1、2011届江西省宜春市高三模拟考试数学理卷 选择题 如果 （ 表示虚数单位），那么 （ ） A 1 B C 0 D 答案： A 下图展示了一个由区间 到实数集 的映射过程：区间 中的实数对应数轴上的点 （如图 ），将线段 围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图 ），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在 轴上，点 的坐标为 （如图 ），若图 中直线 与 轴交于点，则 的象就是 ，记作 现给出以下命题： ； 的图象关于点 对称； 为偶函数； 在 上为常数函数 . 其中正确命题的个数为（ ） A B C D 答案： B 定义：若平面点集 中的任一个点 ，总存在正实数 ，使得集合，则称
2、 为一个开集 .给出下列集合： ； ； ； . 其中是开集的是（ ） A B C D 答案： D 直线 ， 将圆面 分成若干块，现有 种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有 种涂法，则 的取值范围是（ ） A. . C D 答案： A 已知 、 、 是双曲线 上不同的三点，且 、 连线经过坐标原点，若直线 、 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. . C D 答案： D 某市原来居民用电价为 0.52元 /kw h，换装分时电表后，峰时段 (早上八点到晚上九点 )的电价 0.55元 /kw h ，谷时段 (晚上九点到次日早上八点 )的电价为0.35元 /kw
3、h对于一个平均每月用电量为 200kw h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ( ) A. B. . D. 答案： C 一个四棱锥的三视图如图所示 ，其中主视图是腰长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 ( ) A B CD 答案： A 已知 则下列结论中不正确的是（ ） A将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象 B函数 的最大值为 C函数 的图象关于 对称 D函数 的最小正周期为 答案： C 给定空间中的直线 及平面 ，则 “直线 与平面 内无数条直线都垂直 ”是“直线 与平面 垂直 ”的（ ） A充
4、要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 答案： C 设集合 ， ，若 ，则 （ ） A B C D 答案： B 填空题 （考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分） A.化极坐标方程 为直角坐标方程为 . B.不等式 对任意 恒成立的实数 的取值范围为 _ 答案： A: ， B: 给出下列命题： 是幂函数 函数 的零点有 个 展开式的项数是 6项 函数 图象与 轴围成的 图形的面积是 若 ，且 ，则 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号） . 答案： 已知 D是不等式组 所确定的平面区域，则圆 在区域 D内的弧长为 . 答案： 执行
5、下边的程序框图，则输出的结果是 . 答案： , ，则 范围为 答案： 解答题 （本小题满分 分） 设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 ， ， ，且 。 （ ）求角 A的大小； （ ）若 =1，求 ABC的周长 l的取值范围。 答案：解：（ ）由 ， 5 分 （ ）由正弦定理得： 8 分 ABC的周长 l的取值范围为 12 分 （本小题满分 分） 桌面上有两颗均匀的骰子（ 个面上分别标有数字 ） .将桌面上骰子全部抛掷在桌面上，然后拿掉那些朝上点数为奇数的骰子，如果桌面上没有了骰子，停止抛掷，如果桌面上还有骰子，继续抛掷桌面上的剩余骰子 . 记抛掷两次之内（含两次）去掉的骰子的颗数为
6、 . （ ）求 ； （ ）求 的分布列及期望 . 答案： （ ） 5 分 （ ） 12 分 （本小题满分 分） 如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中，侧面 A1ADD1 底面 ABCD， D1A=D1D=，底面 ABCD为直角梯形，其中 BC/AD， AB AD， AD=2AB=2BC=2， O为 AD中点 . （ ）求证： A1O/平面 AB1C； （ ）求锐二面角 AC 1D1C 的余弦值 . 答案： （ ）证明：如图（）， 连结 CO、 A1O、 AC、 AB1， 1 分 则四边形 ABCO 为正方形，所以 OC=AB=A1B1， 所以，四边形 A1B1CO为平行四边形， 3 分
7、 所以 A1O/B1C， 又 A1O 平面 AB1C， B1C 平面 AB1C 所以 A1O/平面 AB1C6 分 （ ）因为 D1A=D1D， O 为 AD中点，所以 D1O AD 又侧面 A1ADD1 底面 ABCD， 所以 D1O 底面 ABCD， 7 分 以 O 为原点， OC、 OD、 OD1所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图（ 2）所示的坐标系，则 （ 1， 0， 0）， （ 0， 1， 0）， （ 0， 0， 1）， （ 0，-1， 0） .8 分 所以 ， 9 分 设 为平面 C1CDD1的一个法向量， 由 ，得 ， 令 ，则 .10 分 又设 为平面 AC1D1的一个法向
8、量， 由 ，得 ， 令 ，则 ， 11 分 则 ，故所求锐二面角 A-C1D1-C的余弦值为 12分 （本小题满分 分） 设函数 . （ ）求函数 单调区间； （ ）若 恒成立，求 的取值范围； 答案：解：（ I） 当 时， ， 在 上是增函数； 当 时，令 得 ， 3 分 若 ，则 ，从而 在区间 上是增函数； 若 ，则 ，从而 在区间 上是减函数 综上可知：当 时， 在区间 上是增函数 .当 时，在区间上是增函数， 在区间 上是减函数 6 分 （ II）由（ I）可知：当 时， 不恒成立 8 分 又当 时， 在点 处取最大值， 且 10 分 令 得 故若 对 恒成立，则 的取值范围是 12
9、 分 （本小题满分 分） 已知直线 与抛物线 相切于点 ，且与 轴交于点 ，定点 的坐标为 . （ ）若动点 满足 ，求点 的轨迹 ； （ ）若过点 的直线 （斜率不等于零）与（ I）中的轨迹 交于不同的两点、 （ 在 、 之间），试求 与 面积之比的取值范围 . 答案： 解：（ I）由 故 的方程为 点 A的坐标为（ 1， 0） 2 分 设 由 整理得： 4 分 动点 M的轨迹 C为以原点为中心，焦点在 x轴上， 长轴长为 ，短轴长为 2的椭圆 . 5分 （ II）如图，由题意知 的斜率存在且不为零， 设 方程为 将 代入 ，整理，得 7 分 设 ， 则 令 由此可得 由 知 即 10 分 解得 又 面积之比的取值范围是 13 分 （本小题 分） 设 是数列 的前 项和，点 在直线 上 . （ ）求数列 的通项公式； （ ）记 ，数列 的前 项和为 ，求使 的 的最小值； ( )设正数数列 满足 ，求数列 中的最大项 . 答案： .（ 1）依题意得 ，则 时， ， -2分 又 时， .-4分 （ 2）依题意 ， 由 ，得 -6分 因此 n的最小值为 1007. -9分 （ 3）由已知得 即 -11分 令 ， ，则 ，当 时， ，即 当 时， 为递减函数 , -12分 , 为数列 中最大项 . -14分
