1、2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末理数学卷（带解析） 选择题 抛物线 x2=y的焦点坐标是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 知焦点在 轴正半轴上且 ,故焦点坐标为 。故 C正确。 考点：抛物线方程及焦点坐标。 在 R上定义运算：对 x,y R,有 x y=2x+y，如果 a 3b=1(ab0)，则 的最小值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：依题意问题转化为已知 ，求 的最小值。 因为且， 当且仅当 时 “=”成立。故 B正确。 考点： 1新概念； 2基本不等式。 如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为 1的正方形，若
2、 A1AB=A1AD=60o，且 A1A=3，则 A1C的长为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：法一：因为 ， 所以， 即 ， 故。 法二：先求线 和面 所称的角为 ， ，在 中，所以 。故A正确。 考点： 1线面角； 2余弦定理； 3向量在立体几何中的应用。 设命题 p：函数 y=sin2x的最小正周期为 ；命题 q：函数 y=cosx的图象关于直线对称 .则下列判断正确的是（ ） A p为真 B q为假 C p q为真 D p q为假 答案： D 试题分析：函数 的最小正周期为 ，故命题 假；因为 ，所以函数 的图象不关于直线 对称。故命题 假。故 为假。故 D正确。 考点：
3、1命题的真假判断； 2正弦函数的周期性； 3余弦函数的对称轴。 已知等差数列： 5， 的前 n项和为 Sn，则使得 Sn取得最大值的 n的值为（ ） A 7 B 8 C 7或 8 D 8或 9 答案： C 试题分析：依题意首项 a1=5,公差，从而等差数列的通项公式为 ，显然数列前 7项为正， a8=0,从第九项起为负 ,故 S7=S8且达到最大。故 C正确。 考点：等差数列的通项公式和前 项和公式。 在空间中，有下列命题： 平行于同一直线的两条直线平行； 平行于同一直线的两个平面平行； 垂直于同一平面的两个平面平行； 垂直于同一平面的两条直线平行。 其中正确的命题个数有（ ） A 1 B 2
4、 C 3 D 4 答案： B 试题分析：根据空间 元素的位置可知 正确， 中两个面还有可能相交。故 B正确。 考点：空间线面、面面的位置关系。 “a 1”是 “直线 x y 0和直线 x-ay 0互相垂直 ”的（ ） A充要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为直线 的斜率为 ，当直线 和直线 互相垂直时直线 的斜率存在且应为 1，故 a0, 且 ，即 。故 A正确。 考点 ： 1两直线垂直斜率间的关系； 2充分必要条件。 不等式 (x-1)(2-x)0的解集是（ ） A（ -， 1） B（ 2， +） C（ -， 1） （ 2， +）
5、 D（ 1， 2） 答案： D 试题分析： ，故 D正确。 考点：一元二次不等式。 填空题 关于双曲线 ，有以下说法： 实轴长为 6； 双曲线的离心率是 ； 焦点坐标为（ 5， 0）； 渐近线方程是 ， 焦点到渐近线的距离等于 3。正确的说法是 ，（把所有正确的说法序号都填上） 答案： 试题分析：双曲线方程化为 ，则有 ,从而 ,所以实轴长为 8，离心率 为 ， 焦点为 ,渐近线方程为 ，故 不正确， 正确，由点到直线的距离公式可知 正确。 考点： 1双曲线方程； 2点到线的距离。 已知 ，且 ，则 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 解得 ,从而 ，所以， 故 。 考点： 1空间向量垂直的数
6、量积； 2空间向量的模。 命题 “若 a2+b2=0，则 a=0且 b=0”的逆否命题是 _。 答案：若 或 ,则 试题分析：原命题：若 则 。逆否命题为：若则 。注意 “且 ”否之后变 “或 ”。 考点：命题的逆否命题。 某算法流程图如图，输入 x=1，得结果是 _ 答案： 试题分析：由流程 图可，当 时， 。 考点：算法程序框图。 一个等比数列的第 3项和第 4项分别是 12和 18，则它的第 2项为 . 答案： 试题分析：依题意 ,且 ,所以 。 考点：等比中项。 命题 p:“ ，使 ”的否定 p是 答案： ,使 试题分析：特称命题的否定为全称命题。 考点：全称命题和特称命题。 解答题
7、在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别是 a、 b、 c. （ 1）在 ABC中， A=60o， B=75o， c=20，求边 a的 长； （ 2）若 ABC的面积 ，求 C的度数 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）先求 角，在用正弦定理求 边。（ 2）根据余弦定理可得 ，可计算得 的正切值，即可求得 。 试题：（ 1）依题意 , （ 2分） 由正弦定理得 ， （ 3分 ） 即 （ 6分） （ 2）由 ，得 . （ 9分） ，因为 ，所以 . （ 12分） 考点： 1正弦定理； 2余弦定理。 如图，在长方体 AC1中， AB=BC=2， ，点 E、 F分别是面 A1C1、面
8、 BC1的中心 （ 1）求证： BE/平面 D1AC； （ 2）求证： AF BE； （ 3）求异面直线 AF与 BD所成角的余弦值。 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） 试题分析：（ 1）连接 和 交于点 ，连接 ，证 为平行四边形得/ ，根据线面平行的判定定理即可证得 /平面 。（ 2）用空间向量法证 两向量数量积为 0。（ 3）用空间向量法求两向量所成角的余弦值，但应注意两空间向量所成角范围为 ，异面直线所成角范围为 ，所以其余弦值应为正数。 试题： （ 1）（方法一）连接 和 交于点 ，连接 ，由长方体知 / 且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 / ，又 平面 ， 平 面
