1、2011届湖北省天门市高三模拟考试（一）理科数学 选择题 设全集为 R，集合 A=x | 1，则 CRA等于 A x | 0x 1 B x | 0 x1 C x | x 1或 x0 D x | x1或 x 0 答案： A 考点：补集及其运算 分析：由集合 A=x| 1，解分式不等式，即可求出集合 A，求出集合 A的补集即可 解：集合 A=x| 1=x|x 0或 x1， 全集为 R， CRA=x|0x 1 故选 A 已知定义在 R上的函数 的图象关于点（ - ， 0）对称，且满足， ， ，则 的值是 A 2 B 1 C -1 D -2 答案： B 考点：抽象函数及其应用；函数的值 分析：由函数图
2、象关于点（ - ， 0）对称，知 f(x)=-f(-x- )，由 f(x)=-f(x- )可得 f（ x） =f（ x-3），从而 f（ x） =f（ x+3）， f（ x）是最小正周期为 3的周期函数；再由 f(-x- )=f(x+ )，可得故 f（ x）是偶函数，从而结合条件可求得 f（ 1）， f（ 2）， f（ 3）的值 解： 函数图象关于点（ - ， 0）对称， f(x)=-f(-x- )， f(x)=-f(x- )，即 f（ x- ） =-f（ x）， f（ x- ） - =-f（ x- ） =f（ x），即 f（ x-3） =f（ x） =f（ x-3） +3， f（ x+3）
3、=f（ x）； f（ x）是最小正周期为 3的周期函数； 又 f(-x- )=f(x+ )，故 f（ x）是偶函数 f（ -1） =f（ 2） =1， f（ 1） =f（ -1） =1， f（ 3） =f（ 0） =-2， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） =0，又 f（ x）是最小正周期为 3的周期函数， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f （ 2011） =f（ 2011） =f（ 3670+1） =f（ 1） =1 故选 B 若点 A， B， C是半径为 2的球面上三点，且 AB=2，则球心到平面 ABC的距离最大值为 A B C D 答案： D 考点：点、线、面间的距离
4、计算；球面距离及相关计算 分析：当截面是以 AB为直径的圆时，球心 O到平面 ABC的距离最大，可求得球心 O到平面 ABC的距离最大值为 解：因为当截面是以 AB为直径的圆时， 球心到过 A、 B两点的平面的距离最大 设截面圆的圆心为 O1，球心为 O， 则 OO1A是以 OO1A=90的直角三角形， 且 AO1=1， AO=2，球心到截面的距离 OO1= = 所以：截面圆半径为 1，球心到截面的距离为： 故选 D 若实数 x， y满足不等式组 ，则 t x-y的取值范围是 A -2， -1 B -2， 1 C -1， 2 D 1， 2 答案： D 即 ， 即 ， 即 。 ，即 ，所以满足
5、，将 乘 -3，加上得到 即 （ 时取等号）所以 故选择 C 答案：错了 函数 的部分图象如图所示，则 = A -4 B 2 C -2 D 4 答案： D 已知 ，则此函数图象在点（ 1， ）处的切线的倾斜角为 A零角 B锐角 C直角 D钝角 答案： D 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 分析：先求函数 f（ x） =excosx的导数，因为函数图象在点（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为函数在 x=1处的导数，就可求出切线的斜率，再根据切线的斜率是倾斜角的正切值，就可根据斜率的正负判断倾斜角是锐角还是钝角 解： f（ x） =excosx-exsinx， f（ 1） =e（ cos1-s
6、in1） 函数图象在点（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 e（ cos1-sin1） e（ cos1-sin1） 0， 函数图象在点（ 1， f（ 1）处的切线的倾斜角为钝角 故选 D 将 4个不同颜色的小球全部放入不同标号的 3个盒子中，不同的放法种数为 A 36 B 64 C 81 D 96 答案： C 考点：计数原理的应用 分析：根据题意，每个小球有 3种方法，由分步计数原理计算可得答案： 解：根据题意，每个小球有 3种方法，共有 3333=34=81种放法， 故选 C 已知 是等差数列， 是其前 n项和， ， ，则过点 P（ 3，）， Q（ 4， ）的直线的斜率是 A 4 B C -
7、4 D -14 答案： A 本题可以根据等差数列的定义求解，但如果能记得 ，便能较快地求出 ， ，所以 ，则直线的斜率 ，故选择 A 设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 A B C D 答案： A 在复平面内，复数 对应的点与原点的距离是 A 1 B C 2 D 2 答案： B 对应的点为 ，所以对应的点与原点的距离，故选择 B 填空题 等边三角形 ABC与正方形 ABDE有一公共边 AB，二面角 CABD 为直二面角， M， N分别是 AC， BC的中点，则 EM， AN所成角的余弦值为 答案： 定义在 -2， 2上的偶函数 在 0， 2上的图象如图
8、所示，则不等式+ 的解集为 答案： 已知椭圆 短轴端点为 A， B点 P是椭圆上除 A， B外任意一点，则直线 PA， PB的斜率之积为 答案： 设常数 ， 展开式中 的系数为 则 答案： 将函数 的图象按向量 平移，所得图象的函数式是 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知 ABC中， a， b， c分别是角 A， B， C的对边， A是锐角，且， =8 （ 1）求 bc的值； （ 2）求 a的最小值 答案：解：（ 1）由 ，可得 ，因为 A是锐角，所以3 分 =8， = =8， bc=10 6 分 （ 2）由余弦定理可得 ， 当且仅当 时取等号所以 a的最小值 为 2 12 分 （本
