1、2010 年广东省肇庆市高三第二次模拟考试数学（理）试题 选择题 已知函数 的最小正周期为 = （ ） A B C 1 D 2 答案： D 我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1， 2， ， 9填入33 的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于 15，如图 1 所示，一般地，将连续的正整数 1， 2， 3， n 2 填入 nn 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做 n阶幻方，记 n阶幻方的对角线上数的和为 N，如图 1的幻方记为 N3=15，那么 N12的值为（ ） A 869 B 870 C 871 D 875 答案： B 已知圆 对称，则
2、 ab的取值范围是 （ ） A B C D 答案： A 从 6名学生中选 4人分别从事 A、 B、 C、 D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事 A工作，则不同的选派方案共有 （ ） A 280 B 240 C 180 D 96 答案： B 在区间 0， 上随机取一个数 x，则事件 “ ”发生的概率为（ ） A B C D 答案： C 已知数列 是各项均为正数的等比数列，= （ ） A 2 B 33 C 84 D 189 答案： C 已知向量 等于 （ ） A 30 B 45 C 60 D 75 答案： B 设集合 那么 “ ”是 “ ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充
3、要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 填空题 （几何证明选讲选做题）如图 5， AB为 O 的直径，弦 AC、 BD交于点 P，若 AB=3， CD=1，则 = 。 答案： （坐标系与参数方程选做题）曲线 对称的曲线的极坐标方程为 。 答案： 设实数 的取值范围是 。 答案： 如图 4，在三棱锥 PA BC中， PA 平面 ABC、 ABC为正三角形，且PA=AB=2，则三棱锥 PABC 的侧视图面积为 。 答案： 阅读如图 3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 T= 。答案： 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为 n的样本，其频率分布直方图如图 2所示，其
4、中支出在 元的同学有 30人，则 n的值为 。 答案： 已知 = 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知 A、 B、 C是 ABC的三个内角，向量 且 （ 1）求角 A； （ 2）若 的值。 答案：（ 1） （ 2） （ 1）因为 ， 所以 ， （ 2分） 所以 （ 4分） 因为 （ 6分） （ 2）因为 所以 （ 8分） 所以 （ 9分） 所以 （ 11分） 即 （ 12分） （本小题满分 12分） 如图 6，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1中， D是 BC的中点， AA1=AB=1。 （ 1）求证：平面 AB1D 平面 B1BCC1； （ 2）求证： A1C/平面 AB1D； （
5、3）求二面角 BAB 1D 的正切值。 答案：（ 1）证明见。 （ 2）证明见。 （ 3）二面角 BAB 1D 的正切值为 解法一： 证明：（ 1）因为 B1B 平面 ABC， AD 平面 ABC， 所以 AD B1B （ 1分） 因为 D为正 ABC中 BC的中点， 来源 :学。科。网 所以 AD BD （ 2分） 又 B1BBC=B， 所以 AD 平面 B1BCC1 （ 3分） 又 AD 平面 AB1D，故平面 AB1D 平面 B1BCC1 （ 4分） （ 2）连接 A1B，交 AB1于 E，连 DE （ 5分） 因为点 E为矩形 A1ABB1对角线的交点，所以 E为 AB1的中点 （ 6
6、分） 又 D为 BC的中点，所以 DE为 A1BC的中位线， 所以 DE/A1C （ 7分） 又 DE 平面 AB1D，所以 A1C/平面 AB1D （ 8分） （ 3）解：过 D作 DF AB于 F，过 F作 FG AB1于 G，连接 DG。 因为平面 A1ABB1 平面 ABC， DF AB，所以 DF 平面 A1ABB1。 又 AB1 平面 A1ABB1，所以 AB1 DF。 又 FG AB1，所以 AB1 平面 DFG，所以 AB1 DG。 （ 9分） 又 AB1 FG，所以 DGF为 二面角 BAB 1D 的平面角。 （ 10分） 因为 AA1=AB=1， 所以在正 ABC中， 来源
7、 :学 +科 +网 在 （ 11分） 所以在 （ 12分） 解法二： 解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有： （ 1）证明 ：由 ， 得 又 BC BB1=B，所以 AD 平面 B1BCC1。 （ 4分） 又 AD 平面 AB1D，所以平面 AB1D B1BCC1 （ 5分） （ 2）证明：连接 A1B，交 AB1于 E，连 DE， 因为点 E为正方形 A1ABB1对角线的交点，所以 E为 AB1的中点， 即 （ 6分） 又 DE 平面 AB1D，所以 A1C/平面 AB1D （ 8分） 来源 :Z+xx+k.Com （ 3）解：设平面 ABB1的一个法向量为 由 （ 9分） 设平面 AB1
8、D的一个法向量为 由 （ 10分） 所以 （ 11分） 所以 ， 依图可得二面角 BAB 1D 的正切值为 （ 12分） （本小题满分 14分） 在一个盒子中，放有标号分别为 1， 2， 3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、 y，设 O为坐标原点，点 P的坐标为记 . （ 1）求随机变量 的 最大值，并求事件 “ 取得最大值 ”的概率； （ 2）求随机变量 的分布列和数学期望 . 答案：（ 1） （ 2）随机变量 的分布列是 0 1 2 3 P 随机变量 的数学期望为 （本小题满分 14分） 已知焦点在 x轴上，离心率为 的椭圆的一个顶点是抛物线 的焦点，过
9、椭圆右焦点 F的直线 l交椭圆于 A、 B两点，交 y轴于点 M，且（ 1）求椭圆的方程； （ 2）证明： 为定值。 答案：（ 1） （ 2）证明见。 （本小题满分 14分） 已 知函数 （ 1）若函数 的取值范围； （ 2）若对任意的 时恒成立，求实数 b的取值范围。 答案：（ 1） 4 ， 4 （ 2） （本小题满分 14分） 在数列 （ 1）求证： ； （ 2）求证： ； （ 3）若 答案：（ 1）证明见。 （ 2）证明见。 （ 3）证明见。 证明：（ 1） 当 结论成立； （ 1分） 假设 成立 由 （ 4分） 由 、 知，对于 （ 5分） （ 2）由 得 （ 3）若 （ 10分） 将上述 n个式子相乘得 （ 11分） 下面反证法证明： 假设 与已知 矛盾。 所以假设不成立，原结论成立，即当 （ 14分）
