1、2011届黑龙江省哈三中等四校高三第一次模拟考试数学理卷 选择题 复数 的虚部为 A B C D 答案： A 已知抛物线 ， 为其焦点， 为其准线，过 任作一条直线交抛物线于 、 两点， 、 分别为 、 在 上的射影， 为 的中点，给出下列命题： ； ； ； 与 的交点在 轴上； 与 交于原点 其中真命题的个数为 A 个 B 个 C 个 D 个 答案： D 已知二面角 的平面角为 ，点 在二面角内， ， ，为垂足，且 设 到棱 的距离分别为 ，当 变化时，点 的轨迹方程是 A B C D 答案： B 设不等式组 表示的平面区域为 ，不等式 （ ， 为常数）表示的平面区域为 ， 为平面上任意一点
2、， ：点 在区域内， ：点 在区域 内，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是 A B C D 答案： D 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 （ ），则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到 点 处的所有不同走法共有 A 种 B 种 C 种 D 种 答案： C 函数 的零点的个数是 A B C D 答案： D 阅读右面的程序框图，若输入 ， 则输出 的值分别为 A B C D 答案： D 已知命题 ：有的三角形是等边三
3、角形，则 A ：有的三角形不是等边三角形 B ：有的三角形是不等边三角形 C ：所有的三角形都是等边三角形 D ：所有的三角形都不是等边三角形 答案： D 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 A B C D 答案： A 在 中， 为 边上的中线， ，则 A B C D 答案： C 已知等差数列 满足 ， ， ，则 的 值为 A B C D 答案： C 的值为 A B C D 答案： B 填空题 若 ，则定义 为曲线 的 线已知， ，则 的 线为 答案： 已知集合 表示的区 域为 ， 集合 表示的区域为 ， 向区域 内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域 内的概率为 答案： 已知三棱锥
4、 ， ， 平面 ，其中 ， 四点均在球 的表面上，则球 的 表面积为 答案： 某市有三类医院，甲类医院有 病人，乙类医院有 病人，丙类医院有 病人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取 人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为 人 答案： 解答题 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 中，圆锥曲线 的参数方程为 （ 为参数），定点 ， 是圆锥曲线 的左，右焦点 （ ）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点 且平行于直线 的直线 的极坐标方程； 来源 :学科网 ZXXK （ ）在（ I）的条件下，设直线 与圆锥曲线 交于 两点，求弦 的长
5、答案： 解：（ 1）圆锥曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以普通方程为 ： - -2分 直线 极坐标方程为： -5分 （ 2） ， -10 （本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，直线 经过 上的点 ，并且 交直线 于 ，连接 （ ）求证：直线 是 的切线； （ ）若 的半径为 ，求 的长 答案： 证明：（ 1）如图，连接 是圆的半径， 是圆的切线 -3分 （ 2） 是直径， 又 ， ， ， -5分 ， ， -7分 设 -9分 -10分 （本小题满分 12分） 已知函数 （ ， ）， （ ）证明：当 时，对于任意不相等的两个正实数 、 ，均有 成立； （ ）记 ， （ ）若
6、 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （ ）证明： . 答案： （ ）证明： ， ， ，则 ，则 ， 由 知 分 （ ）（ ） ， ， 令 ，则 在 上单调递增 ，则当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立 5 分 令 ，则当 时， ， 故 在 上单调递减，从而 ， 故 分 （ ）法一： ， 令 ， 则 表示 上一点 与直线 上一点 距离的平方 8分 令 ，则 ， 可得 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，则 ， 10分 直线 与 的图象相切与点 ， 点 到直线 的距离为 ， 则 ， 故 12 分 法二： ， 令 ，则 8 分 令 ，则 ，显然 在 上单调递减，在上单调递增， 10 分来源
7、 :学 *科 *网 则 ，则 ，故 12 分 （本小题满分 12分） 已知椭圆 ： ， 分别为左，右焦点，离心率为 ，点 在椭圆 上， ， ，过 与坐标轴不垂直的直线 交椭圆于 两点 （ ）求椭圆 的方程； （ ）在线段 上是否存在点 ,使得以线段 为邻边的四边形是菱形？若存在 ,求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由 答案：解：（ 1）由已知 ，所以 ， ， 又因为 ，所以 ， -2分 由余弦定理 ， -4分 所以 ， ，所以椭圆方程为 -5分 （ 2）假设存在点 满足条件，设 ， ，直线 的方程为， 联立： ，则 ， -7分 由题知 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 则 ， 所以 ， -10
8、分 ，又 在线段 上，则 ， 故 存在 满足题意 -12分 （本小题满分 12分） 改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村 到 年十年间每年考入大学的人数 .为方便计算， 年编号为 ， 年编号为 ， ， 年编号为 .数据如下 : （ ）从这 年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有 年多于 人的概率； （ ）根据前 年的数据，利用最小二乘法求出 关于 的回归方程 ，并计算第 年的估计值和实际值之间的差的绝对值 答案：（ ）设考入大学人数至少有 1年多于 15人的事件为 则 ;4 分 （ ）由已知数据得 ， ， ， 7 分 则 ， ， 9 分 则回归方程为 ， 10 分
9、则第 8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为 12分 （本小题满分 12分） 已知三棱柱 ，底面三角形 为正三角形，侧棱 底面 ， ， 为 的中点， 为 中点 ( ) 求证：直线 平面 ； （ ）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值 答案：法一（ ）取 的中点为 ，连接 ， 则 ， ，且 ， 3 分 则四边形 为平行四边形， 则 ，即 平面 6 分 （ ）延长 交 延长线于点 ，连接 ， 则 即为平面 与平面 的交线， 且 ， 则 为平面 和平面 所成的锐二面角的平面角 8 分 在 中， 12 分 法二 取 中点为 ，连接 ， 以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系
10、， 则 ， ， 2 分 （ ）则 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 4 分 令 ，则 ，即 ，所以 ， 故直线 平面 6 分 （ ）设平面 的法向量 ， 则 12 分 （本小题满分 12分） 已知函数 ( ) 求函数 的单调递增区间； ( ) 已知 中，角 所对的边长分别为 ，若 ， ，求 的面积 答案：（ ） 3 分 令 ， 得 ， 所以函数 的单调递增区间为 6 分 （ ） ， ，解得 或 ， 又 ，故 8 分 由 ，得 ，则 , , 10 分 所以 12 分 （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 （ ）求不等式 的解集； （ ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围 答案： 解：（ 1） ， -2分 当 当 当 综上所述 -5分 （ 2）易得 ，若 ， 恒成立， 则只需 ， 综上所述 - -10分
