1、2011 年广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学理卷 选择题 复数 的虚部记作 ，则 A B C D 答案： D 正方形 的边长为 2，点 、 分别在边 、 上，且 ，将此正方形沿 、 折起，使点 、 重合于点 ，则三棱锥的体积是 A B C D 答案： B 三个共面向量 、 、 两两所成的角相等，且 ， ， ，则等于 A B 6 C 或 6 D 3或 6 答案： C 一条光线沿直线 入射到直线 后反射，则反射光线所在的直线方程为 A B C D 答案： B 已知 ， 是 的导函数，即 ， ， ， ，则 A B C D 答案： A 已知函数 ，则 的最小值为 A B C D 答案： B
2、 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则的值为 A B C 5 D 3 答案： A 已知全集 ， ，则集合 A B C D 答案： C 填空题 （坐标系与参数方程选做题）设点 的极坐标为 ，直线 过点 且与极轴所成的角为 ，则直线 的极坐标方程为 答案： 或 或 或（几何证明选讲选做题）在梯形 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，且 ，若 ，则 的长为 答案： 将正整数 12分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称 为 12的最佳分解当是正整数 的最佳分解时，我们规定函数 ，例如 .关于函数 有下列叙述： ， ， ， .其中正确的序号为 （填入
3、所有正确的序号） 答案： 如图 1为某质点在 4秒钟内作直线运动时，速度函数 的图象，则该质点运动的总路程 厘米 答案： 若 ，则 的值为 答案： 已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则当时， 的式为 答案： 已知函数 ，若函数 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为 ，则 的值为 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 如图 2，渔船甲位于岛屿 的南偏西 方向的 处，且与岛屿 相距 12 海里，渔船乙以 10海里 /小时的速度从岛屿 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2小时追上 （ 1）求渔船甲的速度； （ 2）求 的值 答案：（本小题
4、满分 12分） （本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦 定理等基础知识，考查运算求解能力等） 解：（ 1）依题意， ， ， ， 2 分 在 中，由余弦定理，得 4 分 解得 6 分 所以渔船甲的速度为 海里 /小时 答：渔船甲的速度为 海里 /小时 7 分 （ 2）方法 1：在 中，因为 ， ， ， ， 由正弦定理，得 9分 即 答： 的值为 12分 方法 2：在 中，因为 ， ， ， ， 由余弦定理，得 9分 即 因为 为锐角，所以 答： 的值为 12分 （本小题满分 12分） 某地区对 12岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力 .某班学生共有 40人，下表为
5、该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生 为 3人 视觉 视觉记忆能力 偏低中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 偏高 2 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这 40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 （ 1）试确定 、 的值； （ 2）从 40人中任意抽取 3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； （ 3）从 40人中任意抽取 3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ，求随机变量 的数学期望
6、答案：（本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等） 解：（ 1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 人记 “视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上 ”为事件 ， 则 ，解得 2 分 所以 答： 的值为 6， 的值为2 3 分 （ 2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8人 方法 1：记 “至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生 ”为事件， 则 “没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生 ”为事件 ， 所以 答：从这 40人中任意抽取 3人，其中至少有一
7、位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为 6 分 方法 2：记 “至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生 ”为事件， 所以 答：从这 40人中任意抽取 3人 ，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为 6 分 （ 3）由于从 40位学生中任意抽取 3位的结果数为 ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共 24人，从 40位学生中任意抽取 3位，其中恰有 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为， 7 分 所以从 40位学生中任意抽取 3位，其中恰有 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 ， 8 分 的可能取值为
8、 0， 1， 2，3， 9 分 因为 ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 答：随机变量 的数学期望为 （本小题满分 14分） 一个几何体是由圆柱 和三棱锥 组合而成，点 、 、 在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为 10和 12，如图 3所示，其中 ， ， ， （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的平面角的大小 答案：（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力） 方法 1：（ 1）证明：因为 ， ，所以 ，即 又因为 ， ，所以 平面 因为 ，所以 4 分 （ 2）解
9、：因为点 、 、 在圆 的圆周上，且 ，所以 为圆 的直径 设圆 的半径为 ，圆柱高为 ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， 6 分 解得 所以 ， 7 分 过点 作 于点 ，连接 ， 由（ 1）知， ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以 所以 为二面角 的平面角 9 分 由（ 1）知， 平面 ， 平面 ， 所以 ，即 为直角三角形 在 中， ， ，则 由 ，解得 因为 13 分 所以 所以二面角 的平面角大小为 14 分 方法 2：（ 1）证明：因为点 、 、 在圆 的圆周上，且 ，所以为圆 的直径 设圆 的半径为 ，圆柱高为 ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得， （本小题满
10、分 14分） 已知数列 的前 项和 ，且 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）令 ，是否存在 （ ），使得 、 、 成等比数列若存在，求出所有符合条件的 值；若不存在，请说明理由 答案：（本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，以及函数与方程、化归与转化等数学思想） （ 1）解法 1：当 时， 2 分 即 4 分 所以数列 是首项为 的常数列 5 分 所以 ，即 所以数列 的通项公式为 7 分 解法 2：当 时， 2 分 即 4 分 所以 5 分 因为 ，符合 的表达式 6 分 所以数列 的通项公式为 7 分 （ 2）假设存在 ，使得 、 、
11、成等比数列， 则 8 分 因为 （ n2）， 所以11 分 13 分 这与 矛盾 故不存在 （ ），使得 、 、 成等比数列 14 分 （本小题满分 14分） 已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点 为圆心），过双曲线 上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 （ 1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围； （ 2）求直线 的方程； （ 3）求三角形 面积的最大值 答案：（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等） 解：（ 1）因为 ，所以 ，所以 1 分 由 及圆的性质，可知四边形 是正方形
12、，所以 因为 ，所以 ，所以 3 分 故双曲线离心率 的取值范围为 4 分 （ 2）方法 1：因为 ， 所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为 5 分 因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线， 6 分 所以联立方程组7分 消去 ， ，即得直线 的方程为 8 分 方法 2：设 ，已知点 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 5 分 整理得 因为 ，所以 6 分 因为 ， ，根据平面几何知识可知， 因为 ，所以 7 分 所以直线 方程为 即 所以直线 的方程为 8 分 方法 3：设 ，已知点 ， 则 ， 因为 ，所以 ，即 5 分 整理得 因为 ，所以 6 分 这说明点 在直线 上 7 分 同理
13、点 也在直线 上 所以 就是直线 的方程 8 分 （ 3）由（ 2）知，直线 （本小题满分 14分） 已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3 （ 1）求实数 的值； （ 2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值； （ 3）当 时，证明 答案：（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识） （ 1）解：因为 ，所以 1 分 因为函数 的图像在点 处的切线斜率为 3， 所以 ，即 所以 2 分 （ 2）解：由（ 1）知， ， 所以 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立 3 分 令 ， 则， 4 分 令 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增 5 分 因为 ， 所以方程 在 上存在唯一实根 ，且满足 当 ，即 ，当 ，即， 6 分 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 7 分 所以 故整数 的最大值是3 8 分 （ 3）证明 1：由（ 2）知， 是 上的增函数， 9 分 所以当 时， 10 分 即 整理，得 11 分 因为 ，所以 12 分 即 即 13 分 所以 14 分 证明 2：构造函数， 9 分 则 10 分 因为 ，所以 所以函数 在 上单调递增 11 分 因为 ，所以 所以 12 分 即 即 即 13 分 所以 14 分
