1、2011届山东省潍坊三县高三阶段性教学质量检测数学理卷 选择题 .已知集合 ，则 等于 A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 答案： B 已知函数 ，在定义域 -2， 2上表示的曲线过原点，且在 x 1 处的切线斜率均为 有以下命题： 是奇函数； 若 在 内递减，则 的最大值为 4； 的最大值为 ，最小值为 ，则 ； 若对 ， 恒成立，则 的最大值为 2其中正确命题的个数为 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： B .设 ， 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为 A B 1 C 2 D不确定 答案： C 设奇函数 在
2、 上是增函数，且 ，则不等式的解集为 A B C D 答案： D 考点：奇偶性与单调性的综合 分析：本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题在解答时，首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式： 2xf（ x） 0， 然后再分类讨论即可获得问题的解答 解： 函数 f（ x）是奇函数，函数 f（ x）在（ 0， +）上是增函数， 它在（ -， 0）上也是增函数 f（ -x） =-f（ x）， f（ -1） =f（ 1） =0 不等式 xf（ x） -f（ -x） 0可化为 2xf（ x） 0， 即 xf（ x） 0， 当 x 0时， 可得 f（ x） 0=
3、f（ -1）， x -1， -1 x 0； 当 x 0时，可得 f（ x） 0=f（ 1）， x 1， 0 x 1 综上，不等式 xf（ x） -f（ -x） 0的解集为 x|-1 x0，或 0 x 1 故选 D 已知简谐振动 的振幅为 ，图象上相邻最高点与最低点之间的距离为 5，且过点 ，则该简谐振动的频率与初相分别为 A B C D 答案： C . 的展开式中含 x的正整数指数幂的项数是 A 0 B 2 C 4 D 6 答案： B 已知 ， 、 、 是共起点的向量， 、 不共线， ，则、 、 的终点共线的充分必要条件是 A B C D 答案： D 已知各项均不为零的数列 ,定义向量 ， ，
4、. 下列命题中真命题是 A若 总有 成立，则数列 是等差数列 B若 总有 成立，则数列 是等比数列 C若 总有 成立，则数列 是等差数列 D若 总有 成立，则数列 是等比数列 答案： A 设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是答案： D .如图，矩形 内的阴影部分是由曲线 及直线与 轴围成， 向矩形 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为 ，则 的值是 A B C D 答案： B 如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画 ,出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 A B C 4 D 答案： B 已知条件 ，条件 ，则 是 成立的 A充
5、分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案： B 填空题 如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形 EFGH的面积不改变； 棱 始终与水面 EFGH平行； 当 时， 是定值 . 其中正确说法是 . 答案： 设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 10，则 的最小值为 . 答案： 已知 则 的值 . 答案： .若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于 的条件是 . 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知向量
6、 ，函数 ，且 图 象上一个最高点的坐标为 ，与之相邻 的一个最低点的坐标为 . （ 1）求 的式； （ 2）在 ABC中， 是角 A、 B、 C所对的边，且满足 ，求角B的大 小以及 的取值范围 . 答案：解：（ 1） . -2分 图象上一个最高点的坐标为 ，与之相邻的一个最低点的坐标为. ， ，于是 . -5分 所以 . -6分 （ 2） ， -7分 又 ， . -8分 .于是 ， . -10分 所以 .-12分 （本小 题满分 12分） 上海世 博会深圳馆 1号作品大芬丽莎是由大芬村 507名画师集体创作的999幅 油画组合而成的世界名画蒙娜丽莎，因其诞生于大芬村，因此被命名为大芬丽莎某