9、小题满分 12分） 一个盒子里装有 4张卡片，分别标有数 2， 3， 4， 5；另一个盒子里则装有分别标有 3， 4， 5， 6四个数的 4张卡片从两个盒子里各任取一张卡片 （ 1）求取出的两张卡片上的数不同的概率； （ 2）求取出的两张卡片上的数之和 的期望 答案：解：（ 1）从两个盒子里各任意取一张卡片的所有的结果数为44=16种，其中两张卡片上数字相同（记为事件 A）的结果共有 3种， 因此，两张卡片上数字相同的概率为： P（ A） = ， 3分 所以，两张卡片上数字不同的概率为： P（ ） = 6分 （ 2）所取出的两张卡片上的数之和 的所有可能取值 为 5， 6， 7， 8， 9，
10、10，11 其颁布列为 5 6 7 8 9 10 9 分 11P E=5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 =8 12分 （本小题满分 12分） 如图，四面体 ABCD中， O是 BD的中点， ABD和 BCD均为等边三角形，AB=2， AC= （ 1）求证： AO 平面 BCD； （ 2）求二面角 ABCD 的余弦值； （ 3）求点 O到平面 ACD的距离 答案：解法一：（ 1）连接 OC， ABD和 CBD为等边三角形， O为 BD的中点， AO BD， CO BD，又 AB=2， AC= ， AO= CO= 3 分 在 AOC中， AO2+ CO2= AC2， AOC=90o，即
11、AO OC BDOC=O， AO 平面 BCD 4 分 （ 2）过 O作 OE BC于 E，连接 AE， AO 平面 BCD， AE在平面 BCD上的射影为 OE， AE BC， AEO为二面角 ABCD 的平面角 6 分 在 Rt AEO中， AO= ， OE= ， tan AEO= =2， cos AEO= ， 二面角 ABCD 的余弦值为 8 分 （ 3）设点 O到平面 ACD的距离为 h VOACD= VAOCD ， S ACD h= S OCD AO 在 ACD中， AD= CD=2， AC= ， S ACD= 而 AO= ， S OCD= ， ， 点 O到平面 ACD的距离为 12
12、 分 解法二：（ 1）同解法一 4 分 （ 2）以 O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 5 分 AO 平面 BCD， 平面 BCD的法向量 =（ 0， 0， ） 6 分 设平面 ABC的法向量 n=（ x， y， z）， =（ 0， -1， - ）， =（ ， 1， 0） n 由 n=（ 1， - ， 1） |n| 设 n与 的夹角为 ，则 |cos |= = ， 二面角 ABCD的余弦值为 8 分 （ 3）设平面 ACD的法向量 m=（ x， y， z）， |m| 又 与 m的夹角为 ，则 |cos |= = 设点 O到平面 ACD的距离为 h， h= ， 点 O到平面 ACD的距离为
13、12 分 （本小题满分 12分） 已知直线 与椭圆 相交于 A， B两点，线段 AB中点 M在直线 上 （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）若椭圆右焦点关于直线 l的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程 答案：解：（ 1）设 A， B两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2）， 由 得： 1 分 = ，即 2 分 x1+x2= ， y1+y2 -( x1+x2)+2= ， 点 M的坐标为（ ， ） 4 分 又点 M在 直线 l上， - =0， ， ， 6 分 （ 2）由（ 1）知 ，设椭圆的右焦点 F（ b， 0）关于直线 l： 的对称点为（ x0， y0）， 由 ，解得 8 分 ， ，
14、 ，显然有 10 分 所求的椭圆的方程为 12 分 （本小题满分 13分） 数列 的前 n项和 满足 数列 满足 （ 1）求数列 的前 n项和 ； （ 2）若对一切 n N*都有 ，求 a的取值范围 答案：解：（ 1）当 n=1时， a1=S1， ，解得a1=a 1 分 当 n2时， an=Sn- Sn-1 ， ， 2 分 ，两式相减得 ， ， 所以数列 是首项为 a，公比为 a的等比数列 3 分 从而 ， 设 ，则 ， ， 6 分 （ 2）由 可得 当 时，由 ，可得 ， （ n N*）， ， 8 分 对一切 n N*都成立，此时的解为 当 时，由 可得 ， （ n N*）， ， 11 分
15、对一切 n N*都成立， 由 ， 可知，对一切 n N*都有 的 a的取值范围是 或 13分 （本小题满分 14分） 已知函数 （ 1）当 a=1时，求 的极小值； （ 2）设 ， x -1， 1，求 的最大值 F（ a） 答案：解：（ 1）当 时， ，令 ，得 当 x （ -1， 1）时 ， 当 x （ -， -1） （ 1， +）时 在（ -1， 1）上单调递减，在（ -， -1），（ 1， +）上单调递增， 的极小值为 4 分 （ 2）因 在 -1， 1上为偶函数， 故只求在 0， 1上的最大值即可 ， x 0， 1， = ， 当 时， ， 在 0， 1上单调递增， 此时 8 分 当 时， =| |=- 在 0， 上单调递增， 在 ， 1 上单调递减，故 12 分 14 分
