1、2013-2014学年吉林省吉林市普通高中高一上期末检测数学卷（带解析） 选择题 集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：可画数轴根据集合并集的定义得 。故 A正确。 考点：集合的运算。 在直角坐标系 中，设 ，沿 轴把坐标平面折成 的二面角后， 的长是 （ ） A B 6 C D 答案： A 试题分析：设 ， ，沿 轴把坐标平面折成 的二面角时，即。所以在 中 ，即。因为 与 轴平行，所以 ,因为 ，所以 ，所以三角形 为直角三角形，且,所以 。故 A正确。 考点：二面角、线面垂直及线线垂直。 已知 是定义在 R上的偶函数 ,且在 上是增函数 ,则一定有（ ） A B C
2、D 答案： C 试题分析：因为 且 在 上是增函数，所以，因为 是定义在 R上的偶函数，所以， 所以 ，故 C正确。 考点：函数的奇偶性，单调性。 已知圆 ： ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由圆 方程可知圆心 ，半径为 ，设 。则可知点、点 关于直线 对称，所以 ，且 ，解得 ，即圆 的圆心为 ，因为两圆对称所以半径不变，所以圆 的方程为 ，故 D正确。 考点：点关于直线的对称点问题。 过圆 上的一点 的圆的切线方程是 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：圆的圆心为原点 ，设切点为 ,所以 ，所以切线斜率为 ，所以此切线方程
3、为 ，即，故 A正确。 考点：圆的切线方程。 如图，长方体 中， ，点 分别是的中点，则异面直线 与 所成的角是 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 答案： D 试题分析：连接 。因为 分别是 的中点，所以 且, 所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 或其补角为异面直线 与 所成的角。由已知可得 ， , ，所以,所以 为直角三角形且 。故 D正确。 考点：异面直线所成角。 设 ，则在下列区间中，使函数 有零点的区间是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 在 上是连续函数，且， ，故函数 在上有零点。故 B正确。 考点：函数零点。 已知直线 与平面 ，给出下列三个结论
4、： 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 其中正确的个数是 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：若 ， ，则 或 相交或 是异面直线，故 不正确；根据线面平行的性质定理， 时，在面 内必存在一条直线 与平行，即 。因为 ，则 ，所以 ，故 正确；根据线面平行的性质定理， 时，在面 内必存在一条直线 与 平行，即 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 故 正确。综上可得正确的个数是 2个，故 C正确。 考点：空间两直线的位置关系，线线平行、线面平行、线线垂直和线面垂直。 已知点 、 ，则线段 的垂直平分线的方程是 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ，
5、所以与线段 的垂直平分线的斜率为 。点、 中点为 ，即 ，所以线段 的垂直平分线的点斜式方程为 ，即 。故 B正确。 考点：两直线垂直的关系及直线方程。 已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：由三视图分析可知此几何体是底面为矩形且其中一条侧棱垂直与底面的四棱锥，不妨设底面为 ，侧棱 。因为,所以 ,所以 均为直角三角形。因为 ， ,所以 ,因为 为矩形，所以 ,因为 ，所以 ,因为 ,所以,所以 为直角三角形。同理可证 也为直角三角形。综上所得 4个侧面均为直角三角形。故 A正确。 考点：三视图和
6、空间几何体之间的关系，线线垂直和线面垂直。考查空间想象能力、运算求解能力 函数 的定义域是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 。所以此函数定义域为 。故 C正确。 考点：对数函数定义域。 圆 的圆心坐标是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：法一：将圆的方程变形为标准方程： ，所以圆心为 。法二：此方程为圆的一般方程根据圆心坐标公式 ，可得圆心坐标为 。故 D正确。 考点：圆的方程。 填空题 如图 所在平面， 是 的直径， 是 上一点， ,，给出下列结论： ； ； ； 平面平面 是直角三角形 其中正确的命题的序号是 答案： 试题分析：因为 是 的直径， 是 上一
7、点，所以 ,即。 因为 ,所以 。因为 ，所以,因为 ,所以 。因为 ， ,所以 。因为 ， ，所以 。故 正确。 因为 ， ， ，所以 ，因为，所以 ，故 正确。 假设 成立，因为 ， ，所以 。但已征得 ，与过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，所以假设不成立。故 不正确。 因为 ， ,所以平面 平面 。故 正确。 综上可得 正确。 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直。 若直线 被两平行线 所截得的线段的长为，则直线 的斜率可以是 : ; ; ; ; 其中正确答案：的序号是 . 答案： 试题分析：设直线 与两平行线所夹的锐角或直角为 ，两平行线间的距离为 ，因为直线 被两平行线
