1、2011届山西大学附中高三理科数学 选择题 如果复数 的模为 4，则实数 的值为 A 2 B C D 答案： C 如图，四面体 的三条棱 两两垂直， , ，为四面体 外一点给出下列命题 不存在点 ，使四面体 有三个面是直角三角形； 不存在点 ，使四面体 是正三棱锥； 存在点 ，使 与 垂直并且相等； 存在无数个点 ，使点 在四面体 的外接球面上 其中真命题的序号是 答案： 已知正数 满足 ，则 的最小值为 A 3 B C 4 D 答案： C 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，抛物线的 顶点在原点，它的准线与双曲线 的左准线重合，若双曲线 与抛物线 的交点 满 足 ，则双曲线 的离心率为 A
2、 B C D 2 答案： B 已知函数 ，函数 （ ）， 若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： A 已知 ，直线 和曲线 有两个不同 的交点，它们围成的平面区域为 M，向区域 上随机投一点 A，点 A落在区域M内的 概率为 ，若 ，则实数 m的取值范围为 A B C D 答案： D 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 ，其中， ，若 ， C点所有可能的位置区域用阴影表示正 确的是答案： A 如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经 3分钟漏完已 知圆柱中液面上升的速度是一个常量， H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落 时间
3、t(分 )的函数关系表示的图象只可能是答案： B 已知命题 ：抛物线 的准线方程为 ；命题 ：若函数为偶 函数，则 关于 对称则下列命题是真命题的是 A B C D 答案： D 已知 是首项为 1的等比数列，且 成等差数列，则数列 的前 5项 的和为 A 31 B 32 CD 答案： C 已知 则 等于 A B C D 答案： D 下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2和 4，腰长为 4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 A B C D 答案： B 已知随机变量 服从正态分布 ， 则 = A 0.68 B 0.32 C 0.16 D 0.84 答案： C 若等差数列
4、 的首项为 公差为 ，前 项的和为 ，则数列 为等差数列，且通项为 类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项的积为 ，则 答案：数列 为等比数列，通项为 填空题 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为 4000在样本中记月收入在 ， ,的人数依次为 、 、 、 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的 （用数字作答）答案： 的展开式中的常数项为 _ 答案： 解答题 平面直角坐标系中，将曲线 （ 为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象
5、向右平移 个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 以坐标原点为极点， 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线 的方程为 ，求 和 公共弦的长度 答案：解：曲线 （ 为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半得到 ， 然后整个图象向右平移 个单位得到 ， 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的 2倍得到 ， 所以 为 ， 又 为 ，即 ， 所以 和 公共弦所在直线为 ， 所以 到 距离为 ， 所以公共弦长为 （本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，直线 AB过圆心 O，交圆 O 于 A、 B，直线 AF 交圆 O 于 F（不与 B重合），直线 与圆 O 相切
6、于 C，交 AB于 E，且与 AF 垂直，垂足为 G，连接AC 求证：（ ） ； （ ） 答案：证明：（ ）连结 ， 是直径， ， 切圆 于 ， （ ）连结 ， 切圆 于 ， 又 已知函数 在点 处的切线方程为 （ ）求 的表达式； （ ）若 满足 恒成立，则称 的一个 “上界函数 ”，如果 函数 为 （ 为实数）的一个 “上界函数 ”，求 的取值范围； （ ）当 时，讨论 在区间（ 0， 2）上极值点的个数 答案：解：（ ）当 时， ，代入 得 ，所以 ， ，由切线方程知 ，所以 ，故 （ ） 恒成立，即 恒成立，因为 ，所以 ， 令 ， ， 当 时， ，所以 在 为减函数； 当 时， ，所
7、以 在 为增函数； 的最小值为 ，故 （ ）由已知 ， ， 又 ，由 得， ， （ 1）当 时，得 ， ， 在（ 0， 2）为增函数，无极值点； （ 2）当 且 时，得 且 ， 有 2个极值点； （ 3）当 或 时，得 或 时， 有 1个极值点； 综上，当 时，函数 在（ 0， 2）无极值点；当 或 时，有 1个极值点；当 且 时， 有 2个极值点 已知椭圆方程为 ， P为椭圆上的动点， F1、 F2为椭圆的两焦点，当点 P不在 x轴上时，过 F1作 F1PF2的外角平分线的垂线 F1M，垂足为 M，当点 P在 x轴上时，定义 M与 P重合 （ ）求 M点的轨迹 T的方程； （ ）已知 、 ，
