1、2011 年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学文卷 选择题 复数 的实部记作 ，则 A B C D 答案： B 已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点 为圆心），过双曲线上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 （ 1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围； （ 2）求直线 的方程； （ 3）求三角形 面积的最大值 答案：（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及分类讨论思想与创新意识等） 解：（ 1）因为 ，所以 ，所以 1分 由 及圆的性质，可知四边形 是正方形，所以 因为 ，所以 ，所以 3分 故双曲线离心率
2、的取值范围为 4分 （ 2）方法 1：因为 ， 所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为 5分 因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线 ， 6分 所以联立方程组 7分 消去 ， ，即得直线 的方程为 8分 方法 2：设 ，已知点 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 5分 整理得 因为 ，所以 6分 因为 ， ，根据平面几何知识可知， 因为 ，所以 7分 所以直线 方程为 即 所以直线 的方程为 8分 方法 3：设 ，已知点 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 点 是棱长为 1的正方体 内一点，且满足，则点 到棱 的距离为 A B C D 答案： A 略 如果函数 没有零点，则 的取值范围为 A
3、B C D 答案： C 一条光线沿直线 入射到直线 后反射，则反射光线所在的直线方程为 A B C D 答案： D 已知 ， 是 的导函数，即 ， ， ， ，则 A B C D 答案： D 设 ， 为正实数，则 “ ”是 “ ”成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 在区间 内任取两个实数，则这两个实数的和大于 的概率为 A B C D 答案： A 已知数列 的通项公式是 ，则 A B C 5 D 55 答案： C 函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，则 A B C D 答案： A 已知向量 ， ，若 ，则 的值为 A B 4 C
4、 D 答案： C 填空题 （坐标系与参数方程选做题）设点 的极坐标为 ，直线 过点 且与极轴所成的角为 ，则直线 的极坐标方程为 答案： 或 或 或（几何证明选讲选做题）在梯形 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，且 ，若 ，则 的长为 答案： 将正整数 12分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称 为 12的最佳分解当是正整数 的最佳分解时，我们规定函数 ，例如 .关于函数 有下列叙述： ， ， ， .其中正确的序号为 （填入所有正确的序号） 答案： 若 ，则 的值为 答案： 若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为 答案： 解答题 （
5、本小题满分 12分） 某地区对 12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力 .某班学生共有 40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为 3人 视觉 视觉记忆能力 偏低中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 偏高 2 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 （ 1）试确定 、 的值； （ 2）从 40人中任意抽取 1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或
6、中等以上的概率 答案：（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等） 解：（ 1）由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 人 记 “视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上 ”为事件 ， 则， 4 分 解得 5 分 因为 ，所以 答： 的值为 6， 的值为2 7 分 （ 2）由表格数据可知，听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 人，由（ 1）知， ，即听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 13人 9 分 记 “听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中 等或中等以上 ”为事件 ， 则 答：听
7、觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 12 分 （本小题满分 12分） 如图 1，渔船甲位于岛屿 的南偏西 方向的 处，且与岛屿 相距 12 海里，渔船乙以 10海里 /小时的速度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2小时追上 （ 1）求渔船甲的速度； （ 2）求 的值 答案：（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等） 解：（ 1）依题意， ， ， ， 2 分 在 中，由余弦定理，得 4 分 解得 6 分 所以渔船甲的速度为 海里 /小时 答：渔船甲的速度为 海里 /小时 7 分（ 2）方法
8、1：在 中，因为 ， ， ， ，资料来源：广东高考吧 由正弦定理，得 9分 即 答： 的值为 12分 方法 2：在 中，因为 ， ， ， ， 由余弦定理，得 9分 即 因为 为锐角，所以 答： 的值为 12分 （本小题满分 14分） 已知等差数列 an的前 项和为 ，且 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，是否存在 、 ，使得 、 、 成等比数列若存在，求出所有符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由 答案：（本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查方程 思想以及运算求解能力） 解：（ 1）设等差数列 的公差为 ，则 1 分 由已知，得3 分 即 解得5 分 所
9、以（ ） 6 分 （ 2）假设存在 、 ，使得 、 、 成等比数列， 则 7 分 因为， 8 分 所以 所以 9 分 整理，得 10 分 以下给出求 ， 的三种方法： 方法 1：因为 ，所以 11 分 解得 12 分 因为 ， 所以 ，此时 故存在 、 ，使得 、 、 成等比数列 14 分 方法 2：因为 ，所以 11 分 即 ，即 解得 或 12 分 因为 ， 所以 ，此时 故存在 、 ，使得 、 、 成等比数列 14 分 方法 3：因为 ，所以 11 分 即 ，即 解得 或 12 分 因为 ， 所以 ，此时 故存在 、 ，使得 、 、 成等比数列 14 分 （本小题满分 14分） 一个几何
10、体是由圆柱 和三棱锥 组合而成，点 、 、 在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为 10和 12，如图 2所示，其中 ， ， ， （ 1）求证： ； （ 2）求三棱锥 的体积 答案：（本小题主要考查锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （ 1）证明：因为 ， ，所以 ，即 又因为 ， ，所以 平面 因为 ，所以 4 分 （ 2）解：因为点 、 、 在圆 的圆周上，且 ，所以 为圆 的直径 设圆 的半径为 ，圆柱高为 ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 6 分 解得 所以 ， 8 分 以
11、下给出求三棱锥 体积的两种方法： 方法 1：由（ 1）知， 平面 ， 所以 10 分 因为 ， ， 所以 ，即 其中 ，因为 ， ， 所以 13 分 所以 14 分 方法 2：因为 ， 所以 10 分 其中 ，因为 ， ， 所以 13 分 所以 14 分 （本小题满分 14分） 对定义域分别是 、 的函数 、 ，规定： 函数 已知函数 ， （ 1）求函数 的式； （ 2）对于实数 ，函数 是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由 答案：（本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识，考查分类讨论思想，以及运算求解能力和推理论证能力等） 解：（ 1）因为函数 的定义域 ，函数 的定义域 ， 所以4 分 （ 2）当 时，函数 单调递减， 所以函数 在 上的最小值为 5 分 当 时， 若 ，函数 在 上单调递增此时，函数 不存在最小值 6 分 若 ，因为， 7分 所以函数 在 上单 调递增此时，函数 不存在最小值 8 分 若 ，因为， 9 分 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增此时，函数 的最小值为 10 分 因为， 11 分 所以当 时， ，当 时， 13 分 综上可知，当 时，函数 没有最小值；当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最小值为 14 分
