1、2011年湖南省嘉禾一中高三第一次学情摸底考试数学卷 选择题 已知集合 则下列结论正确的是（ ） A B C D 答案： D 如右图，在平面直角坐标系 xoy 中， A（ 1， 0）， B（ 1， 1）， C（ 0， 1），映射 f 将 xOy 平面上的点 P（ x， y）对应到另一 个平面直角坐标系 uov 上的点 P（ 2xy， x2 y2），则当点 P 沿着折线 ABC 运动时，在映射 f 的作用下，动点 P的 轨迹是 （ ） 答案： A 若 的展开式中的二项式系数之和为 256，则展开式中 x4的系数为 （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 答案： B 设 恒成立，那么 （ ） A
2、B a1 C D a1”是 “ ”成立的 （ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： C 已知 等于 （ ） A 0 B -1 C 2 D 1 答案： A 填空题 对正整数 n，设曲线 处的切线与 y轴交点的纵坐标为 ， （ i） = （ ii）数列 的前 n项和 Sn= 答案：（ i） （ 3分） （ ii） （ 2分） 设向量 若直线 沿向量 平移，所得直线过双曲线 的右焦点， （ i） = （ ii）双曲线 的离 心率 e= 答案：（ i） （ 3分） （ ii） （ 2分） 已知函数 是 R 上的偶函数，且在（ 0， + ）上有 （ x） 0
3、，若 f（ -1）= 0，那么关于 x的不等式 x f（ x） 0 的解集是 _ 答案： 设 是三个不重合的平面， l 是直线，给出下列四个命题： 若 ； 若 ； 若 l上有两点到 的距离相等，则 l/ ； 若 其中正确命题的序号是 _ 答案： 从颜色不同的 5 个球中任取 4 个放入 3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为 _（用数字作答） 答案： 某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10： 8： 7，从中抽取 200 名职员作为样本，若每人被抽取的概率为 0 2，则该单位青年职员的人数为 _ 答案： 函数 的反函数是 答案： 解答题 （本小题满分 12 分） 已知函数
4、 的最大值为 1 （ 1）求常数 a 的值； （ 2）求 的单调递增区间； （ 3）求 0 成立的 x 的取值集合 答案： (1)a=-1 （ 2） 的单调递增区间是 （ 3） （ 1） 当 4 分 （ 2）令 6 分 解得： 所以， 的单调递增区间是 8 分 （ 3）由 ， 10 分 所以， 解得： 所以， 的取值集合 12 分 （本小题满分 12 分） 从甲地到乙地一天共有 A、 B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内 A 班车正点到达乙地的概率为 0 7， B 班车正点到达乙地的概率为 0 75。 （ 1）有三位游客分别乘坐三天的 A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的
5、概率（答案：用数字表示）。 （ 2）有两位游客分别乘坐 A、 B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有 1 人正点到达的概率（答案：用数字表示）。 答案： (1) 0 441 (2)0 925 （本小题满分 12 分） 已知 是整数组成的数列， a1 = 1，且点 在函数 的图象上， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）若数 列 满足 = 1， ，求证： 答案：（ 1） =1+ （ 2） 解：由已知得 所以数列 是以 1为首项，公差为 1的等差数列；（ 2分） 即 =1+ 4 分 （ 2）由（ 1）知 6 分 8 分 10 分 所以： 12 分 （本小题满分 13 分） 如图（ 1）是一正方体的
6、表面展开图， MN 和 PB 是两条面对角线，请在图（ 2）的正方体中将 MN 和 PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。 （ 1）求证： MN/平面 PBD； （ 2）求证： AQ 平面 PBD； （ 3）求二面角 PDBM 的大小 答案：（ 1） MN/平面 PBD (2) AQ 平面 PBD (3) 解： M、 N、 Q、 B的位置如右图示。（正确标出给 1分） （ 1） ND/MB且 ND=MB 四边形 NDBM为平行四边形 MN/DB3 分 BD 平面 PBD， MN MN/平面 PBD4 分 （ 2） QC 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， BD QC5 分 又 BD
7、AC， BD 平面 AQC6 分 AQ 面 AQC AQ BD，同理可得 AQ PB， BD PD=B AQ 面 PDB8 分 （ 3）解法 1：分别取 DB、 MN中点 E、 F连结 PE、 EF、 PF9 分 在正方体中， PB=PB PE DB10 分 四边形 NDBM为矩形 EF DB PEF为二面角 PDBM 为平面角 11 分 EF 平面 PMN EF PF 设正方体的棱长为 a，则在直角三角形 EFP中 13 分 解法 2：设正方体的棱长为 a， 以 D为坐标原点建立空间直角坐标系如图： 则点 A（ a,0， 0）， P（ a,0,a）， Q（ 0,a,a） 9 分 10 分 P
8、Q 面 DBM，由（ 2）知 AQ 面 PDB 分别为平面 PDB、平面 DBM的法向量 12 分 13 分 （本题满分 13 分） 已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合，短轴长为 2椭圆的右准线 l与 x轴交于 E，过右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 B 两点，点 C 在右准线 l上，BC/x 轴 （ 1）求 椭圆的标准方程，并指出其离心率； （ 2）求证：线段 EF被直线 AC 平分 答案： (1) (2) 线段 EF被直线 AC平分。 （本题满分 13 分） 已知函数 （ 1）若在 的图象上横坐标为 的点处存在垂直于 y 轴的切线，求 a 的值； （ 2）若 在区间（ -2， 3）内有两个不同的极值点，求 a 取值范围； （ 3）在（ 1）的条件下，是否存在实数 m，使得函数的图象与函数 的图象恰有三个交点，若存在，试出实数 m 的值；若不存在，说明理由 答案：（ 1） a=1 (2) a的取值范围为 (3) 存在 的图象恰有三个交点。
