1、2011年广东省东莞市教育局教研室高二上学期数学理卷 A 选择题 对于实数 ， “ ”是 “ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A B C D 答案： B 在 中，角 所对的边长分别为 ，若 ， ，则 A B C D 与 的大小关系不能确定 答案： B 若数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 为 A 5 B 6 C 7 D 8 答案： C 设等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则当 取最小值时 ,等于 A 6 B 7 C 8 D
2、9 答案： A 若椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 A 3 B 6 C 9 D 12 答案： D 若规定 则不等式 的解集是 AB C D 答案： C 设 且 则 的最小值是 A B C D 答案： C 考点：基本不等式 分析：因为 a+b=1，于是 =(a+b)( )，展开利用基本不等式的性质即可 解答：解： a 0， b 0且 a+b=1， =（ a+b） ( )=3+ 3+2 = ，当且仅当 ，a+b=1，即 a= -1， b=2- 时取等号 的最小值为 3+2 故答案：为 3+2 设抛物线 上一点 到直线 的距离是 ，则点 到该抛物线焦点的距离是 A 12 B 8 C 6 D 4
3、 答案： C 在 中， , , ，则 面积为 A B C 或 D 或 答案： B 填空题 过点 的动直线 与 轴的交点分别为 ,过 分别作 轴的垂线，则两垂线交点 的轨迹方程为： . 答案： 甲船在 A处观察到乙船在它的北偏东 的方向，两船相距 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的 倍，则甲船应取北偏东 方向前进，才能尽快追上乙船，此时 . 答案： 在等比数列 中， ，则 . 答案： 已知命题 ， ，则 是 . 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知命题 ：关于 的方程 有实数解，命题 ：关于 的不等式的解集为 ，若 是真命题，求实数 的取值范围 . 答案： . 解：因为 是真命
4、题， 所以 和 都为真命题，即 为假命题且 为真命题 . 3 分 若 为假命题，则 ，即 . 6 分 若 为真命题，则 ， 所以 ， 9 分 由 知，实数 的取值范围 是 . 12 分 （本小题满分 12分） 在 中，角 所对的边长分别为 ， , , , （ 1）求 的值； （ 2）求 的值 . 答案： (1) (2)5 解： (1)由正弦定理得 2 分 . 5 分 （ 2）解法 1：由 6 分 得： . 7 分 又由余弦定理得 ， 8 分 所以 ， 整理得 ， 9 分 解得 或 . 10 分 当 时，由 , 可知： ,这与 矛盾，应舍 去 . 11 分 所以 . 12 分 来 解法 2： 由
5、 6 分 得 . 7 分 因为 所以 . ， ， 从而 ， 10 分 所 以 所以 . 12 分 (本小题共 14分 ) 某研究所计划利用 “神七 ”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品 A、 B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表： 如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少 答案：搭载 A产品 9件， B产品 4件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为 960万元 . 解：设搭载 A产品 x件， B产品 y件， 则预计收益 z=80x+60y. 2 分 又由题意知 ， 6
6、分 由此作出可行域如图所示 . 9 分 作出直线 ： 4x+3y=0并平移，由图像知， 当直线经过 M点时， z能取到最大值， 11 分 由 ，解得 ，即 M（ 9， 4） . 12 分 所以 z=809+604=960(万元 ) . 13 分 所以搭载 A产品 9件， B产品 4件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为 960万元 . 14 分 （本小题满分 14分） 已知直角梯形 中 (如图 1）， ， 为 的中点， 将 沿 折起，使面 面 （如图 2），点 在线段 上，. （ 1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 的余弦值； （ 3）在四棱锥 的棱 上是否存在一点
7、，使得 平面 ，若存在，求出 点的位置，若不存在，请说明理由 . 答案： (1)略 (2) (3) 存在 的中点 ，使得 平面 . 解：（ 1）依题意知： . 又 面 面 ，面 面 ， 面 ， 所以 面 . 2 分 又因为 . 以 为原点，建立如图所示的坐标系， 3 分 则 . 4 分 由于 ， 所以 , 即 . 5 分 所以 ， . 所以. 6 分 （ 2）易知 为平面 的法向量 . 7 分 设平面 的法向量为 ， 则 即 ， 8 分 令 则 ，即 . 9 分 二面角 的平面角为 ，则 .10 分 （ 3）方法一：存在 的中点 ，使得： 平面 ，证明如下： 连接 ，交 于 ，取 中点 ，连
8、. 在 中， 分别为 中点，则 . 11 分 在 中， 分别为 中点，则 . 12 分 所以平面 平面 . 又 平面 ， 所以 相关试题 （本小题满分 14分） 如图 ,椭圆 的离心率为 ,其两焦点分别为 ，是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过 作倾斜角互补的两条直线 分别交椭圆于 两点 . （ 1）求椭圆 的方程 . （ 2）求 点坐标； （ 3）当直线 的斜率为 时，求直线 的方程 . 答案： (1) (2) (3) 方程为 （本小题满分 14分） 已知数列 的相邻两项 是关于 的方程 的两实根，且 ，记数列 的前 项和为 . （ 1）求 ； （ 2）求证：数列 是等比数列； （ 3）
9、设 ，问是否存在常数 ，使得 对 都成立，若存在， 求出 的取值范围，若不存在，请说明理由 . 答案： (1) ， (2)略 (3) 解：（ 1）证明：因为 ， 是关于 的方程 的两实根， 所以 . 1 分 又因为 ，所以， ， . 3 分（ 2） 6 分 故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列 . 7 分 （ 3）由（ 2）得 ， 即 , 9 分 又 ， 要使 ，对 都成立， 即 （ *） 10 分 当 为正奇数时，由（ *）式得： , 即 , 对任意正奇数 都成立， 故 为正奇数）的最小值为 1. 12 分 当 为正偶数时，由（ *）式得： ， 即 ， 对任意正偶数 都成立， 故 为正偶数）的最小值为 13 分 综上所述得，存在常数 ，使得 对 都成立， 的取值范围为 . 14 分
