1、2011年湖南省西州部分高中学校高二下学期 1月份联考数学理卷 选择题 .已知集合 ， ，则 等于 A B C D 答案： D 已知实数 x， y满足线性约束条件 目标函数 z y-ax(a R)，若 z取最大值时的唯一最优解是 (1,3)，则实数 a的取值范围是 A (0,1) B (-1,0) C (1， ) D (-， -1) 答案： C 已知 是三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，给出下列四个命题： 若 若直线 与平面 所成的角相等，则 / ； 存在异面直线 ，使得 / ， / ， / ，则 / ； 若 ，则 ； 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 已
2、知双曲线 ，直线 l过其左焦点 ，交双曲线左支于 、 两点，且 ， 为双曲线的右焦点， 的周长为 20，则 m的值为 A 8 B 9 C 16 D 20 答案： B 各项都是正数的等比数列 中， 成等差数列，则 的值为 A B C D 或 答案： A “ ”是 “方程 表示焦点在 轴上的椭圆 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 答案： D 命题 “ ”的否定是 A ，假命题 B ，真命题 C ，假命题 D ，真命题 答案： A 不等式 的解集是 A B CD答案： B 填空题 若数列 是正项数列，且 则_. 答案： 过双曲线 的一个焦点 F作一条渐近线
3、的垂线，若垂足恰在线段( 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 _ _ 答案： =_. 答案： 已知 ，则 的最大值为 _. 答案： 设关于 的不等式 的解集中整数的个数为 ，则数列的前 项和 =_. 答案： 若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 =_. 答案： 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，则 =_. 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足. （ 1）求角 的大小； （ 2）当 时，求 的面积 . 答案：解：（ 1） 由正弦定理得： 即 在 中， （ 6分） （ 2） （ 12分） （本小题满分 12分） 已知命题
4、：曲线 为双曲线；命题 ：函数 在上是增函数；若命题 “ 或 ”为真，命题 “ 且 ”为假，求实数 的取值范围 . 答案：（本小题满分 12分） 已知几何体 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为 4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形 .求： （ 1）异面直线 与 所成角的余弦值； （ 2）二面角 的正弦值； （ 3）此几何体的体积 的大小 . 答案：解：方法一（ 1）取 EC的中点是 F，连结 BF， 则 BF/DE， FBA或其补角即为异面直线 DE与 AB所成的角 在 BAF中， AB= ， BF=AF= 异面直线 DE与 AB所成的角的余弦值为 4 分 （ 2） AC 平面 B
5、CE，过 C作 CG DE交 DE于 G，连 AG 可得 DE 平面 ACG，从而 AG DE AGC为二面角 A-ED-B的平面角 在 ACG中， ACG=90， AC=4， CG= 二面角 AEDB 的正弦值为 8 分 （ 3） 几何体的体积 V为 16 12 分 方法二：（坐标法）（ 1）以 C为原点，以 CA， CB， CE所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系 则 A（ 4， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， D（ 0， 4， 2）， E（ 0， 0， 4） ， 异面直线 DE与 AB所成的角的余弦值为 4 分 （ 2）平面 BDE的一个法向量为 ， 设平面 ADE的一
6、个法向量为 ， 从而 ,令 ， 则 , 二面角 A-ED-B的的正弦值为 8 分 （ 3） ， 几何体的体积 V为 16 12 分 （本小题满分 13分） 某市近郊有一块大约 500m500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在 此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为 3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通 道宽度均为 2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为 平方米 （ 1）分别写出用 表示 和 的函数关系式（写出函数定义域）； （ 2）怎样设计能使 取得最大值，最大值为多少？ 答案： . 解
7、（ 1）由已知 ， ， 则 （ ）， 2 分 （ ） . 6 分 （ 2） 10 分 当且仅当 ，即 时， “=”成立，此时 ， ， 12 分 即设计 米， 米时，运动场地面积最大， 最大值为 2430平方米 13 分 （本小题满分 13分） 设数列 为等差数列，且 a5=14， a7=20。 （ I）求数列 的通项公式； （ II）若 答案：解：（ 1）由 所以 2 分 （ 2）数列 7 分 13 分 （本小题满分 13分） 已知椭圆 ，以原点为圆心，椭 圆的短半轴为半径的圆与直线 相切。 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，证明：直线 与 x轴相交于定点 ； （ 3） 在（ 2）的条件下，过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，求的取值 范围。 答案：解：（ 1）由题意知 故椭圆 C的方程为 3 分 （ 2）由题意知直线 PB的斜率存在，设直线 PB的方程为 由 将 代入整理得， 得 由 得 代入 整得，得 所以直线 AE与 x轴相交于定点 Q（ 1， 0） 7 分 （ 3）当过点 Q的直线 MN的斜率存在时， 设直线 MN的方程为 在椭圆 C上。 所以 13 分
