1、2011届南京市金陵中学高三第四次模拟考试数学试题 填空题 在复平面内，复数 -3 i和 1-i对应的点间的距离为 _ 答案： 在直角坐标系 xOy中，点 P(xP， yP)和点 Q(xQ， yQ)满足按此规则由点 P得到点 Q，称为直角坐标平面的一个 “点变换 ”此变换下，若 m， POQ ，其中 O为坐标原点，则 y msin(x )的图象在 y轴右边第一个最高点的坐标为_ 答案： 平面四边形 ABCD中， AB， AD DC CB 1， ABD和 BCD的面积分别为 S， T，则 S2 T2的最大值是 _ 答案： 定义在 R上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2， -6)
2、，对任意正实数 k，有 f(x k) f(x)成立，则当不等式 |f(x-t) 2| 4的解集为 (-4,4)时，实数 t的值为_ 答案： 已知 A x|1x2， B x|x2 2x a0， A， B的交集不是空集，则实数a的取值范围是 _ 答案： 已知等差数列 an和 bn的前 n项和分别为 Sn， Tn，且对任意 n N*恒成立，则的值为 _ 答案： 若 x， y满足不等式组且 z 2x 4y的最小值为 -6，则 k的值为 _ 答案： 已知向量 p的模是，向量 q的模为 1， p与 q的夹角为， a 3p 2q， b p-q，则以 a、 b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 _ 答
3、案： 在共有 2 013项的等差数列 an中，有等式 (a1 a3 a2 013)-(a2 a4 a2 012) a1 007成立；类比上述性质，在共有 2 011项的等比数列 bn中，相应的有等式 _成立 答案： a1 006 命题： “若 a， b， c成等比数列，则 b2 ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是 _ 答案： 右图是一个算法流程图，则输出的 S的值是_ 答案： -9 用半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是 _ 答案： R 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组 成
4、样本进行深入研究，有关数据见下表 (单位：人 )： 年级 高度近视眼患者人数 抽取人数 高一 18 x 高二 36 2 高三 54 y 若从高一与高三抽取的人选中选 2人进行跟踪式家访调研，则这 2人都来自高三年级的概率是 _ 答案： /2 双曲线 x2- 1的渐近线被圆 x2 y2-6x-2y 1 0所截得的弦长为 _ 答案： 解答题 (本小题满分 10分 )如图，在四棱锥 OABCD中，底面 ABCD是边长为 1的菱形， ABC 45， OA 底面 ABCD， OA 2， M为 OA的中点 (1) 求异面直线 AB与 MD所成角的大小； (2) 求平面 OAB与平面 OCD所成二面角的余弦
5、值 答案：作 AP CD于点 P，分别以 AB、 AP、 AO所在直线为 x、 y、 z轴建立坐标系，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， P， D， O(0,0,2)， M(0,0,1) (1) (1,0,0)， 则 cos， -， 故 AB与 MD所成角为 .(4分 ) (2) ， 设平面 OCD的法向量 n (x， y， z)， 则 n 0， n 0， 即 取 z，则 n (0,4， ) (6分 ) 易得平面 OAB的一个法向量为 m (0,1,0)， cos n， m， (9分 ) 故平面 OAB与平面 OCD所成二面角的平面角余弦值为 .(10分 ) 选修 45：不等式选讲 已
6、知 a、 b、 c是正实数，求证： . 答案：由 2 2 20，得 2-20， .(10分 ) 选修 44：坐标系与参数方程 求曲线 C1：被直线 l： y x-所截得的线段长 答案： C1： 得 t，代入 ，化简得 x2 y2 2x. 又 x 0， C1的普通方程为 (x-1)2 y2 1(x0) (6分 ) 圆 C1的圆心到直线 l： y x-的距离 d . 所求弦长为 2 .(10分 ) 选修 42：矩阵与变换 已知点 A在变换 T： 的作用后，再绕原点逆时针旋转 90，得到点 B.若点 B坐标 为 (-3,4)，求点 A的坐标 答案： (6分 ) 设 A(a， b)，则由 ， 得 即
7、A(-2,3) (10分 ) 选修 41：几何证明选讲 如图，设 AB为 O 的任意一条不与直线 l垂直的直径， P是 O 与 l的公共点，AC l， BD l，垂足分别为 C， D，且 PC PD. 求证： (1) l是 O的切线； (2) PB平分 ABD. 答案： (1) 连接 OP， AC l， BD l， AC BD. 又 OA OB， PC PD， OP BP，从而 OP l. P在 O上， l是 O的切线 (6分 ) (2) 连接 AP， l是 O的切线， BPD BAP. 又 BPD PBD 90， BAP PBA 90， PBA PBD，即 PB平分 ABD.(10分 ) (
