1、2011年河南省许昌市部分学校高二上学期期末联考数学理卷 选择题 设 ，则 是 的（ ） A充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： B 设斜率为 2的直线 过抛物线 的焦点 F，且和 轴交于点 A，若 OAF(O为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线方程为（ ） A B C D 答案： B 在三棱锥 O-ABC中，三条棱 OA， OB， OC两两互相垂直，且 OA=OB=OC，M是 AB边的中点，则 OM与平面 ABC所成角的正切值是（ ） A B C D 答案： A 已知椭圆 的 左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF x轴， 直线 A
2、B交 轴于点 P，若 ，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 答案： D 设 a， b， c都是实数已知命题 若 ，则 ；命题 若，则 则下列命题中为真 命题的是（ ） A B C D 答案： D 设 a、 b是异面直线， a与 b所成角 为 60二面角 的大小为 如果 ， ，那么 （ ） A 60 B 120 C 60或 120 D 不能确定 答案： C 过椭圆的一个焦点 作垂直于长轴的弦 ， 是另一焦点， 若 ，则椭圆的离心率 等于（ ） A B C D 答案： D 对任意实数 ， ， ，在下列命题中，真命题是（ ） A 是 的必要条件 B 是 的必要条件 C 是 的充分条件 D 是 的
3、充分条件 答案： B 双曲线 的渐近线方程是（ ） A B C D 答案： A 若方程 表示焦点在 x轴上的椭圆，则 满足的条件是（ ） A B C D ，且答案： C 下列四个 命题中的真命题为（ ） A B C D若 ，则 a、 b、 c三数等比 答案： C 抛物线 的焦点坐标是（ ） A B C D 答案： D 填空题 在棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M和 N分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM与 CN所成角的余弦值是 _ 答案： 设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为 _ 答案： 已知 关于面 的对称点为 ， C（ 1， -
4、2， -1），则 _ _ 答案： 命题 “对任意一个实数 x，都有 2x+40”的否定是 答案：存在实数 x，使得 2x+40 解答题 （本小题满分 10分） 已知命题 若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围 答案：解： 5 分 而 ，即 10 分 (本小题满分 12分 ) 设 ，求直线 AD与平面 的夹 角。 答案：解：设平面 的法向量 ，所以 ， 5 分 ， 8 分 . 12分 .（本小题满分 12分） 已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为 2 （ ）求椭圆的方程； （ ）设直线 过 且与椭圆相交于 A， B两点，当 P是 AB的
5、中点时， 求直线 的方程 答案：解：设椭圆方程为 1 分 （ ）由已知可得 4 分 所求椭圆方程为 5 分 （ ）当直线 的斜率存在时， 设直线 的 方程为 ， ， ， 6 分 则 ， ，两式相减得： 8 分 P是 AB的中点， ， ， 代入上式可得直线 AB的斜率为 10 分 直线 的方程为 当直线 的斜率不存在时，将 代入椭圆方程并解得 ， 这时 AB的中点为 ， 不符合题设要求综上，直线 的方程为 12 分 （本小题满分 12分） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1的正方形， SD垂直于底面 ABCD，SB= （ ）求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小； （ ）设棱 SA的
6、中点为 M，求异面直线 DM与 SB所成角的大小； （ ）求点 D到平面 SBC的距离 答案：证明：（ ） SD 底面 ABCD， ABCD是正方形， CD 平面 SAD， AD 平面 SDC，又在 Rt SDB中， 1 分 以 D为坐标原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DS为 z轴， 建立空间直角坐标系，则 ， ， ， 2分 设平面 SBC的法向量为 ，则 ， ， ， ， ， 可取 4 分 CD 平面 SAD， 平面 SAD的法向量 5 分 ， 面 ASD与面 BSC所成二面角的大小为 45 6 分 （ ） ， ， ， 又 ， DM SB， 异面直线 DM与 SB所成角的大小为 90
7、9 分 （ ）由（ ）平面 SBC的法向量为 ， ， 在 上的射影为 ， 点 D到平面 SBC的距离为 12 分 （特别说明：用传统解法每问应同步给分） （本小题满分 12分） 设 F是抛物线 G: 的焦点，过 F且与抛物线 G的对称轴垂直的直线被抛物线 G截得的线段长为 4 （ ）求抛物线 G的方程； （ ）设 A、 B为抛物线 G上异于原点的两点，且满足 FA FB，延长 AF、 BF分别交抛物线 G于点 C、 D，求四边形 ABCD面积的最小值 答案： （本小题满分 12分） 在直角坐标系 中，点 P到两定点 ， 的距离之和等于 4，设点 P的轨迹为 ，过点 的直线 C交于 A， B两点 （ ）写出 C的方程； （ ）设 d为 A、 B两点间的距离， d是否存在最大值 、最小值，若存在， 求出 d的最大值、最小值 答 案：解：（ ）设 P( x， y )，由椭圆定义可知， 点 P的轨迹 C是以 ， 为焦点， 长半轴为 2的椭圆它的短半轴 ， 故曲线 C的方程为 4 分 （ ） 设过点 的直线方程为 y=kx+ , ， 其坐标满足 消去 y并整理得 . 6 分 。 =4 = 。 ， k=0时， d取得最小值 1 。 10 分 当 k不存在时 ,过点 的直线方程为 x=0,交点 A、 B分别为椭圆 C的长轴端点， 显然此时 d取最大值 4. 12 分
