1、2011届浙江省杭州市高三第二次教学质量考试数学理卷 选择题 设函数 若 ，则 =（ ） A 3 B 3 C 1 D 1 答案： D 已知函数 集合只含有一个元素，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作双曲线的一条渐近线的垂线 ,垂足为 ,若 的中点 在双曲线 上 ,则双曲线 的离心率为（ ） A B C 2 D 3 答案： A 体育课的排球发球项目考试的规则是 : 每位学生最多可发球 3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3次为止 . 设学生一次发球成功的概率为 p (p 1 0)，发球次数为 X，若 X的数学期望 EX 1.
2、75，则 p的取值范围是 ( ) A (0， ) B ( ， 1) C (0， ) D ( ， 1) 答案： C 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 8，则判断框内 m的取值范围是（ ） A (30， 42 B (42， 56 C (56， 72 D (30， 72) 答案： B 已知 ，且 ，则 （ ） A B C D 答案： A 若正实数 满足 ，则（ ） A 有最大值 4 B 有最小值 C 有最大值 D 有最小值 答案： C 已知非零向量 a， b满足 |a + b| =|ab |= |a|，则 a + b与 ab的夹角为（ ） A B C D 答案： B 6名同学安排到 3个社区
3、A， B， C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到 A社区，乙和丙同学均不能到 C社区，则不同的安排方法种数为（ ） A 12 B 9 C 6 D 5 答案： B 设 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件为（ ） A B C D 答案： C 填空题 由数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7组成一个无重复数字的七位正整数，从中任取一个，所取的数满足首位为 1且任意相邻两位的数字之差的绝对值不大于2的概率等于 . 答案： 设实数 满足不等式组 且 的最小值为 ，当时，实数 的取值范围是 _. 答案： 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为 .
4、答案： 如果以抛物线 过焦点的弦为直径的圆截 y轴所得的弦长为 4, 该圆的方程是 答案： (x )2 + (y 1)2 = 设 则_. 答案： 如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 . 答案： 已知 是虚数单位， 则 . 答案： 解答题 (本题满分 14分 ) 已知函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 . （ ）求 的值； （ ）在 中， 分别是角 的对边，若 求的最大值 答案： （ ） 4分 图象的两条相邻对称轴间的距离为 ， 的最小正周期 7分 （ ）由 得 p， 11分 由余弦定理，得 因此，于是，当 即 为正三角形时， 的最大值为 14分
5、 (本题满分 14分 ) 已知正项数列 满足：对任意正整数 ，都有 成等差数列，成等比数列，且 （ ）求证：数列 是等差数列； （ ）求数列 的通项公式； ( ) 设 如果对任意正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 答案： （ 1）由已知，得 ， . 由 得 . 将 代入 得，对任意 ，有 即 是等差数列 . 4分 （ ）设数列 的公差为 ， 由 经计算，得 9分 （ ）由（ 1）得 不等式 化为 即 设 ，则 对任意正整数 恒成立 当 ，即 时，不满足条件； 当 ，即 时，满足条件； 当 ，即 时， 的对称轴为 ， 关于 递减， 因此，只需 解得 综上， 14分 (本题满分 14分
6、) 如图 1，在平面内， ABCD是 的菱形， ADDA1和 CD DC1都是正方形将两个正方形分别沿 AD， CD折起，使 D与 D重合于点 D1 .设直线 l过点 B且垂直于菱形 ABCD所在的平面，点 E是直线 l上的一个动点，且与点 D1位于平面 ABCD同侧（图 2） ( ) 设二面角 E AC D1的大小为 q，若 q ，求线段 BE长的取值范围； ( )在线段 上存在点 ，使平面 平面 ，求 与 BE之间满足的关系式，并证明：当 0 0） （ ） 设平面 的法向量为 ，则 3分 设平面 的法向量为 ， 则 4分 设二面角 的大小为 ，则 ， 6分 cosq ， ， 解得 t 所以
7、 BE的取值范围是 ， 8分 ( ) 设 ，则 由平面 平面 ，得 平面 ， ,化简得： (t 1a)，即所求关系式： （ BE 1a). 当 0 0）则有： OD1 = ， OE = ， D1E = ， . 6分 cosq ， ， 解得 t 所以 BE的取值范围是 ， 所以当条件满足时， BE 8分 （ ）当点 E在平面 A1D1C1上方时，连接 A1C1，则 A1C1 AC， 连接 EA1， EC1，设 A1C1的中点为 O1，则 O1在平面 BDD1内，过 O1作 O1P OE交 D1E于点 P，则平面 平面 (本题满分 14分 ) 已知直线 所经过的定点 恰好是椭圆 的一个焦点，且椭圆
8、 上的点到点 的最大距离为 3. ( ) 求椭圆 的标准方程； ( ) 设过点 的直线 交椭圆于 、 两点，若 ，求直线 的斜率的取值范围 . 答案： ( )由 得 ， 由 ，解得 . 2分 设椭圆 的标准方程为 ，则 解得 ， 从而椭圆 的标准方程为 . 6分 ( ) 过 的直线 的方程为 ， ， ， 由 ，得 ，因点 在椭圆内部必有 ， 有 ， 8分 所以 |FA| |FB| (1 + k2 )|(x1 1)(x2 1 )| 11分 由 ，得 ， 解得 或 ， 所以直线 的斜率的取值范围为 . 14分 (本题满分 16分 ) 已知函数 （ ）若函数 是定义域上的单调函数，求实数 的最小值； （ ）在函数 的图象上是否存在不同两点 ，线段 的中点的横坐标为 ，直线 的斜率为 ，有 成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 答案：（ ） 2分 若函数 在 上递增，则 对 恒成立，即 对恒成立，而当 时， 若函数 在 上递减，则 对 恒成立，即 对恒成立，这是不可能的 综上， 的最小值为 1 6分 （ ）假设存在，不妨设 9分 若 则 ，即 ，即 （ *） 12分 令 ， （ )， 则 0 在 上增函数， ， （ *）式不成立，与假设矛盾 因此，满足条件的 不存在 16分
