1、2012-2013学年江苏省新马高级中学高二下学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 命题 “任意常数列都是等比数列 ”的否定形式是 答案：存在一个常数列不是等比数列。 试题分析：根据命题 “任意常数列都是等比数列 ”是全称命题，其否定为特称命题，将 “任意的 ”改为 “存在 ”， “是 “改为 “不是 ”即可得答案：解： 命题 “任意常数列都是等比数列 ”是全称命题， 否定形式为：存在一个常数列不是等比数列故答案：为：存在一个常数列不是等比数列。 考点：全称命题与特称命题 点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题
2、 向量 与 共线且方向相同，则 n=_ _ _ 答案： 试题分析：根据题意，由于向量 与 共线且方向相同，那么可知 ，故可知答案：为 2. 考点：向量的共线 点评：主要是考查了向量共线的运用，属于基础题。 对于曲线 ： ，给出下面四个命题： 曲线 不可能表示椭圆； 当 时，曲线 表示椭圆； 若曲线 表示双曲线，则 或 ； 若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 其中所有正确命题的序号为 _ _ _ 答案： 试题分析：据椭圆方程的特点列出不等式求出 k的范围判断出 错，据双曲线方程的特点列出不等式求出 k的范围，判断出 对；据椭圆方程的特点列出不等式求出 t的范围，判断出 错。解：若 C为椭圆应该满
3、足（ 4-k)(k-1) 0，4-kk-1即 1 k 4 且 k 故 错，若 C为双曲线应该满足（ 4-k）（ k-1）0即 k 4或 k 1 故 对，若 C表示椭圆，且长轴在 x轴上应该满足 4-k k-1 0则 1 k ，故 对故答案：为： 考点：椭圆方程 点评：主要 是考查了椭圆方程的表示以及运用，属于基础题。 函数 的导数 ， 答案： ； 67 试题分析：根据题意，以及导数 的计算可知函数 的导数 ，故可知 ，故可知答案：为； 67 考点：导数的计算 点评：主要是考查了导数的计算，属于基础题。 取一根长 3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两根的长都不小于 1m的概率为 答案：
4、 试题分析：根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为 3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间 1m处的两个界点，再求出其比值。解：记 “两段的长都不小 于 1m”为事件 A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于 1m，所以事件 A发生的概率 P(A)=故答案：为 考点：几何概型 点评：本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于 1m的界点来 已知 ，且 ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，且 ，那么 ，则可知，故可知答案：为 。 考点：二倍角公式 点评：主要是考查了二倍角正弦公式的运用，属于基础题。 已知整数对的序列
5、如下：（ 1， 1），（ 1， 2），（ 2， 1），（ 1， 3），（ 2，2），（ 3， 1）（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 4， 1） 则第 2011个数对是 答案： 试题分析：把握数对的规律如下： 两个数之和为 n的整数对共有 n-1个， 在两个数之和为 n 的 n-1 个整数对中，排列顺序为，第 1 个数由 1 起越来越大，第 2个数由 n-1起越来越小解：规律是： 两个数之和为 n的整数对共有 n-1个， 在两个数之和为 n的 n-1个整数对中，排列顺序为，第 1个数由 1起越来越大，第 2个数由 n-1起越来越小设两个数之和为 2的数对为第 1组，数对个数为
6、1；两个数之和为 3的数对为第二组，数对个数 2； ，两个数之和为n+1的数对 为第 n组，数对个数为 n ,又 1+2+58=1711 ，1+2+59=1770, 第 2011个数对在第 58组之中的第 6个数，应为 ,故答案：为 考点：数列 点评：本题主要考查数列知识的拓展及应用 矩形 ABCD中， 轴，且矩形 ABCD恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当 变化时，矩形 ABCD周长的最小值为 . 答案： 试题分析：由题意得到矩形 ABCD长为 函数 y=asinax（ a R， a0）的最小正周期 | |，宽为 |2a|，利用基本不等式 ,求出周长的最小值解：由题意得，矩形 ABC