9、，故 /平面 。 （ 4分） （方法二）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 , , . , , , 从而 ，故故 /平面 。 （ 4分） （ 2）由（ 1）的方法二可知 ， ， （ 6分） . （ 7分） 所以 （ 8分） （ 3）由（ 1）、（ 2）知， ，设异面直线 AF与 BD所成 的角为 q，则 ， 故异面直线 与 所成角的余弦值为 （ 12分） 考点： 1线面平行； 2空间向量法在立体几何中的应用。 某厂生产甲、乙两种 产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示 . 但国家每天分配给该厂的煤、电有限 , 每天供煤至多 56吨，供电至多 450千瓦，问该厂如何安排生
10、产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少 答案：该厂每天安排生产甲产品 5吨，乙产品 7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为 124万元 . 试题分析：根据已知条件列出线性约束条件，和目标函数。画出可行域与目标函数线，平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线纵截距最大时目标函数值也最大。 试题： 设该厂每天安排生 产甲产品 x吨，乙产品 y吨，则日产值 ， （ 1分） 线性约束条件为 . （ 4分） 作出可行域 . （ 7分） 把 变形为一组平行直线系， （ 8分） 由图可知，当直线 经 过可行域上的点 时，截距 最大，即 取最大值 . （ 10分） 解方程组 ，得交点 （ 11分） . （
11、13分） 所以，该厂每天安排生产甲产品 5吨，乙产品 7吨，则该厂日产值最大，最大日产 值为 124万元 . （ 14分） 考点：线性规划。 设数列 an前 n项和为 Sn，点 均在直线 上 . （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）设 ， Tn是数列 bn的前 n项和，试求 Tn; （ 3）设 cn=anbn,Rn是数列 cn的前 n项和，试求 Rn. 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）将点代入直线方程整理可得 ，用公式可推导出 。（ 2）由 可得 ，可证得数列 为等比数列 ，用等比数列的前 项和公式可求其前 项和 。（ 3）因为 等差 等比，所以用错位相减法求数列
12、的前 项和。 试题：（ 1）依题意得， 即 . （ 1分） 当 时， . （ 2分） 当 时， ; （ 4分） 所以 . （ 5分） （ 2）由（ 1）得 ， （ 6分） 由 ， （ 7分） 由 ，可知 bn为首项为 9，公比为 9的等比数列 . （ 8分） 故 . （ 9分） （ 3）由 (1)、（ 2）得 （ 10分） （ 11分） （ 12分） （ 13分） （ 14分） 考点： 1公式法求数列的通项公式； 2等比数列的定义； 3等比数列的前 项和； 4错位相减法求数列的前 项和。 已知函数 f(x)是定义在 R上的偶函数，且 x0时， . (1)求 f(-1)的值； (2)求函数 f(
13、x)的值域 A； (3)设函数 的定义域为集合 B，若 AB，求实数 a的取值范围 . 答案： (1) (2) (3) 试题分析： (1)由函数为偶函数可得 。 (2)函数 是定义在 上的偶函数，可得函数 的值域 A即为 时， 的取值范围 .根据指数函数的单调性可求得范围。 (3)法一：可先求出集合 ，根据 画图分析可得实数 的取值范围。法二：因为 且 ，所以 均使有意义。 试题： (1)函数 是定义在 上的偶函数， 1分 又 x0时， 2分 3分 (2)由函数 是定义在 上的偶函数，可得函数 的值域 A即为 时， 的取值范围 5分 当 时， 7分 故函数 的值域 8分 (3) 定义域 9分
14、（方法一）由 得 ， 即 12分 因为 ， ,且 13分 实数 的取值范围是 14分 （方法二）设 当且仅当 12分 即 13分 实数 的取值范围是 已知椭圆 C的中心在原点，焦点 y在轴上，焦距为 ，且过点 M 。 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）若过点 的直线 l交椭圆 C于 A、 B两点，且 N恰好为 AB中点，能否在椭圆C上找到点 D，使 ABD的面积最大？若能，求出点 D的坐标；若不能，请说明理由。 答案：（ 1） （ 2）存在， 试题分析：（ 1）用椭圆的定义 可求 ，根据焦距 和可求 ；也可将点代入设出的椭圆方程解方程组求 。（ 2）用点差法求直线 的斜率，设与直 线 平行且
15、与椭圆相切的直线方程为，直线 与椭圆的焦点即为所求点 。 试题：（ 1）（方法一）依题意，设椭圆方程为 ， 1分 则 ， 2分 因为椭圆两个焦点为 ，所以 =4 4分 5分 椭圆 的方程为 6分 （方法二）依题意，设椭圆方程为 ， 1分 则，即 ，解之得 5分 椭圆 C的方程为 6分 （ 2）如图 （方法一）设 两点的坐标分别为 ， 则 7分 - ，得 , 9分 设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 联立方程组，消去 整理得 由判别式 得 12分 由图知，当 时， 与椭圆的切点为 ，此时 的面积最大 所以 点的坐标为 14分 （方法二）设直线 的方程为 ，联立方程组， 消去 整理得 设 两点的坐标分别为 ，则 所以直线 AB的方程为 ，即 9分（以下同法一） 考点： 1椭圆方程； 2点差法解决中点弦问题； 3数形结合。
