1、2013-2014学年江苏省江宁高级中学高一下学期期末模拟数学试卷与答案 1（带解析） 填空题 _. 答案： . 试题分析： . 考点： 1.诱导公式； 2.两角差的余弦公式 . 设数列 为等差数列，数列 为等比数列若 ， ，且，则 数列 的公比为 答案： . 试题分析：由题意，设等比数列的公差为 ， 是等比数列， ，又 ， 或， 若 ：则 不合题意，舍去，若 ，则 ， ，化简得 ，经检验，由 ， 故 舍去， . 考点：等差数列与等比数列的通项公式 . 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在 A处获悉后，测得该货轮在北偏东 45o方向距离为 10海里的 C处，并测得货轮正沿北偏东
2、105o的方向、以每小时 9海里的速度向附近的小岛靠拢 .我海军护卫舰立即以每小时 21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是 小时 . 答案： . 试题分析：由题意可画出如下示意图，假设经过 小时 处护卫舰靠近了货轮，则可得 ， ， ， 在 ，由余弦定理可得：. 考点：余弦定理的运用 . 若函数 的图像与 轴有公共点，则 的取值范围是 _ 答案： . 试题分析：由题意得： 的图像与 轴有交点 方程有解， ， ， ， 的取值范围是 . 考点： 1.函数零点的概念； 2.指数函数的性质 . 在 ABC中，已知 BAC 90， AB 6，若 D点在斜边 BC 上， CD 2DB，则 的值
3、为 答案： . 试题分析：如图，过 作 于 ，易得 ， ， ， ， . 考点：平面向量数量积 . 设函数 是定义在 R上的偶函数，且在区间 0， +)上单调递增，则满足不等式 的 的取值范围是 答案： . 试题分析： 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增， 在 上单调递减，故不等式 等价于 或， 的取值范围是 . 考点： 1.偶函数的性质； 2.对数的性质 . 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数的图象，则函数 在 上的最小值为 答案： . 试题分析： ， 将其图像向右平移 个单位长度后得到的函数为 ， 当 时， 在 的最小值为 . 考点：三角函数的图像和性质 . 已知 为锐角
4、, 则 . 答案： . 试题分析： 为锐角， ， ， . 考点： 1.同角三角函数基本关系； 2.两角和的正切公式 . 已知 ， 是不重合的两条直线， ， 是不重合的两个平面下列命题： 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 ； 若 ， ，则 其中所有真命题的序号是 答案： . 试题分析： ：有可能 ，还有可能 ， 错误； ：垂直于同一直线的两不同平面平行， 正确； ：根据条件， 可能在 内，可能 ，也有可能 与 斜交， 错误； ： 与 也有可能相交， 错误；故只有 是真命题 . 考点：空间中直线与平面的位置关系 . 已知 ABC为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD = 2，
5、将 ABC沿AD折成 60的二面角，连结 BC，则三棱锥 C - ABD的体积为 答案： . 试题分析：如图，由题意可得 ， ， 平面 ，而， . 考点：空间几何体的体积 . 等比数列 中， ，则 的前 4项和为 . 答案： . 试题分析： 等比数列 ， ， 前 项和 . 考点：等比数列基本量的计算 . 已知向量 ，且 ，则 答案： . 试题分析： ， ， ， 又 ， . 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量共线的坐标表示 . 函数 的定义域为 . 答案： . 试题分析： ， ， 函数 的定义域为 . 考点：函数的定义域 . 已知集合 ， ，且 ，则实数 的值是 答案： . 试题分析
6、： ， ， . 考点：集合间的关系 . 解答题 某小区想利用一矩形空地 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中， ，且 中， ，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点 作一直线交 于 ，从而得到五边形 的市民健身广场，设 （ 1）将五边形 的面积 表示为 的函数； （ 2）当 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为 . 试题分析：（ 1）根据题意分析可考虑作 ，垂足为 ，从而可将五边形的面积转化为梯形 与矩形
7、的面积之和，由 结合条件，可将梯形 的上底，下底与高以及矩形 的长和宽都用含 的代数式表示出来，从而可得： ，再由 ，可得；（ 2）由（ 1）及条件可知，问题就等价于求函数在 上的最大值，而将其变形后可得： ， 当且仅当 时， “=”成立，从而当 时，到的市民健身广场面积最大，最大面积为 . 试题：（ 1）如图，作 ，垂足为 ， ， ，又由 ， ， ， ， 2分 过 作 交 于 ， 则 ， 所以 ， 7分 由于 与 重合时， 适合条件，故 ； 8分 （ 2）由（ 1）得： ， 10分 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ， 13分 即当 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 14分 考点：
