1、2010 年北京市海淀区高三第二次模拟考试数学（理） 选择题 已知集合 ， ，则 A B C D 答案： B 已知动圆 C经过点 (0， 1),并且与直线 相切，若直线 与圆 C有公共点，则圆 C的面积 A有最大值为 B有最小值为 C有最大值为 D有最小值为 答案： D 按 照如图的程序框图 执行，若输出结果为 15，则 M处条件为 A B C D 答案： 已知 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列条件能 使 成立的是 A ， B ， C ， D ， 答案： B 已知不等式组 所表示的平面区域的面积为 4，则 的值为 A 1 B C 1或 D 0 答案： A 函数 在定义域内零点的个数
2、为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 如图， 是 O的直径， 切 O于点 ，连接 ，若 ，则的大小为 A B C D 答案： 函数 图象的对称轴方程可以为 A B C D 答案： A 填空题 给定集合 ，映射 满足： 当 时， ； 任取 若 ，则有 . .则称映射 ： 是一个 “优映射 ”.例如：用表 1表示的映射 ： 是一个 “优映射 ”. 表 1 表 2 1 2 3 2 3 1 1 2 3 4 3 （ 1）已知表 2表示的映射 ： 是一个优映射，请把表 2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）； （ 2）若映射 ： 是 “优映射 ”，且方程 的解恰有 6个，则这样的“优映射 ”的
3、个数是 _. 答案： ； 84 在 中，角 , , 所对应的边分别为 , , ，若 ，则 的最大值为 . 答案： 已知数列 满足 ， （ N ），则 的值为 . 答案： 已知向量 a= ， b= ，若 ，则 ； . 答案： 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了 5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图） . ， 分别表示甲、乙两班各自 5名学生学分的标准差，则 .（填 “ ”、 “ ”或 “ ”） 答案： 在极坐标系中，若点 ( )是曲线 上的一点，则 . 答案： 解答题 （本小题满分 13分） 记等差数列 的前 n项和为 ，已知 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）令
4、，求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1） （ 2） （本小题满分 14分） 已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧棱 ，其中， 为侧棱 上的两个三等分点，如图所示 . （ ）求证： ； （ ）求异面直线 与 所成角的余弦值； （ ）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）略（ 2） （ 3） （本小题满分 13分） 为保护水资源，宣传节约用水，某校 4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立 . （ ）求 4人恰好选择了同一家公园的概率； （ ）设选择甲公园的志愿者的人数为 ，试求 的分布列及期望 答案：（ 1） （ 2） 的分
5、布列为 : 0 1 2 3 4 的期望为 （本小题满分 13分） 已知函数 ，其中 a为常数，且 . （ ）若 ，求函数 的极值点； （ ）若函数 在区间 上单调递减，求实数 a的取值范围 . 答案：（ 1） 是 函数 的极小值点， 是函数 的极大值点（ 2） （本小题满分 13分） 已知椭圆 和抛物线 有公共焦点 F(1,0), 的中心和 的顶点都在坐标原点，过点 M（ 4， 0）的直线 与抛物线 分别相交于 A,B两点 . （ ）写出抛物线 的标准方程； （ ）若 ，求直线 的方程； （ ）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，直线 与椭圆 有公共点，求椭圆 的长轴长的最小值 . 答案：（ 1） （ 2） 或 （ 3） （本小题 满分 14分） 已知函数 的图象在 上连续不断，定义： ， 其中， 表示函数 在 上的最小值， 表示函数在 上的最大值若存在最小正整数 ，使得 对任意的成立，则称函数 为 上的 “ 阶 收缩函数 ” （ ）若 ， ，试写出 ， 的表达式； （ ）已知函数 ， ，试判断 是否为 上的 “ 阶收缩函数 ”，如果是，求出对应的 ；如果不是，请说明理由； （ ）已知 ，函数 是 上的 2阶收缩函数，求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3）
