1、2011届福建省高考模拟试题（ 1） 选择题 设 ，集合 ， ，则下列结论正 确的是（ ） A B C D 答案： B 若在直线 上存在不同的三个点 ，使得关于实数 的方程有解（点 不在 上），则此方程的解集为（ ） A B CD 答案： A 设函数 的定义域为 R+，若对于给定的正数 ，定义函数则当函数 , 时， 的值为（ ） A B C D 答案： D 福建泉州市 2008年的生产总值约为 3151亿元人民币，如果从此泉州市生产 总值的年增长率为 10.5%，求泉州市最早 哪一年的生产总值超过 8000亿元人民币？ 某同学为解答这个问题设计了一个程序框图， 但不慎将此框图的一个处理框中的内
2、容污染 而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的 内容应是 （ ） A B C D 答案： B 考点：设计程序框图解决实际问题 分析：首先分析程序框图表示的意义，然后根据已知判断程序框图里面 a， b，c的意义即可判断执行框的内容 解：根据题意，本程序框图意义为计算生产总值 由题意， a=3151， b=1.105， n=2008 本程序为 “当型 “循环结构 当满足 a 8000时，跳出循环，输出年份 n 当不满足 a 8000时，执行语句 n=n+1 根据已知， a为 2008年生产总值， b“1+为增长率 “ 故执行的语句应为 a=ab 故答案：为 B 已知实数 满足 ,给出下列关系式
3、其中可能成立的有（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 答案： C 考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质；幂函数的图像 分析：借助与指数函数与对数函数，幂函数的图象来解题 解：因为在 x 0的范围内，指数函数是底数越大图象越高，故 对又因为在0 x 1的范围内，对数函数是底数越大图象越高，故 对而 中，因为 0n m 1，所以 =( )2 1，而 n 1，故 n，即 m2 n3，故 错 故选 C 下列说法中 ,不正确的是（ ） A “ ”是 “ ”的必要不充分条件； B命题 ， ，则 ， ； C命题 “若 都是偶数，则 是偶数 ”的否命题是 “若 不是偶数，则不是偶数 ”； D命题
4、 所有有理数都是实数 , 正数的对数都是负数，则 为真命题 答案： C 已知 则 等于（ ） A B C D 答案： B 已知 是虚数单位，使 为实数的最小正整数 为（ ） A B C D 答案： D 如图：正方体 ABCDA 1B1C1D1中， E、 F、 G、 H、 K、 L 分别为 AB、 BB1、B1C1、 C1D1、 D1D、 DA的中点，则六边形 EFGHKL在正方体面上的射影可能是（ ） 答案： B 考点：简单空间图形的三视图 分析：由题意不难判断六边形 EFGHKL在正方体面后、下面、右面上的射影，（前后、左右、上下的射影相同）即可得到结论 解： E、 F、 G、 H、 K、
5、L分别为 AB、 BB1、 B1C1、 C1D1、 D1D、 DA的中点， 则六边形 EFGHKL在正方体后面上的射影， 在左侧面上的射影也应该是 在底面 ABCD上的投影为 即是B图， 故选 B 已知向量 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 填空题 若等差数列 的首项为 公差为 ，前 项的和为 ，则数列 为等差数列，且通项为 类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为 ，公比为 ，前 项的积为 ，则数列 为等比数列 ,通项为_. 答案： 若实数 、 满足 且 的最小值为 ，则实数 的值为_. 答案： 上海世博园中的世博轴是一条 1000 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图
6、所示） . 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为 . 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 . 答案： 如图，在矩形 中， 为 中点，抛物线 的一部分在矩形内，点 为抛物线顶点，点 在抛物线上，在矩形 内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 . 答案： 某体育赛事志愿者组织有 1000名志愿者，其中参加过 2008年北京奥运会志愿服务的有 250名， 新招募的 2010年广州亚运会志愿者 750名 .现用分层抽样的方法从中选出 100名志愿者调查他们 的服务能力，则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 答案： 解答题 泉州市为鼓励企业发展 “低碳经济
7、 ”，真正实现 “低消耗、高产出 ”，施行奖惩制度 .通过制定评 分标准，每年对本市 的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等次， 并根据等级给予相应的奖惩（如下表） .某企业投入 万元改造，由于自身技术原因， 能达到以上四个等次的概率分别为 ，且由此增加的产值分别为 万元、 万元、 万元、 万元 .设该企业当年因改造而增加利润为 . ( )在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少？ （ ）求 的数学期望 . 评估得分 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 奖惩（万元） 答案：解：（ ）设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为，则 4 分 （ ）依题意， 的