8、 1.函数的运用； 2.基本不等式求最值 . 已知 ，函数 . 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的最值范围； 若 ，且函数 的定义域和值域均为 ，求实数 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据题意，若不等式 对任意 恒成立，参编分离后即可得： ，从而问题等价于求使 对于任意 恒成立的的范围，而 ，当且仅当 时， “=”成立，故实数 的取值范围是 ；（ 2）由题意可得 为二次函数，其对称轴为 ，因此当 时，可得其值域应为 ，从而结合条件 的定义域和值域都是 可得关于 的方程组 ，即可解得 . 试题：（ 1） ， 可变形为： ，而，当且仅当 时， “=”成立， 要使不等
9、式 对任意 恒成立，只需 ，即实数 的取值范围是 ； （ 2） ， 其图像对称轴为 ，根据二次函数的图像，可知 在 上单调递减， 当 时，其值域为 ，又由 的值域是 ， . 考点： 1.恒成立问题的处理方法； 2.二次函数的值域 . 在数列 中， ， （ 1）设 证明：数列 是等差数列； （ 2）求数列 的前 项和 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）题中条件 ，而要证明的是数列 是等差数列，因此需将条件中所给的 的递推公式 转化为 的递推公式：，从而 ， ，进而得证；（ 2）由（ 1）可得，因此数列 的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前
10、 项和，即有： ， 得： ， - 得 . 试题：（ 1） ， ，又 ， ， ， 则 是 为首项 为公差的等差数列； 由（ 1）得 ， ， ， 得： ， - 得 . 考点： 1.数列的通项公式； 2.错位相减法求数列的和 . 如图，在三棱锥 中，点 分别是棱 的中点 (1)求证： /平面 ； (2)若平面 平面 ， ，求证： 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）题中条件出现了两个中点，故可考虑利用三角形中位线得到线线平行从而得到线面平行：即有 ， 平面 ， 平面 ，平面 ；（ 2）由题中条件平面 平面 ，故可首先由面面垂直得到线面垂直，因此在平面 内过点 作 ，垂足为 ，则有
11、 平面 ，结合条件 ，可得 平面 ，从而 . 试题：（ 1）在 中， 、 分别是 、 的中点， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； 6分 （ 2）如图，在平面 内过点 作 ，垂足为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 8分 又 平面 ， ， 10分 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 12分 平面 ， 14分 考点： 1.线面平行的证明； 2.线线垂直的证明 . 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 ， ， ，且 （ 1）求角 的值； （ 2）若角 ， 边上的中线 = ，求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先可将条件中 变形为，再利用正
12、弦定理进行边角互化可得，再由 中 ，可将等式继续化简为 ，从而 ；（ 2）由（ 1）及条件 可得 是等腰三角形，从而 ，再由 边上的中线 = ，若设 ，则 ，可考虑在 中采用余弦定理，即有， 从而可进一步求得 的面积： . 试题：（ 1） ， ， 由正弦定理得 ， 2分 即 ， 4分 ， ， ， 又 ， ， ； 7分 （ 2）由（ 1）知 ， ， ， 8分 设 ，则 ，又 在 中，由余弦定理： 得 即 ， 12分 故 . 14分 考点： 1.三角恒等变形； 2.正余弦定理解三角形 . 函数 . （ 1）若 ，函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围； （ 2）设 ，若对任意 恒成立，
13、求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题意可得，当 时， 在区间 上是单调递增函数等价于对于任意的 ， （不妨 ），恒成立，从而将问题转化为 在 恒成立，即有 ， 在 上恒成立，而的 ， ，且，故有 ，因此分析可得要使 恒成立，只需，即有实数 的取值范围是 ；（ 2）由题意分析可得问题等价于在上， ，从而可将问题转化为在 上，求二次函数 的最大值与最小值，因此需要对二次函数的对称轴 分以下四种情况讨论： 当 ，即 ； 当 ，即 ； 当 ，即 ； 当 ，即 ，结合二次函数的图像和性质，可分别得到 在以上四种情况下的最大值与最小值，从而可得实数的取值范围是 . 试题：（ 1） 时， ， 任设 ， .2分 ， 函数 在 上是单调递增函数， 恒有 ， .3分 恒有 ，即恒有 ， .4分 当 时， ， ， ，即实数 的取值范围是.6分 （ 2）当 时 ， 对任意 有 恒成立等价于 在 上的最大值与最小值之差 .7分 当 ，即 时， 在 上单调递增， ， ， ，与题设矛盾； .9分 当 ，即 相关试题 2013-2014学年江苏省江宁高级中学高一下学期期末模拟数学试卷 1（带）
