1、2011届江苏省泰州市高三第一次模拟考试数学卷 填空题 双曲线 的离心率是 。 答案： 已知 是锐角 的外接圆的圆心，且 ，若,则 。（用 表示） 答案： 已知函数 ，若 ，且 ，则的取值范围为 。 答案： 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 。 答案： 过直线 上一点 作圆 的线 ，若 关于直线 对称，则点 到圆心 的距离为 。 答案： 数列 为正项等比数列，若 ，且 ，则此数列的前 4项和 。 答案： 设 是两条直线， 是两个平面，则下列 4组条件中所有能推得的条件是 。（填序号） ， ； ； ， ； ， ， 。 答案： 图是一个算法的流程图，则输出 的值是 。 答案： 设函数 ，若曲线
2、在点 处的切线方程为，则 。 答案： 设 ，则在区间 上随机取一个数 ，使的概率为 。 答案： 某单位有职工 900人，其中青年职工 450人，中年职工 270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 10人，则样本容量为 。 答案： 已知集合 ， ，若 ，则 。 答案： 设 是虚数单位，若 是实数，则实数 。 答案： 命题 “ ”的否定是 。 答案： 解答题 （本小题满分 16分）已知在直角坐标系中， ，其中数列 都是递增数列。 （ 1）若 ，判断直线 与 是否平行； （ 2）若数列 都是正项等差数列，设四边形 的面积为 求证：
3、也是等差数列； （ 3）若 , ，记直线 的斜率为 ，数列前 8项依次递减，求满足条件的数列 的个数。 答案： 由题意 、 、 、 ， （ 2分） ， 与 不平行 （ 4 分） 、 为等差数列，设它们的公差分别为 和 ，则， 由题意 （ 6分） ， （ 8分） ， 是与 无关的常数， 数列 是等差数列 （ 10分） 、 ， 又数列 前 项依次递减， 对 成立，即对 成立 （ 12分） 又数列 是递增数列， ，只要 时，即 即可 又 ，联立不等式 ，作出可行域（如右图所示），易得 或 （ 14分） 当 时， ，即 ，有 解； 当 时， ，即 ，有 解 数列 共有个（ 16分） 另解：也可直接由
4、得 又 ，则 或下同 （本小题满分 16分）如图，在直角坐标系中， 三点在 轴上，原点和点 分别是线段 和 的中点，已知 （ 为常数），平面上的点 满 。 （ 1）试求点 的轨迹 的方程； （ 2）若点 在曲线 上，求证：点 一定在某圆 上； （ 3）过点 作直线 ，与圆 相交于 两点，若点 恰好是线段 的中点，试求直线 的方程。 答案： 由题意可得点 的轨迹 是以 为焦点的椭圆 （ 2分） 且半焦距长 ，长半轴长 ，则 的方程为 （ 5分） 若点 在曲线 上，则 设 ， ，则 ， （ 7分） 代入 ，得 ，所以点 一定在某一圆 上 （ 10分） 由题意 （ 11分） 设 ，则 因为点 恰好是
5、线段 的中点，所以 代入 的方程得 联立 ，解得 ， （ 15分） 故直线 有且只有一条，方程为 （ 16分） （若只写出直线方程，不说明理由，给 1分） （本小题满分 14分）某地区的农产品 第 天 的销售价格（元 百斤），一农户在第 天 农产品 的销售量（百斤）。 （ 1）求该农户在第 7天销售农产品 的收入； （ 2）问这 20天中该农户在哪一天的销售收入最大？ 答案： 由已知第 7天的销售价格 ，销售量 第 7天的销售收入 （元） （ 3分） 设第 天的销售收入为 ，则 （ 6 分） 当 时， （当且仅当时取等号） 当 时取最大值 （ 9分） 当 时， （当且仅当时取等号） 当 时取最
6、大值 （ 12分） 由于 ， 第 2天该农户的销售收入最大 （ 13分） 答： 第 7天的销售收入 2009元； 第 2天该农户的销售收入最大 （ 14分） （本小题满分 14分）已知 ， ， 。 （ 1）若 ，记 ，求 的值； （ 2）若 ， ，且 ，求证： 。 答案： ， （ 3分） （ 5分） （ 7分） ， ， （ 9分） 又 ， ， （ 12 分） （ 14 分） （本小题满分 14分）已知四面体 中， ,平面平面 , 分别为棱 和 的中点。 （ 1）求证： 平面 ; （ 2）求证： ; （ 3）若 内的点 满足 平面 ,设点 构成集合 ，试描述点集的位置（不必说明理由） 答案： 在
7、 中， ， 为 的中点， （ 1分） 又 平面 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 （ 5分） ， 为 的中点， （ 6分） 由 ，又 ， ， 平面 ， 平面 （ 9分） 又 平面 ， ，即 （ 10分） 取 、 的中点 、 ，所有的点 构成的集合 即为 的中位线 （ 14分） （本小题满分 16分）已知常数 ，函数 （ 1）求 的单调递增区间； （ 2）若 ，求 在区间 上的最小值 ； （ 3）是否存在常数 ，使对于任意 时， 恒成立，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 答案： 当 时， 为增函数 （ 1分） 当 时， = 令 ，得 （ 3 分） 的增区间为 ， 和 （ 4分） 由图可知， 当 时， ， 在区间 上递减，在 上递增，最小值为 ； （ 6分） 当 时， 在区间 为增函数，最小值为； （ 8分） 当 时， 在区间 为增函数，最小值为； （ 9分） 综上， 最小值 （ 10分） 由 ， 可得 ， （ 12分） 即 或 成立，所以 为极小值点，或 为极大值点又 时 没有极大值，所以 为极小值点，即 （ 16分） （若只给出 ，不说明理由，得 1分）