7、D长为 函数 y=asinax（ a R， a0）的一个完整周期 | |，宽为 |2a|，故此矩形的周长为 2 | |+2 |2a|= +4|a|=8 ，故答案：为： 8 考点：基本不等式 点评：本题考查函数 y=asinax（ a R， a0）的最小正周期，基本不等式的应用，求出举行的长是解题的关键 下列命题中 _为真命题 “AB=A”成立的必要条件是 “A B”； “若 x2+y2=0，则 x， y全为 0”的否命题； “全等三角形是相似三角形 ”的逆命题； “圆内接四边形对角互补 ”的逆否命题 答案： 试题分析：利用常用逻辑用语中命题的知识进行判断命题的真假是解决本题的关键，要熟悉原命题
8、与其逆命题、否命题、逆否命题之间的关系和充要条件的判断解： AB=A A B但不能得出 A B， 不正确； 否命题为： “若x2+y20，则 x， y不全为 0”，是真命题； 逆命题为： “若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等 ”，是假命题； 原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题， 逆否命题也为真命题故答案：为： 考点：命题真假的判断 点评：本题考查命题真假的判断，考查四种命题之间的转化，考查必要条件的判断，关键要理解相关的数学知识属于基本题型 公差不为零的等差数列 an中 ,a1和 a2为方程 x2-a3x+a4=0的两根 ,则通项公式an=_. 答案： n 试题分析：解：设
9、数列 an的公差为 d，由已知得 a1+a2=a3,a1 a2=a4即 2a1+d=a1+2d，a1 (a1+d)=a 1+3d ，解得 a1=d=2，所以， an的通项公式为 an=2+（ n-1） 2=2n 考点：等差数列 点评：本题主要考查等差数列的定义和 性质，等差数列的通项公式，属于中档题 已知 的三边长为 ，内切圆半径为 （用），则 ；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为 ，则三棱锥体积 答案： 试题分析：类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于
10、 R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积即三棱锥体积，故可知答案：为。 考点：类比推理 点评：类比推理是一种非常重要的推理方式，可以以这种推理方式发现证明的方向，但此类推理的结果不一定是正确的，需要证明 把极坐标系中的方程 化为直角坐标形式下的方程为 答案： 试题分析：根据题意，由于极坐标系中的方程 ，结合 cos=x，sin=y， 2=x2+y2，可知结论为 ，故答案：为 。 考点：极坐标和直角坐标的互化 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos=x， sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得 已知 。 答案： - 试题分
11、析： 根据题意，由于 ，故可知 f(m)= ,则 f(-m)=- 。 考点：函数奇偶性 点评：主要是考查了函数奇偶性的运用，属于基础题。 直线 (t为参数 )与曲线 (“为多 数 )的交点个数为 答案： 试题分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论根据题意，由于直线 (t为参数 )与曲线 (“为多 数 )化为普通方程分别是 x+y-1=0和 x2+y2=9，那么可知 圆心（ 0， 0）到直线 x+y-1=0的距离为 d= 3， 直线与圆有两个交点，故答案：为： 2 考点：参数方程与普通方程 点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基
12、础题 解答题 函数 （ 1）若 ，证明 ； （ 2）若不等式 时 和 都恒成立，求实数 的取值范围。 答案：（ 1）构造函数 g(x)=f(x)- ，利用导数来判定单调性得到证明。 （ 2） 或 试题分析：（ 1）令 g(x)=f(x)- =ln(x+1)- ， 则 g(x)= - x 0， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， +）上是增函数 故 g（ x） g（ 0） =0，即 f(x) （ 2）原不等式等价于 x2-f(x2)m2-2bm-3 令 h(x)= x2-f(x2)= x2-ln(1+x2)， 则 h(x)=x- = 令 h（ x） =0，得 x=0， x=1， x=-1 当
13、 x -1， 1时， h（ x） max=0， m2-2bm-30令 Q（ b） =-2mb+m2-3， 则 Q(1)=m2-2m-30, Q(-1)=m2+2m-30 解得 m-3或 m3 考点：函数的导数 点评：本题考查函数的导数和函数思想的应用，本题解题的关键是构造新函数，对于新函数进行求导求最值，再利用函数的思想来解题，这种题目可以出现在高 考卷中 已知 ，对 ： 和 是方程 的两个根，不等式对任意实数 恒成立； ：函数有两个零点，求使 “ 且 ”为真命题的实数的取值范围。 答案： 试题分析：利用二次方程的韦达定理求出 |x1-x2|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，求出命题 p为真