8、本小题满分 16分 )设数列 an满足： a1 1， a2 2， an 2 (n1， n N* ) (1) 求证：数列是常数列； (2) 求证：当 n2时， 2 a-a3； (3) 求 a2 011的整数部分 . 答案： (1) 易知，对一切 n1， an0，由 an 2，得 . 依次利用上述关系式，可得 1， 从而数列是常数列 (4分 ) (2) 由 (1)得 an 1 an . 又 a1 1， 可知数列 an递增，则 对一切 n1，有 an1成立，从而 0 1.(6分 ) 当 n2时， a 2 a 2， 于是 a-a 2， 2 a-a3.(8分 ) (3) 当 n2时， a a 2， a
9、a 2(n-1) a 1， a 4，则当 n3时， a a 2(n-1) 1 1 2(n-1) 2n 2n. a 2(2 011-1) 1 4 021 3 969 632， (10分 )来源 :Z|xx|k.Com a 2(2 011-1) 1 4 021 4 020 4 022 4 022 4 022 4 022 4 022 (19 4 10) 4 039 4 096 642.(14分 ) 63 a2 011 64，即 a2 011的整数部分为 63.(16分 ) (本小题满分 16分 )已知函数 f(x) ax2-(2a 1)x 2lnx(a为正数 ) (1) 若曲线 y f(x)在 x
10、1和 x 3处的切线互相平行，求 a的值； (2) 求 f(x)的单调区间； (3) 设 g(x) x2-2x，若对任意的 x1 (0,2，均存在 x2 (0,2，使得 f(x1) g(x2)，求实数 a的取值范围 答案： f(x) ax-(2a 1) (x 0) (1) f(1) f(3)，解得 a .(4分 ) (2) f(x) (x 0) 当 0 a时， 2， 在区间 (0,2)和上， f(x) 0； 在区间上， f(x) 0， 故 f(x)的单调递增区间是 (0,2)和，单调递减区间是 .(6分 ) 当 a时， f(x) 0，故 f(x)的单调递增区间是 (0， ) (8分 ) 当 a
11、时， 0 2， 在区间和 (2， )上， f(x) 0；在区间上， f(x) 0，故f(x)的单调递增区间是和 (2， )，单调递减区间是 .(10分 ) (3) 由已知，在 (0,2上有 f(x)max g(x)max.(11分 ) 由已知， g(x)max 0，由 (2)可知， 当 0 a时， f(x)在 (0,2上单调递增， 故 f(x)max f(2) 2a-2(2a 1) 2ln2 -2a-2 2ln2， -2a-2 2ln2 0，解得 a ln2-1， ln2-1 0，故 0 a.(13分 ) 当 a时， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减， 故 f(x)max f -2-2l
12、na. 由 a可知 lna ln ln -1,2lna -2， -2lna 2， -2-2lna 0， f(x)max 0， (15分 ) 综上所述， a 0.(16分 ) (本小题满分 16分 )已知椭圆 C： 1(a b 0)， O： x2 y2 b2，点 A，F分别是椭圆 C的左顶点和左焦点，点 P是 O上的动点 (1) 若 P(-1， )， PA是 O的切线，求椭圆 C的方程； (2) 是否存在这样 的椭圆 C，使得是常数？如果存在，求 C的离心率，如果不存在，说明理 由 答案： (1) P(-1， )在 O： x2 y2 b2上， b2 4.(2分 ) 又 PA是 O的切线， PA
13、OP， 0， 即 (-1， ) (-1 a， ) 0，解得 a 4. 椭圆 C的方程为 1.(5分 ) (2) 设 F(c,0)， c2 a2-b2， 设 P(x1， y1)，要使得是常数，则有 (x1 a)2 y ， 是常数 即 b2 2ax1 a2 (b2 2cx1 c2)， (8分 ) 比较两边， b2 a2 (b2 c2)， a c， (10分 ) 故 cb2 ca2 a(b2 c2)，即 ca2-c3 ca2 a3， 即 e3-2e 1 0， (12分 ) (e-1)(e2 e-1) 0，符合条件的解有 e， 即这样的椭圆存在，离心率为 .(16分 ) (本小题满分 14分 )省环保