8、所截得的线段的长为 ，所以 。所以 。因为直线 斜率为 1倾斜角为 ，所以直线 的倾斜角为 或 。 因为 ，。即直线 的斜率为 或 。故只有 正确。 考点：平行线间的距离，两直线夹角，直线的倾斜角与斜率，正切的两角和差公式。 已知 ，若 ，则 _ 答案： 试题分析：当 时， 解得 所以 ；当 时，解得 。综上可得 或 。 考点：分段函数。 已知正方体的棱长为 2，则它的内切球的表面积是 答案： 试题分析：此正方体内切球的直径为 2，即半径为 1.所以此正方体内切球的表面积为 。 考点：正方体的内切球及球的表面积公式。 解答题 已知 的三个顶点为 . （ ）求边 所在的直线方程； （ ）求中线
9、所在直线的方程 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ）可直接用两点式，也可先求斜率再用点斜式或斜截式。（ ）用中点坐标公式先求 的中点，然后直线方程的四种特殊形式用那种都可以求直线方程。 试题：解：（ ）设边 AB所在的直线的斜率为 ，则 . 它在 y轴上的截距为 3.所以，由斜截式得边 AB所在的直线的方程为 5分 （ ） B(1， 5)、 ， ， 所以 BC的中点为 . 由截距式得中线 AD所在的直线的方程为： ，即 10分 考点：直线方程。 如图所示的四棱锥 中，底 面 为菱形， 平面 ，为 的中点， 求证：（ I） 平面 ； （ II）平面 平面 . 答案：（ I）见；（ II）见
10、 试题分析：（ I）连结 交 于点 ，可知 为 中点。因为 为 的中点，由中位线可得 ，根据线面平行的判定定理可证得 平面（ II）先证 ,再证平面 平面 . 试题：证明：（ 1）连结 AC交 BD于点 O,连结 OE. 四边形 ABCD是菱形， AO=CO. E为 PC的中点， EO PA。 PA 平面 BDE,EO 平面 BDE, PA 平面 BDE. 5分 （ 2） PA 平面 ABCD， BD 平面 ABCD， PA BD， 四边形 ABCD是菱形， BD AC. , BD 平面 PAC, BD 平面 PBD， 平面 PAC 平面 PBD. 10分 考点：线线平行、线面平行，线线垂直、
11、线面垂直。 设 ， ，其中 且 . （ I） 若 ，求 的值； （ II） 若 ，求 的取值范围 答案：（ I） （ II）当 时， ；当 时，试题分析：（ I）底数相同时，两对数相等则真数相等。（ II）应先讨论单调性，再用单调性解不等式，应注意真数大于 0。由以上条件得到的不等式组即可求的取值范围。 试题：解：（ 1） ，即 ， 解得 ， 检验 ，所以 是所求的值。 5分 （ 2）当 时， ，即 解得 ， 8分 当 时， ，即 解得 ， 11分 综上，当 时， ；当 时， 12分 考点：对数的单调性。 如图，在长方体 中， , 沿平面 把这个长方体截成两个几何体 : 几何体（ 1）；几何体
12、（ 2） （ I）设几何体（ 1）、几何体（ 2）的体积分为是 、 ，求 与 的比值 (II)在几何体（ 2）中，求二面角 的正切值 答案：（ I） 5； (II) 试题分析：（ I）先设出边长求长方体的体积，再求几何体（ 2）的体积 ，用长方体的体积减去 即为几何体（ 1）的体积分为是 。 (II) 作 于点 ，连结 ，可证得 ，再得 ，根据二面角平面角的定义可知是二面角 的平面角。最后在直角三角形 中求 的正切值。 试题：解（ I）设 BC=a,则 AB=2a, ，所以 2分 因为 4分 5分 所以 6分 (II)由点 C作 于点 H，连结 PH，因为 面 CQR， 面 CQR,所以 因为
13、 ,所以 面 PCH,又因为 面 PCH, 所以 ,所以 是二面角 的平面角 9分 而 所以 12分 考点：柱体、椎体的体积公式，二面角。 已知圆 过点 ，且圆心 在直线 上。 （ I）求圆 的方程； （ II）问是否存在满足以下两个条件的直线 : 斜率为 ； 直线被圆 截得的弦为 ，以 为直径的圆 过原点 . 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由 . 答案：（ I） （ II）存在， 或 试题分析：（ I）用待定系数法求圆 的方程，即先设出圆 的标准式方程或一般式方程，然后根据已知条件列出方程组求出未知系数即可。（ II）假设直线存在，其方程为 ，与圆的方程联立 消去 得到关于
14、 的一元二次方程，由韦达定理得到根与系数间的关系，因直线与圆由 两个交点故此一元二次方程的判别式应大于 0。以 为直径的圆 过原点即 ，可转化为直线垂直斜率乘积等于 ，也可转化为 ，还可转化为直角三角形勾股定理即 ，得到 。即可得到关于 的方程，若方程有解则假设成立，否则假设不成立。 试题：解： (1)设圆 C的方程为 则 解得 D= 6,E=4,F=4 所以圆 C方程为 5分 （ 2）设直线 存在，其方程为 ，它与圆 C的交点设为 A 、 B则由 得 （） 7分 = 因为 AB为直径，所以， 得 ， 9分 ， 即 ， ， 或 11分 容易验证 或 时方程（）有实根 . 故存在这样的直线 有两条，其方程是 或 . 12分 考点：圆的方程，直线和圆的位置关系，考查分析问题、解决问题的能力。