8、试探究是否存在这样的点 ： 是轨迹 T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且 OEQ 的面积 ？若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由 答案：解：（ ）当点 P不在 x轴上时，延长 F1M与 F2P的延长线相交于点 N,连结 OM， , M 是线段 的中点，|， = = = 点 P在椭圆上 4， 当点 P在 x轴上时， M与 P重合 M点的轨迹 T的方程为： （ ）连结 OE，易知轨迹 T上有两个点 A ， B 满足 , 分别过 A、 B作直线 OE的两条平行线 、 . 同底等高的两个三角形的面积相等 符合条件的点均在直线 、 上 . 直线 、 的方程分别为： 、 设点
9、 （ ） 在轨迹 T内， 分别解 与 ，得 与 为偶数，在 上 对应的 在 上 ，对应的 满足条件的点 存在，共有 6个，它们的坐标分别为： 某次月考数学第 卷共有 8道选择题，每道选择题有 4个选项，其中只有一个是正 确的；评分标准为： “每题只有一个选项是正确的，选对得 5分，不选或选错得0分 ”某考生每道题都给出一个答案：，已确定有 5道题的答案：是正确的，而其余 3道题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意而乱猜，试求该考生： （ ）得 40分的概率； （ ）得多少分的可能性最大？ （ ）所得分数 的数学期望 答案：解：（ ）某
10、考生要得 40分，必须全部 8题做对，其余 3题中，有一道做对的概率为 ， 有一道做对的概率为 ，有一道做对的概率为 ，所以得 40分的概率为 （ ）依题意，该考生得分的范围为 得 25分是指做对了 5题，其余 3题都做错了，所以概率为 得 30分是指做对 5题，其余 3题只做对 1题，所以概率为 得 35分是指做对 5题，其余 3题做对 2题，所以概率为 得 40分是指做对 8题，所以概率为 所以得 30分的可能性最大 （ ）由（ ）得 的分布列为： 25 30 35 40 所以 如图已知四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 2的正方形， PD 底面ABCD， E、 F分别为棱 BC
11、、 AD的中点 （ ）若 PD=1，求异面直线 PB和 DE所成角的余弦值 （ ）若二面角 P-BF-C的余弦值为 ，求四棱锥 P-ABCD的体积 答案：解：（ ） E， F分别为棱 BC， AD的中点， ABCD是边长为 2的正方形 T 且 = T 为平行四边形 T T 的所成角 中， BF= ,PF= ， PB=3T T异面直线 PB和 DE所成角的余弦为 （ ）以 D为原点，射线 DA,DC,DP分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系 .设PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有： 因为 PD 底面 ABCD，所以平面 ABCD的一个法向
12、量为 ， 设平面 PFB的一个法向量为 ，则可得 即 令 x=1,得 ，所以 . 由已知，二面角 P-BF-C的余弦值为，所以得： ， 解得 因为 PD是四棱锥 P-ABCD的高，所以，其体积为 如图，正在海上 A处执行任务的渔政船甲和在 B处执行任务的渔 政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70km的 C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C处沿直线 AC航行前去救援，渔政船乙仍留在 B处执行任务，渔政船甲航行 30km到达 D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，
13、于是立即通知在 B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙），此时 B、D两处相距 42km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置 C处实施营救 答案：解：设 ，在 ABD中， AD=30， BD=42， ，由正弦定理得： ， ， 又 ADBD ， ，在 BDC中，由余弦定理得： 答：渔政船乙要航行 才能到达渔船丙所在的位置 C处实施营救 已知函数 f(x)=|x-a|. （ ）若不等式 f(x)3的解集为 x|x1或 x5，求实数 a的值； （ ）在（ ）的条件下，若 f(x)+f(x+4)m对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围 . 答案
14、：（ ）由 f(x)3得 |x-a|3，解得 xa-3或 xa+3 又已知不等式 f(x)3的解集为 x|x-1或 x5，所以 ，解得a=2.5 分 （ ）当 a=2时， f(x)=|x-2|，设 g(x)=f(x)+f(x+4)， 于是 g(x)=|x-2|+|x+2|=JB(-2x,x -24， -2x22x， x 2JB) 所以当 x -2 时，g(x) 4；当 -2x2时， g(x)=4；当 x 2时， g(x) 4。 综上可得， g(x)的最小值为 4 从而若 f(x)+f(x+4)m，即 g(x)m对一切实数 x恒成立，则 m的取值范围为（ -,4 法二：（ ）同法一 （ ）当 a=2时， f(x)=|x-2|设 g(x)=f(x)+f(x+4) 由 |x-2|+|x+2|（ x-2） -（ x+2） |=4（当且仅当 -2x2时等号成立），得 g(x)的最小值为 4从而，若 f(x)+f(x+4)m，即 g(x)m对一切实数 x恒成立则 m的取值范围为 (-,4
