1、2011届重庆八中高三第六次月考数学理卷 选择题 已知集合 ,则 ( ) A B C D 答案: C 把正整数排列成三角形数阵(如图甲),如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到新的三角形数阵(如图乙),再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列 ,则 ( ) A B C D 答案: 已知点 P是双曲线 右支上一点, 分别为双曲线的左、 右焦点, I为 的内心,若 成立,则 的值为( ) A B C D 答案: A 如图,已知球 是棱长为 1 的正方体 的内切球,则平面截球 的截面面积为 ( ) A B C D 答案: B 若定义在 上的函数 满足对任意 ,都有 ,则下列说法
2、一定正确的是( ) A 是奇函数 B 是偶函数 C 是奇函数 D 是偶函数 答案: B 设正数 a, b满足 ( ) A 0 BC D 1 答案: C 已知 的最小正周期为 ,要得到 的图像,只需把 的图像( ) A向左平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向右平移 个单位 答案: A 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记 “硬币正面向上 ”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A, B中至少有一个发生的概率是( ) A B C D 答案: C 若 是夹角为 的单位向量,且 , ,则 ( ) A 1 B CD 答案: C 若 是圆 的弦, 的中点是 ,则
3、直线 的方程是( ) A B C D 答案: B 填空题 三个同学对问题 “关于 的不等式 25 | -5 | 在 1, 12上恒成立,求实数 的取值范围 ”提出各自的解题思路 甲说: “只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值 ” 乙说: “把不等式变形为左边含变量 的函数,右边仅含常数,求函数的最值 ” 丙说: “把不等式两边看成关于 的函数,作出函数图像 ” 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 的取值范围是 答案: 设等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的最大值为 . 答案: 2011年上海春季高考有 所高校招生,如果某 位同学恰好被其中 所高校录取,那么录取方法
4、的种数为 答案: 曲线 处的切线与 x轴、直线 所围成的三角形的面积为 = . 答案: 的展开式的常数项是 (用数字作答) 答案: -20 解答题 (本小题满分 13分) 已知函数 ( ),且函数的最小正周期为 . 求函数 的式; 在 中,角 所对的边分别为 若 , ,且,试求 的值 . 答案:解: 4 分 由 ,得 6 分 由 得 由 ,得 . , 8 分 由 ,得 , 10 分 再由余弦定理得, 13分 (本小题满分 13分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空 .比赛按这种规则一直进行到其
5、中一人连胜两局或打满 6局时停止 .设在每局中参赛者胜负的概率均为 ,且各局胜负相互独立 .求: ( )打满 3局比赛还未停止的概率; ( )比赛停止时已打局数 的分布列与期望 E . 答案: .解:令 分别表示甲、乙、丙在第 k局中获胜 . ( )由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3局比赛还未停止的概率为 5 分 ( ) 的所有可能值为 2, 3, 4, 5, 6. 6 分 故有分布列 2 3 4 5 6 P 11 分 从而 (局) 13 分 (本小题满分 13分) 如图,已知正三棱柱 的底面正三角形的边长是 2, D 是 的中点,直线 与侧面 所成的角是 . 求
6、二面角 的大小; 求点 到平面 的距离 . 答案:解: 设侧棱长为 ,取 BC 中点 ,则 面 .2 分 解得 3 分 过 作 于 ,连 , 则 . 为二面角 的平面角 5 分 , , 故二面角 的大小 为 7 分 由 知 面 , 面 面 9 分 过 作 于 ,则 面 11 分 到面 的距离为 13 分 解法二: 求侧棱长 3 分如图建立空间直角坐标系,则 , , 设 是平面 的一个法向量,则由得 5 分而 是面 的一个法向量 .而所求二面角为锐角, 即二面角 的大小为 8 分 点 到面 的距离为 12 分 (本小题满分 12分) 设函数 ( 1)求函数 的单调区间; ( 2)已知 对任意 恒
7、成立,求实数 的取值范围 答案:、( 1) 2 分 令 列表如下 + 0 - - 单调增 极大值 单调减 单调减 7 分 两边取对数,得 9 分 由( 1)的结果可知,当 时, ,则只需12 分 .(本小题满分 12分) 已知点 ,动点 满足条件 .记动点 的轨迹为 . ( 1)求 的方程; ( 2)若 是 上的不同两点, 是坐标原点,求 的最小值 . 答案:解:( 1)依题意,点 P的轨迹是以 M, N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为: ( x0) 4 分 当直线 AB的斜率存在时,设直线 AB的方程为 y kx b,代入双曲线方程中,得:( 1-k2) x2-2kbx-b2-2 01 6
8、 分 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根,设 A( x1, y1), B( x2, y2),则 解得 |k|1 8 分 又 x1x2 y1y2 x1x2( kx1 b)( kx2 b)( 1 k2) x1x2 kb( x1x2) b2 2 10 分 当直线 AB的斜率不存在时,设直线 AB的方程为 x x0,此时 A( x0,), B( x0, - ), 2 11 分 综上可知 的最小值为 2 12 分 (本小题满分 12分) 已知定义在 R上的函数 满足条件: 对非零实数 , 都有 ( 1) 求函数 的式; ( 2) 设函数 直线 分别与函数 的反函数 交于 A,B两点(其中 ),设 为数列 的前项和求证:当 时,总有 成立 答案:解: 由 知 时, 4 分 6 分 由 依题可得 与 关于对称 8 分 ,累加得10 分 又 12 分