1、2010 年北京市朝阳区高三第二次模拟考试数学（文） 选择题 已知集合 ，集合 ，集合 ，则 等于 A B C D 答案： A 如图所示， 是定义在区间 （ ）上的奇函数，令，并有关于函数 的四个论断： 对于 内的任意实数 （ ）， 恒成立； 若 ，则函数 是奇函数； 若 ， ，则方程 必有 3个实数根； 若 ，则 与 有相同的单调性 . 其中正确的是（ ） A B C D 答案： D 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 A B C D 答案： C 试题分析：该几何体的顶部是两个三棱锥，下面是一个四棱柱。一个三棱锥的体积为 ，四棱柱的体积为 ，所以此几何体的体积是 。故选。 考点：
2、几何体的体积 点评：我们学习过的几何体由柱体、锥体和球，它们的体积公式和表面积公式要熟记。 函数 的图象大致是答案： A 某校共有学生 2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64人，则应在三年级抽取的学生人数为 （ ） 一年级 二年级 三年级 女 385 生 男生 375 360 B C D 答案： C 一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是 ，则正方体的表面 积是 A 8 B 6 C 4 D 3 答案： A 试题分析：由 得： ，则球的直径 。令正方体的边长为 a，则 ， 。所以
3、正方体的表面积是 。故选 A。 考点：球的体积。 点评：本题应用结论：若长方体的长、宽和高分别为 a、 b和 c，则长方体的外接球直径等于长方体的对角线，即 。 过点 引圆 的切线，则切线长是 A 2 B C D 答案： C 点 到圆的圆心 的距离为 ，又圆的半径为 ，所以切线长为 . 设 为虚数单位，则复数 所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 填空题 已知数列 为等差数列，若 ， （ ， ），则. 类比等差数列的上述结论，对等比数列 （ ， ），若 ，（ ， ），则可以得到 = . 答案： 上海世博园中的世博轴是一条 1000 长的直线型通道，中国馆位
4、于世博轴的一侧（ 如下图所示） . 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为 . 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 . 答案： 若某程序框图如右图所示，该程序运行后，输出的 ，则 等于 . 答案： 设变量 ， 满足 则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ； 的最大值为 . 答案： ， 7 已知向量 ， ，如果 与 垂直，那么实数 的值为 . 答案： -13 函数 的值域是 . 答案： 解答题 （本题满分 13分） 设函数 （ ）求函数 的最小正周期； （ ）当 时，求函数 的最大值及取得最大值时的 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 1 （本题满分 1
5、3分） 某运动员进行 20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表： 环数 7 8 9 10 命中次数 2 7 8 3 （ ）求此运动员射击的环数的平均数； （ ）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（ 2 次、7次、 8次、 3次）中，随机取 2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为 次、 次，每个基本事件为（ m， n） . 求 “ ”的概率 . 答案：（ 1） 8.6（ 2） （本题满分 13分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形， 与 的交点为 O. （ ）求证： 平面 ； （ ）已知 为侧棱 上一个动点 . 试问对于
6、 上任意一点 ，平面 与平面 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请 说明理由 . 答案：略 （本题满分 14分） 已知函数 ， ，且 （ ）若 ，求 的值； （ ）当 时，求函数 的最大值； （ ）求函数 的单调递增区间 答案：（ 1） （ 2） （ 3）当 时，函数 的递增区间是 ； 当 时，函数 的递增区间是 ， ； 当 时，函数 的递增区间是 ； 当 时，函数 的递增区间是 ， . （本题满分 13分） 已知椭圆 的左右焦点分别 为 ， 在椭圆 中有一内接三角形 ，其顶点 的坐 标 ， 所在直线的斜率为 （ ）求椭圆 的方程； （ ）当 的面积最大时，求直线 的方程 答案：（ 1） （ 2） （本题满分 14分） 已知 是递增数列，其前 项和为 ， ， 且 ， （ ）求数列 的通项 ； （ ）是否存在 ，使得 成立？若存在，写出一组符合条件的 的值；若不存在，请说明理由； （ ）设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求正整数 的最大值 答案：（ 1） （ 2）不存在（ 3） 8
