1、2011 届北京东城区模拟考试高三数学（一）（理科） 选择题 “ ”是 “ ”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点 到 ， 的距离都是 ，点 是 上的动点，满足 到 的距离是到 到点 距离的 倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 A B C D 答案： A 考点：平面与平面之间的位置关系 分析：原题等价于在直角坐标系中，点 A（ 3， 3）， P第一象限内的动点，满足 P到 Y轴的距离是到 P到点
2、A 距离的 2倍，则点 P的轨迹上的点到 x轴的距离的最小值是多少 解：设 P（ x， y）， P的轨迹方程为 x=2 ， x2=4（ x-3） 2+4（ y-3） 2， （ y-3） 2= x2-4（ x-3） 2- x2+6x-9， 当 x=4时，最大值为 3 （ y-3） 2=3， y=3+ ，或 y=3- 点 P 的轨迹上的点到 的距离的最小值是 3- 故选 A 已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点的是 A B C D 答案： B 考点：函数零点的判定定理 分析：求原函数在每个区间端点处的函数值，找出在哪个区间端点处的函数值异号，该区间即为所求 解：由题意知： f( ) =( )
3、 -( ) 0 f( ) =( ) -( ) 0 f(1)= -1 0 f(2)=( )2-2 0 由零点判定定理知在区间 内原函数有零点 故选 B 已知 , ,那么 的值为 A B C D 答案： B 若右边的程序框图输出的 是 ，则条件 可为 A B C D 答案： C 已知平面上不重合的四点 ， ， ， 满足 ，且，那么实数 的值为 A B C D 答案： C 已知函数 对任意的 有 ，且当 时，则函数 的大致图像为 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： A 已知数列 为等差数列，且 ， ，那么则 等于 A B C D 答案： B 填空题 已知数列 满足： ， ， ， ， ，且
4、当 n5时，若数列 满足对任意 ，有，则 b5= ；当 n5时， 答案： 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线分别交于 ，两点（点 在 轴上方）， 答案： 如图，已知圆 的半径为 ，从圆 外一点 引切线 和割线 ，圆心到 的距离为 ， ，则切线 的长为 答案： 从某地高中男生中随机抽取 100名同学，将他们的体重（单位： kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知体重的平均值为 kg；若要从体重在 60 , 70）， 70 ， 80) , 80 , 90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 12人参加一项活动，再从这 12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为
5、答案： 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），则曲线上 的点到直线 的距离的最大值为 答案： 如果 是实数 ,那么实数 答案： 解答题 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满足 （ ）求角 的大小； （ ）若 ，求 面积的最大值 答案：解：（ ）因为 ， 所以 由正弦定理，得 整理得 所以 在 中， 所以 ， （ ）由余弦定理 ， 所以 所以 ，当且仅当 时取 “=” 所以三角形的面积 所以三角形面积的最大值为 已知四棱锥 的底面是菱形 ， ， 与 交于 点， ， 分别为 ， 的中点 （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： 平面 ； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ ）
6、证明：因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 又 平面 , 平面 所以 平面 （ ）证明：连结 ， 因为 ， 所以 在菱形 中， ， 又因为 ， 所以 平面 又 平面 ， 所以 在直角三角形 中， ， ， 所以 又 ， 为 的中点， 所以 又因为 所以 平面 （ ）解：过点 作 ，所以 平面 如图，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 可得， ， ， ， ， 所以 ， ， 设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ， 令 ，则 设直线 与平面 所成的角为 ， 可得 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就
7、签约 .乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约 .设甲面试合格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响 （ ）求至少有 1人面试合格的概率； （ ）求签约人数 的分布列和数学期望 答案：解：（ ）用 A， B， C分别表示事件甲、乙、丙面试合格 .由题意知A， B， C相互独立， 且 . 至少有 1人面试合格的概率是 （ ） 的可能取值为 0， 1，2， 3. = = 的分布列是 0 1 2 3 的期望 已知函数 （ ）求函数 在区间 上的最小值； （ ）证明：对任意 ，都有 成立 答案：（ ）解：由 ，可得 当 单调递减， 当 单调递增 . 所以函数
8、在区间 上单调递增， 又 ， 所以函数 在区间 上的最小值为 （ ）证明：由（ ）可知 在 时取得最小值， 又 ， 可知 由 ，可得 所以当 单调递增， 当 单调递减 . 所以函数 在 时取得最大值， 又 ， 可知 ， 所以对任意 ，都有 成立 已知椭圆 的离心率为 ，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为 的直线 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 ， 两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 （ ）求椭圆的方程； （ ）求 的取值范围； （ ）试用 表示 的面积，并求面积的最大值 答案： 解：（ ）依题意可得， ， ， 又 ， 可得 所以椭圆方程为 （ ）设直线 的方程为 ， 由
9、可得 设 ， 则 ， 可得 设线段 中点为 ，则点 的坐标为 ， 由题意有 ， 可得 可得 ， 又 ， 所以 （ ）设椭圆上焦点为 ， 则 . ， 由 ，可得 所以 又 ， 所以 . 所以 的面积为 （ ） 设 ， 则 可知 在区间 单调递增，在区间 单调递减 所以，当 时， 有最大值 所以，当 时， 的面积有最大值 对于 ，定义一个如下数阵： 其中对任意的 ， ，当 能整除 时， ；当 不能整除 时，设 （ ）当 时，试写出数阵 并计算 ； （ ）若 表示不超过 的最大整数，求证： ； （ ）若 ， ，求证： 答案：（ ）解：依题意可得， （ ）解：由题意可知， 是数阵 的第 列的和， 因此 是数阵 所有数的和 而数阵 所有数的和也可以考虑按行相加 对任意的 ，不超过 的倍数有 ， ， ， 因此数阵 的第 行中有 个，其余是 ，即第 行的和为 所以 （ ）证明：由 的定义可知， ， 所以 所以 考查定积分 ， 将区间 分成 等分，则 的不足近似值为 ， 的过剩近似值为 所以 所以 所以 所以
