1、2013-2014学年吉林省吉林市普通高中高二上学期期末理数学试卷与答案（带解析） 选择题 双曲线 的焦距为 A B C D 答案： D 试题分析：由条件知 ， ， . 考点：双曲线的定义 . 已知直线 与双曲线 ，有如下信息：联立方程组：, 消去 后得到方程 ，分类讨论：（ 1）当 时，该方程恒有一解；（ 2）当 时， 恒成立。在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是 A B C D 答案： B 试题分析：联立方程组： , 消去 后得到方程,此时恒成立，即 恒成立，解得 ；所以双曲线离心率 ，即为正确答案： . 考点：新定义问题、双曲线离心率的求法 . 点 是椭圆上的一点 , 是焦
2、点 , 且 , 则 的面积是 A B C D 答案： A 试题分析：由余弦定理 和联立可得： . 考点：椭圆的定义、余弦定理 . 若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是 A B C D 答案： C 试题分析： A和 B选项成立的条件是 ； D选项应该是 ；因此只有 C正确 . 考点：基本不等式 . 在 中， ，给出 满足的条件，就能得到动点 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 条件 方程 周长为 10 面积为 10 中， 则满足条件 、 、 的点 轨迹方程按顺序分别是 A. 、 、 B. 、 、 C. 、 、 D. 、 、 答案： A 试题分析： 周长为 10，即 ，轨迹为椭圆 ； 面积为
3、 10，即 ， 所以轨迹为 ； 中，即 为圆周上一点，所以轨迹为圆 . 考点：圆锥曲线问题、轨迹问题 . 设 为抛物线 上的动弦，且 , 则弦 的中点 到 轴的最小距离为 A 2 BC 1 D答案： B 试题分析：设 、 ，弦 的中点 到 轴的距离最小，则弦过抛物线的焦点 ，由题意得准线为 ， ，即， 弦 的中点 到 轴的最小距离 . 考点：抛物线的定义、最值问题 . 已知 是等比数列，前 项和为 ， ，则 A B C D 答案： B 试题分析：由已知条件可得 ， ， . 考点：等比数列的定义、等比数列的前 n项和 . 在 中， ，则 等于 A 30 B 60 C 60或 120 D 30或
4、150 答案： C 试题分析：由正弦定理得： ， ， 60或 120. 考点：正弦定理 . “关于 的不等式 对于一切实数 都成立 ”是 “ ”的 A充要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 答案： C 试题分析：关于 的不等式 对于一切实数 都成立，则 或，解得 ，所以 C正确 . 考点：不等式恒成立问题、含参数的不等式的解法 . 对抛物线 ，下列描述正确的是 A开口向上，焦点为 B开口向上，焦点为 C开口向右，焦点为 D开口向右，焦点为 答案： A 试题分析：由抛物线的定义可知： 开口向上，焦点坐标为，所以 C为正确答案： . 考点：抛物线的定义 . 以下四组向
5、量： , ； , ； , ； , 其中互相平行的是 . A B C D 答案： D 试题分析：因为若 ，则 ； 都满足 ，所以都满足 . 考点：向量的坐标表示、向量的运算 . 命题 “对任意的 ，都有 ”的否定为 A存在 ，使 B对任意的 ，都有 C存在 ,使 D存在 ,使 答案： C 试题分析：全称命题的否定为特称命题，且结论也否定，所以 C正确 . 考点：逻辑与命题 . 填空题 函数 ，若数列 满足 ，则 答案： 试题分析：由题意可知 ，从第三项开始是以 3为周期的数列， . 考点：分段函数、周期性、数列递推公式 . 已知双曲线的渐近线方程为 ，虚轴长为 4， 则该双曲线的标准方程是 答案
6、： 试题分析：根据题意知 ，若焦点在 轴上，则 ， ， 方程是：； 若焦点在 轴上，则 ， ， 方程为： . 考点：双曲线的应用 . 已知 F1， F2是椭圆 的两焦点，过点 F2的直线交椭圆于 A， B两点在 AF1B中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为 答案： 试题分析：由椭圆定义可知 AF1B周长为 ，所以第三边的长度为 16-10=6. 考点：椭圆定义 . 若实数 满足条件 ，则 的最大值为 答案： 试题分析：满足条件 的线性规划如图阴影所示： 当经过 时， 能取到最大值 4. 考点：不等式的应用、最值问题 . 解答题 已知数列 的前 n项和 （ 1）求数列 的通项公式 ,并证明