7、部门从参加创作的 507名画师中随机抽出 100名画师，测得画师年龄情况如下表所示 分 组 （单位：岁） 频数 频 率 5 0 050 0 200 35 30 0 300 10 0 100 合 计 100 1 00 （ 1）频率分布表中的 、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图， 再根据频率分布直方图估计这 507名画师中年龄 在 岁的人数（结果取整数）； （ 2）在抽出的 100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取 20人参加上海世博会 深 圳馆志愿者活动，其中选取 2名 画师担任解说员工作，记这 2名画师中 “年龄低于 30岁 ”的人数为 ，求 的分布列及数学期望 答案： 解：
8、（ 1） 处填 20， 处填 0.350； 50 7名画师中年龄在 的人数为 人，补全频率分布直方图如图所示 分 （ 2）用分层抽样的方法，从中选取 20人 ,则其中 “年龄低于 30岁 ”的有 5人， “年龄不低于 30岁 ”的有 15人 .故 的可能取值为 0， 1， 2； 所以 的分布列为 0 1 2 P 所以 . 12 分 （本小题满分 12分） 已知各项均为正数的数列 满足 , 且 , 其中 （ I）求数列 的通项公式 ; （ II）设 数列 的前 项和为 ,令 ,其中 ,试比较 与的大小 ,并加以证明 答案： 解：（ )因为 ,即 又 ,所以有 ,所以 所以数列 是公比为 的等比数
9、列 . 3 分 由 得 , 解得 . 故数列 的通项公式为 . .6分 （ II）因 ，所以 即数列 是首项为 ,公比是 的等比数列 . 所以， .7 分 则 又 . 8 分 法一：数学归纳法 猜想 当 时， ,上面不等式显然成立； 假设当 时，不等式 成立 当 时， . 综上 对任意的 均有.10 分 法二：二项式定理：因为 , 所以 . 即对任意的 均有 . .10 分 又 , 所以对任意的 均有 . .12 分 （本题满分 12分） 如图 ,在 中， ， ， 、 分别为 、 的中点，的延长线交 于 。现将 沿 折起，折成二面角 ，连接 . （ I）求证 ：平面 平面 ； （ II）当 时
10、，求二面角 大小的余弦值 . 答案： 证明：（ I）在 ， 又 E是 CD的中点，得 AF CD. .3分 折起后， AE CD， EF CD，又 AEEF=E， AE 平 面 AED， EF 平面 AEF， 故 CD 平面 AEF，又 CD 平面 CDB，故平面 AEF 平面 CBD. 5 分 （ II）过点 A作 AH EF，垂足 H落在 FE的延长线上 . 因为 CD 平面 AEF，所以 CD AH，所以 AH 平面 CBD. 6 分 以 E为原点， EF 所在直线为 x轴， ED所在直线为 y轴， 过 E与 AH平行的直线为 z轴 建立如图空间直角坐标系 . .7 分 由（ I）可知
11、AEF即为所求二面角的平面角，设为 ，并设 AC= ，可得 8 分 得 11 分 故二面角 ACDB 大小的余弦值为 12 分 （本小题满分 12分） 已知实轴长为 ，虚轴长为 的双曲线 的焦点在 轴上，直线 是双曲线 的一条渐近线，且原点 、点 和点 ）使等式成立 . （ I）求双曲线 的方程； （ II）若双曲线 上存在两个点关于直线 对 称，求实数 的取值范围 . 答案： 解：（ I）根据题意 设双曲线 的方程为 2 分 且 , 解方程组得 所求双曲线的方程为 6 分 （ II）当 时，双曲线 上显然不存在两个点关于直线 对称； 7 分 当 时，设又曲线 上的两点 M、 N 关于直线 对
12、称， . 设直线 MN 的方程为 则 M、 N 两点的坐标 满足方程组 , 消去 得 显然 即 设线段 MN 中点为 则 . 在直线 10 分 即 即 的取值范围是 . 12 分 （本小题满分 14分） 已知 （ 1）求函数 上的最小值； （ 2）对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）证明：对一切 ，都有 成立 . 答案： 解：（ 1）由已知知函数 的定义域为 ， ， 1 分 当 单调递减，当 单调递增 .2分 ，没有最小值； 3 分 ，即 时， ； 4 分 ， 即 时， 上单调递增， ； 5 分 所以 6 分 （ 2） ，则 ， 7 分 设 ，则 ， 单调递减， 单调递增， 所以 ，对一切 恒成立， 所以 ； 10 分 （ 3）问题等价于证明 ， 11 分 由（ 1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到， 设 ，则 ， 易知 ，当且仅当 时取到， 13 分 从而对一切 ，都有 成立