14、研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时 )的关系为 f(x) 2a， x ，其中 a是与气象有关的参数，且 a ，若取每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 M(a) (1) 令 t， x ，求 t的取值范围； (2) 省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过 2， 试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 答案： (1) 当 x 0时， t 0； (2分 ) 当 0 x24时， x .对于函数 y x， y 1-， 当 0 x 1时， y 0，函数 y x单调递增， 当 1 x24时， y 0，
15、函数 y x单调递增， y . 综上， t的取值范围是 (5分 ) (2) 当 a 时， f(x) g(t) |t-a| 2a (8分 ) g(0) 3a， g a， g(0)-g 2a-. 故 M(a) (10分 ) 当且仅当 a时， M(a)2， (12分 ) 故 a 时不超标， a 时超标 (14分 ) (本小题满分 14分 )已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD为直角梯形，且满足 AD AB， BC AD， AD 16， AB 8， BB1 8， E， F分别是线段 A1A， BC上的点 (1) 若 A1E 5， BF 10，求证： BE 平面 A1FD. (2)
16、 若 BD A1F，求三棱锥 A1AB1F的体积 答案： (1) 过 E作 EG AD交 A1D于 G，连接 GF. ， ， EG 10 BF. BF AD， EG AD， BF EG. 四边形 BFGE是平行四边形 BE FG.(4分 ) 又 FG 平面 A1FD， BE 平面 A1FD， BE 平面 A1FD.(6分 ) (2) 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， A1A 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， A1A BD. 由已知， BD A1F， AA1A1F A1， BD 平面 A1AF. BD AF.(8分 ) 梯形 ABCD为直角梯形，且满足 AD AB， BC AD，
17、 在 Rt BAD中， tan ABD 2. 在 Rt ABF中， tan BAF . BD AF， ABD BAF， ， BF 4.(10分 ) 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， A1A 平面 ABCD， 平面 AA1B1B 平面ABCD， 又平面 ABCD平面 AA1B1B AB， ABF 90， FB 平面 AA1B1B，即 BF为三棱锥 FA1B1A的高 (12分 ) AA1B1 90， AA1 BB1 8， A1B1 AB 8， S AA1B1 32. V三棱锥 A1AB1F V三棱锥 FA1B1A S AA1B1BF .(14分 ) (本小题满分 14分 )已知函数 f(x
18、) sin2x sinxcosx-(x R) (1) 若 x ，求 f(x)的最大值； (2) 在 ABC中，若 A B， f(A) f(B)，求的值 答案： (1) f(x) sin2x- sin2x-cos2x sin.(4分 ) 0 x， - 2x- .(6分 ) 当 2x-时，即 x时， f(x)取最大值 1.(7分 ) (2) f(x) sin， x是三角形的内角，则 0 x ， - 2x- . 令 f(x)，得 sin， 2x-或 2x- . 解得 x或 x .(9分 ) 由已知， A， B是 ABC的内角， A B且 f(A) f(B)， A， B . C -A-B .(11分
19、) 由正弦定理，得 .(14分 ) (本小题满分 10 分 )已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 p(0 p 1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的今有 2n(n大于 1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别构成两个系统甲、乙 来源 :学科网 ZXXK (1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 p1， p2； (2) 比较 p1与 p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣 答案： (1) p1 pn(2-pn)， (2分 ) p2 pn(2-p)n.(4分 ) (2) (用二项式定理证明 ) p2-p1 pnn-2 n pn-2 pn 0.(10分 ) 说明：作差后化归为用数学归纳法证明： (2-p)n 2-pn也可