7、 是等差数列； （ 2）若 ，求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） 通项公式 ，证明过程详见试题；（ 2）. 试题分析：（ 1） 先根据 ，求出当 时 的表达式；再验证时是否满足；证明 是等差数列，即证明 是定值即可；（ 2）先求出 的表达式，再用裂项相消法求数列前 n项和 . 试题：（ 1）当 时， 3分 当 时， 适合上式，所以 4分 因为当 时， 为定值， 所以 是等差数列 6分 （ 2） ， 所以 所以 10分 考点：数列通项公式的求和、数列求和 . 命题 ：方程 表示的曲线是焦点在 y轴上的双曲线，命题 ：方程 无实根，若 为真， 为真，求实数 的取值范围 答案： . 试题分析：先
8、计算出命题 、 为真时 的取值范围；又 为真， 为真，知 真 假，从而可求出实数 的取值范围 试题： ： ， .故 ： . 4分 ： ，即 ， .故 ： . 8分 又 为真， 为真， 真 假， 10分 即 ， . 12分 考点：逻辑与命题、双曲线的定义 . 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， （ 1）求 的大小； （ 2）若 ，求 和 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用正弦定理可求 的大小，注意 的取值范围；（ 2）由面积公式 可求得 ，再结合余弦定理可求出 . 试题：（ 1）由条件结合正弦定理得， 从而 ， ， 6分 （ 2）由已知： 8分 由余弦定理得：
9、11分 所以 是方程 的两根，而 ， 所以 12分 考点：正余弦定理的综合运用 . 已知定点 和定直线 ，动点与定点 的距离等于点 到定直线 的距离，记动点 的轨迹为曲线 . （ 1）求曲线 的方程 . （ 2）若以 为圆心的圆与曲线 交于 、 不同两点，且线段 是此圆的直径时，求直线 的方程 . 答案：（ 1）曲线 的方程 .（ 2）直线 AB的方程为 . 试题分析：（ 1）已知条件符合抛物线的定义，直接可求出抛物线方程为； （ 2）先设出 ，用点差法可求出直线 AB的斜率，进而可写出直线方程 . 试题：（ 1）由题意知， P到 F的距离等于 P到 的距离，所以 P的轨迹 C是以F为焦点，
10、为准线的抛物线，它的方程为 5分 （ 2）设 ,则 由 AB为圆 M 的直径知， ,故直线的斜率为 ; 直线 AB的方程为 ,即 . 12分 考点：抛物线的定义、点差法 . 如图，直三棱柱 (侧棱垂直于底面的棱柱 ) ,底面 中，棱 ， 分别为 的中点 . （ 1）求 的值； （ 2）求证： 答案：（ 1） 的值为 ；（ 2）证明过程详见试题 . 试题分析：（ 1）先以 C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求 的值； （ 2）由（ 1）所建立的空间坐标系可写出 、 、 的坐标表示，即可知 ，从而 得证 . 试题：以 C为原点， CA、 CB、 CC1所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建
11、立坐标系 （ 1）依题意得 , , = 6分 (2) 依题意得 , , , , , 12分 考点：空间坐标系、线面垂直的判定方法 . 已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点 . （ 1）若 是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点 的坐标； （ 2）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且 为锐角（其 中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围 . 答案：（ 1）点 的坐标为 ；（ 2）直线 的斜率 的取值范围是. 试题分析：（ 1）设 ，由椭圆方程可表示出 、 ，又，即可求点 的坐标； （ 2）显然 不满足题意，所直线的斜率存在，可设 的方程为 ，与椭圆方程联立后用韦达定理表示出 、 ；又 为锐角，进而可解出 的取值范围 . 试题：（ 1）因为椭圆方程为 ，知 ， 设 ，则 ， 又 ，联立 ，解得 ， 6分 （ 2）显然 不满足题意，所直线的斜率存在，可设 的方程为 ， 设 ，联立 ， 8分 且 10分 又 为锐角， ， ， ， 又 ， ， 12分 考点：直线与圆锥曲线的综合问题、设而不求思想 .