14、命题时 m的范围；利用二次方程有两个不等根判别式大于 0，求出命题 Q 为真命题时 m的范围； P且 Q 为真转化为两个命题全真，求出 m的范围解：由题设 x1+x2=a， x1x2=-2， |x1-x2|= 当 a 1， 2时， 的最小值为 3要使 |m-5|x1-x2|对任意实数a 1， 2恒成立，只须 |m-5|3，即 2m8由已知，得 f（ x） =3x2+2mx+m+=0的判别式 =4m2-12（ m+ ） =4m2-12m-16 0，得 m -1或 m 4综上，要使 “p且 q”为真命题，只需 P真 Q 真，即 2m8， m -1或 m 4，解得实数m的取值范围是（ 4， 8 考点
15、：二次方程的韦达定理 点评：本题考查二次方程的韦达定理、二次方程有根的判断、复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系 如图，某小区准备在一直角围墙 内的空地上植造 “绿地 ”，其中， 长可根据需要进 行调节（ 足够长），现规划在 内接正方形 内种花，其余地方种草，设种草的面积 与种花的面积 的比 为， （ 1）设角 ，将 表示成 的函数关系； （ 2）当 为多长时， 有最小值，最小值是多少？ 答案：（ 1） （ 2） 时， 有最小值 1. 试题分析：解：（ 1）因为 ，所以 的面积为 ，设正方形 的边长为 ，则由 ，得 ，解得： ，则 ，所以 ，则 。 （ 2）因为 ，所以： ， 当且仅当
16、，即 时， 有最小值 1. 考点：正弦定理以及不等式 点评：主要是考查了不等式求解最值以及正弦定理的运用，属于基础题。 正四棱锥 中， ，点 M， N 分别在 PA， BD上，且 （ ）求异面直线 MN 与 AD所成角； （ ）求证： 平面 PBC； （ ）求 MN 与平面 PAB所成角的正弦值 答案：（ 1） 90o （ 2）要证明线面平行，则主要证明线线平行即可，结合判定定理得到。 （ 3） 试题分析：（ ）设 AC 与 BD的交点为 O， AB=PA=2。以点 O 为坐标原点， 方向分别是 x轴、 y轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz. 则 A（ 1， -1， 0）， B（ 1，
17、1， 0）， C（ -1， 1， 0）， D（ -1， -1， 0）， 设 P（ 0， 0， p） , 则 =(-1,1,p)，又 AP=2, 1+1+p2=4, p= , = , , , , , 异面直线 MN 与 AD所成角为 90o （ ） , 设平面 PBC的法向量为 =(a,b,c), 则 , 取 = , , MN 平面 PBC。 （ ）设平面 PAB的法向量为 =(x,y,z), 由 ， 则 , 取 = , cos = , MN 与平面 PAB所成角的正弦值是 考点：线面平行和线面角的求解 点评：主要是考查了线面的位置关系的运用，属于中档题。 已知圆 C的半径为 2，圆心在 x轴的
18、正半轴上，直线 与圆 C相切 （ I）求圆 C的方程； （ II）过点 Q（ 0， -3）的直线 与圆 C交于不同的两点 A 、 B ，当 时，求 AOB的面积 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ I）设圆心为 ， 因为圆 C与 相切， 所以 ， 解得 （舍去）， 所以圆 C的方程为 4分 （ II）显然直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 ， 由 ， 直线 l与圆相交于不同两点 ， 设 ，则 ， ， 将 代入并整理得 ， 解得 k = 1或 k =-5（舍去）， 所以直线 l的方程为 8分 圆心 C到 l的距离 ， 考点：直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运
19、用，属于中档题。 设 为非负实数，满足 ，证明： 答案：不等式的证明一般可以考虑运用作差法或者是利用分析法来证明。 试题分析：为使所证式有意义， 三数中至多有一个为 0；据对称性，不妨设 ，则 ； 、当 时，条件式成为 ， ， ，而 ， 只要证， ，即 ，也即 ，此为显然；取等号当且仅当 、再证，对所有满足 的非负实数 ，皆有 显然，三数 中至多有一个为 0，据对称性， 仍设 ，则 ，令 ， 为锐角，以 为内角，构作 ，则，于是 ，且由知， ；于是 ，即 是一个非钝角三角形 下面采用调整法，对于任一个以 为最大角的非钝角三角形 ，固定最大角，将 调整为以 为顶角的等腰 ，其中 ，且设，记 ，据 知， 今证明， 即 即要证 先证 ，即证 ， 即 ，此即 ，也即 ，即 ，此为显然 由于在 中， ，则 ；而在 中， ，因此 式成为 ， 只要证， ，即证 ，注意 式以及 ，只要证 ，即 ，也即 由于最大角 满足： ，而 ，则 ，所以 ，故 成立，因此 得证，由 及 得 成立，从而 成立，即 ，因此本题得证 考点：不等式的证明 点评：主要是考查了不等式的证明，方法比较多，一般是分析法和作差法构造函数法，属于难度题。