8、可能取值为 则 ， 则其分布列为 10 分 （万元） 13 分 如图，在棱长为 的正方体 中， 为线段 上的点，且满足 . （ ）当 时，求证：平面 平面 ； （ ）试证无论 为何值，三棱锥 的体积 恒为定值； （ ）求异面直线 与 所成的角的余弦值 . 答案： 18解： 方法一、证明：（ ） 正方体 中， 面 ， 又 平面 平面 ， 2 分 时， 为 的中点， ， 又 平面 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 4 分 （ ） ， 为线段 上的点， 三角形 的面积为定值，即 ， 6分 又 平面 ， 点 到平面 的距离为定值，即， 8 分 三棱锥 的体积为定值，即 也即无论 为何值，三
9、棱锥 的体积恒为定值； 10 分 （ ） 由（ ）易知 平面 ， 又 平面 ， ， 12 分 即异面直线 与 所成的角为定值 ，从而其余弦值为 13 分 方法二、如图，以点 为坐标原点，建立如图所示的坐标系 （ ）当 时，即点 为线段 的中点，则 ，又 、 ， ，设平面 的法向量为， 1 分 则 ，即 ，令 ，解得 ， 2分 又 点 为线段 的中点， ， 平面 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 的池底水平铺设污水净化管道 ， 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好 .设计要求管道的接口 是 的中点， 分别落在线段 上 .已知米， 米，记 . （ 1）试将污水净化管道的长度
10、表示为 的函数，并写出定义域； （ 2）若 ，求此时管道的长度 ； （ 3）当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度 .答案：（ 1）解： ， ，. 由于 ， ，所以 ，所以. 所以 ， .4 分 （ 2）解：当 时， ，（米） .7 分 （ 3）解： ，设 ，则 ，所以 .由于 ，所以 .由于 在 上单调递减，所以当 即 或 时，取得最大值 米 . 答：当 或 时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米 .13 分 已知椭圆 ： （ ），其焦距为 ，若（ ），则称椭圆 为 “黄金椭圆 ” （ 1）求证：在黄金椭圆 ： （ ）中， 、 、 成等比数列 （ 2）黄金椭圆 ： （ ）的右
11、焦点为 ， 为椭圆 上的 任意一点是否存在过点 、 的直线 ，使 与 轴的交点 满足 ？若存在，求直线 的斜率 ；若不存在，请说明理由 （ 3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别是 、 ，以 、 、 、 为顶点的菱形 的内切圆过焦点 、 试写出 “黄金双曲线 ”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明 答案：（ 1）证明：由 及 ，得 ，故 、 、 成等比数列（ 3分） （ 2）解：由题设，显然直线 垂直于 轴时不合题意，设直线 的方程为， 得 ，又 ，及 ，得点 的坐标为 ，（ 5分） 因为点 在椭圆上，所以 ，又 ，得 ， ，故存在满足题
12、意的直线 ，其斜率 （ 6分） （ 3）黄金双曲线的定义：已知双曲线 ： ，其焦距为 ，若（或写成 ），则称双曲线 为 “黄金双曲线 ”（ 8 分） 在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线 ： 的左、右焦点分别是、 ，以 、 、 、 为顶点的菱形的内切圆过顶点 、 （ 10分） 证明：直线 的方程为 ，原点到该直线的距离为 ， 将 代入，得 ，又将 代入，化简得 ， 故直线 与圆 相切，同理可证直线 、 、 均与圆相切，即以 、 为直径的圆 为菱形 的内切圆，命题得证（ 13分） 已知二次函数 和 “伪二次函数 ” （ 、 ）， （ I）证明：只要 ，无论 取何值，函数 在定义域内不可能总为增
13、函数； （ II）在二次函数 图象上任意取不同两点 ，线段 中点的横坐标为 ，记直线 的斜率为 ， （ i）求证： ； （ ii）对于 “伪二次函数 ” ，是否有（ i）同样的性质 证明你的结论 . 答案：解：（ I）如果 为增函数 , 则 (1)恒成立 , -1分 当 时恒成立 , (2) 由二次函数的性质 , (2)不可能恒成立 . 则函数 不可能总为增函数 . -4分 （ II）（ i） = . -6分 由 ,.7 分 则 -7分 （ ii）不妨设 ,对于 “伪二次函数 ”: 法一 : . (3) -9分 又 , 法二 : = , (3) -9分 由 ()中 (1) , 如果有 ()的性
14、质，则 , (4) 比较 (3)( 4)两式得 ， 即： ， (4) -12分 不妨令 ， (5) 设 ，则 ， 在 上递增， . (5)式不可能成立 ,（ 4）式不可能成立 , . -13分 “伪二次函数 ” 不具有 ()的性质 . -14分 (1)(本小题满分 7分 ) 选修 4一 2:矩阵与变换 若点 A（ 2， 2）在矩阵 对应变换的作用下得到的点为 B（ -2，2），求矩阵 M的逆矩阵 (2)(本小题满分 7分 ) 选修 4一 4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点 O与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合，曲线 C1： 与曲线 C2： （ t R）交于 A、 B 两点求证：OA OB (3)(本小题满分 7分 ) 选修 4一 5:不等式选讲 求证 : , . 答案： .解（ 1） 解： ，即 ， 2 分 所以 解得 5 分 所以 由 ，得 7 分 另解： 1 ， 另解： ，看作绕原点 O逆时针旋转 90旋转变换矩阵，于是 （ 2）曲线 的直角坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程是抛物线， 4分 设 ， ，将这两个方程联立，消去 ， 得 ， 3 分 5 分 ， 7 分 （ 3） ,所以 7 分
