有且只有一个公共点 . （ 1）求 C1的顶点坐标； （ 2）将 C1向下平移若干个单位后，得抛物线 C2，如果 C2与 x轴的一个交点为A（ 3 ， 0），求 C2的函数关系式，并求 C2与 x轴的另一个交点坐标； （ 3）若 的取值范围 . 答案： （ 1）（ 1 ， 0） （ 2） （ 3） n2或 n-4 在直角坐标系 xOy中，直线 l过（ 1， 3）和（ 3， 1）两点，且与 x轴， y轴分别交于 A， B两点
15、. （ 1）求直线 l的函数关系式； （ 2）求 AOB的面积 . 答案： （ 1） （ 2） 8 （ 1）设直线 l的函数关系式为 ， （ 1分） 把（ 3， 1），（ 1， 3）代入 得 （ 2分） 解方程组得 （ 3分） 直线 l的函数关系式为 （ 4分） （ 2）在 中，令 （ 5分） （ 6分） 如图，已知 ABC中， AB=BC，以 AB为直径的 O交 AC于点 D，过 D作 DE BC，垂足为 E，连结 OE， CD= ， ACB=30. （ 1）求证： DE是 O的切线； （ 2）分别求 AB， OE的长； （ 3）填空：如果以点 E为圆心， r为半径的圆上总存在不同的两点到点
16、 O的距离为 1，则 r的取值范围为 . 答案： （ 1） DE是 O的切线，证明略。 （ 2） 2 ， （ 3） （本小题满分 6分） 在如图所示的方格纸中， ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系 . （ 1）作出 ABC关于 y轴对称的 A1B1C1，其中 A， B， C分别和 A1， B1， C1对应； （ 2）平移 ABC，使得 A点在 x轴上， B点在 y轴上，平移后的三角形记为 A2B2C2，作出平移后的 A2B2C2，其中 A， B， C分别和 A2， B2， C2对应； （ 3）填空：在（ 2）中，设原 ABC的外心为 M， A2B2
17、C2的外心为 M，则M与 M2之间的距离为 . 答案： （ 1） 见图 21； （ 2）见图 21； （ 3） （ 1）见图 21；（ 2分） （ 2）见图 21；（ 4分） （ 3） （ 6分） 推理证明（本小题满分 6分） 如图，在 ABC和 ADE中，点 E在 BC边上， BAC= DAE， B= D，AB=AD. （ 1）求证： ABC ADE； （ 2）如果 AEC=75，将 ADE绕着点 A旋转一个锐角后与 ABC重合，求旋转角的大小 . 答案： （ 1） ABC ADE，证明略。 （ 2） 30 运算求解（本小题满分 10分） 解方程或不等式组； （ 1） （ 2） 答案： （
18、1） （ 2） 中原方程的解 计算化简（本小题满分 10分） （ 1） （ 2） 答案： （ 1） 8 （ 2） （ 1）原式 =8 （ 2）原式 （本小题满分 12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售 若只在国内销售，销售价格 y（元 /件）与月销量 x（件）的函数关系式为 y =x 150， 成本为 20元 /件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额 -成本 -广告费） 若只在国外销售，销售价格为 150元 /件，受各种不确定因素影响，成本为 a元 /件（ a为 常数， 10a40），当月销量为
19、 x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润为 w外（元）（利润 = 销售额 -成本 -附加费） （ 1）当 x = 1000时， y = 元 /件， w内 = 元； （ 2）分别求出 w内， w外与 x间的函数关系式（不必写 x的取值范围）； （ 3）当 x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a的值； （ 4）如果某月要将 5000件产品全部销 售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线 的顶点坐标是 答案： （ 1） 140 57500 （ 2） w外 = x2（ 15
20、0 ） x （ 3） a = 30 （ 4）当 10 a 32.5时，选择在国外销售； 当 a = 32.5时，在国外和国内销售都一样； 当 32.5 a 40时，选择在国内销售 解：（ 1） 140 57500； （ 2） w内 = x（ y -20） - 62500 = x2 130 x ， w外 = x2（ 150 ） x （ 3）当 x = = 6500时， w内最大；分 由题意得 ， 解得 a1 = 30， a2 = 270（不合题意，舍去）所以 a = 30 （ 4）当 x = 5000时， w内 = 337500， w外 = 若 w内 w外，则 a 32.5； 若 w内 = w外，则 a = 32.5； 若 w内 w外，则 a 32.5 所以，当 10 a 32.5时，选择在国外销售； 当 a = 32.5时，在国外和国内销售都一样； 当 32.5 a 40时，选择在国内销售
