1、2013-2014学年湖北省襄阳市普通高中调研高一统一测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 不等式 的解集是 ( ) A x |-1x5 B x | x5或 x-1 C x |-1 5或 x -1 答案： D 试题分析：不等式 转化为 ，解得： 或 . 不等式 的解集是 或 . 故选 D. 考点：一元二次不等式的解法 . 已知数列 an满足 an = nkn(n N*， 0 k 1)，下面说法正确的是 ( ) 当 时，数列 an为递减数列； 当 时，数列 an不一定有最大项； 当 时，数列 an为递减数列； 当 为正整数时，数列 an必有两项相等的最大项 . A B C D 答案： C 试题分
2、析：选项 ：当 时， ，有 ， ，则，即数列 不是递减数列，故 错误； 选项 ：当 时， ，因为 ，所以数列 可有最大项，故 错误； 选项 ：当 时， ，所以 ，即数列 是递减数列，故 正确； 选项 ： ，当 为正整数时， ；当时， ；当 时，令 ，解得 ，数列 必有两项相等的最大项，故 正确 . 所以正确的选项为 . 考点：数列的函数特征 . 对于平面 和共面的直线 m、 n，下列命题正确的是（ ） A若 m、 n与 所成的角相等，则 m n B若 m ， n ，则 m n C若 m ， m n，则 n D若 m ， n ，则 m n 答案： D 试题分析：若 m、 n与 所成的角相等，则
3、可能平行或相交 ,故 A错；若，则 可能平行或相交，故 B错；若 ，则 或，故 C错； D正确 . 故选 D. 考点：直线与直线平行的判断方法；直线与平面的判断方法 . 在 ABC中角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 ，且 a + b = 5， ，则 ABC的面积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 得， ， ，即 ， ，由余弦定理可得， ，由正弦定理得 . 故选 A. 考点：二倍角公式的应用；正、余弦定理的应用 . 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A 6 B 9 C 12 D 18 答案： C 试题分
4、析：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 4；底面三角形是斜边长为 6，高为 3的等腰直角三角形，此几何体的体积为. 故选 C. 考点：三视图与几何体的关系；几何体的体积的求法 . 一平面截球 O 得到半径为 cm的圆面，球心到这个平面的距离是 2cm，则球 O 的体积是 ( ) A 12 cm3 B 36 cm3 C cm3 D cm3 答案： B 试题分析：设球的半径为 ，则有 ，. 故选 B. 考点：球心到截面的距离；球的半径之间的关系 . 不等式 的解集为 ，则 ( ) A a =-8， b =-10 B a =-1， b = 9 C a =-4， b =-9 D a =-1，
5、 b = 2 答案： 试题分析： 不等式 的解集为 ， 为方程的两根，则根据根与系数关系可得， . 故选 C. 考点：一元二次不等式；根与系数关系 . 下列命题中正确的是（ ） A空间三点可以确定一个平面 B三角形一定是平面图形 C若 A、 B、 C、 D既在平面 内，又在平面 内，则平面 和平面 重合 D四条边都相等的四边形是平面图形 答案： B 试题分析：不在同一直线的三点确定一个平面，故 A错， B对；共线的四点可以构成无数个平面，故 C错； 正四面体的四个边都相等，但它不是平面图形，故 D错 . 故选 B. 考点：平面的基本性质 . 等差数列 an的公差 d 0，且 a2a4 = 12
6、， a2 + a4 = 8，则数列 an的通项公式是 ( ) A an = 2n-2 (n N*) B an = 2n + 4 (n N*) C an =-2n + 12 (n N*) D an =-2n + 10 (n N*) 答案： D 试题分析：由 ， ，即 ，解得或 ，若 ，则 ；若 ，则 . 公差 ，故 ， ， ，. 故选 D. 考点：一元二次方程；等差数列性质 . 若 a、 b、 c为实数，则下列命题正确的是 ( ) A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： B 试题分析： ，当 时， ，故 错 . ， ， ，即 ， B正确， C、 D错误 . 故选 B. 考点：不等
7、式的性质 . 填空题 如图， PA O 所在的平面， AB是 O 的直径， C是 O 上的一点， E、 F分别是点 A在 PB、 PC上的射影给出下列结论： AF PB； EF PB； AF BC； AE 平面 PBC 其中正确命题的序号是 答案： 试题分析： 所在的平面 ， , ,又 为圆 的直径， 是圆 上的一点， ,又 , 平面 , 平面 ， ，又 , 平面 ，又 平面 ， ,即 正确； 又 ，故 不与平面 垂直，即 错误； 又 ,同理可证 平面 , 平面 ， ,即 正确； 由 平面 , 平面 知， ,即 正确； 故答案：为 . 考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理 . 答案：
8、试题分析： ，故答案：为 . 考点：三角函数和与差公式 . 已知 ，则 x + y的最小值为 答案： 试题分析： ， ，由 ，可得，当且仅当 时等号成立，故 ，故答案：为 . 考点：对数的性质运算；均值不等式的应用 . 数列 an中， a1 = 3， ，则数列的通项公式 答案： 试题分析：由 ， 两边取对数得 ， 数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列，则有 ，即. 故答案：为 . 考点：数列通向公式的求解；等比数列的通向公式 . 已知圆锥的底面半径为 2cm，高为 1cm，则圆锥的侧面积是 cm2 答案： 试题分析：圆锥的底面周长为： ，母线长为：， .故答案：为 . 考点：圆锥侧面积的求
9、法 . 解答题 已知 ，求 的值 答案： 试题分析：由 根据和角公式展开可得 ，然后再将 中的 利用和角公式展开后化简可得 ，再将 利用二倍角公式转化为即可得到 ，从而得到结果 . 试题：由 得： 考点：三角函数和与差公式；三角函数二倍角公式 . 某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，游客可以乘长为 3km 的索道 AC 上山，也可以沿山路 BC 上山，山路 BC 中间有一个距离山脚 B为 1km的休息点D已知 ABC = 120， ADC = 150假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1.2km，请问：两位登山爱好者能否在 2个小时内徒步登上山峰 (即从 B点出发到达 C点 ) 答案：两位登山爱
10、好者能够在 2个小时内徒步登上山峰 试题分析：在 中，由正弦定理可得，求出 ,再在在 中，由余弦定理可求出 , 即可得出 ,也即得出结论 . 试题：由 得： ； 由正弦定理得： ， ； 在 中，由余弦定理得： ， 即 ， 解得： km， km； 由于 ， ； 因此两位登山爱好者能在 2个小时内徒步登上山峰 . 考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用 . 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形休闲区 A1B1C1D1和环公园人行道 (阴影部分 )组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4000m2，人行道的宽分别为 4m和 10m(如图所示 ) (1)若设休闲区
11、的长和宽的比 ，求公园 ABCD所占面积 S关于 x的函数式； (2)要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽应如何设计 答案： (1) (2) 要使公园所占面积最小，休闲区应设计为长 100米，宽 40米 试题分析： (1)设休闲区的宽为 米，则其长为 米，根据休闲区 的面积为 4000平方米， 将 用 表示，然后根据矩形的面积公式求出公园 所占面积 关于 的函数即可； （ 2）利用均值不等式求出最小值，利用等号成立的条件，从而求出长和宽 . 试题：（ 1）解：设休闲区的宽为 米，则其长为 米 . 由 ，得： ，则 即 . （ 2） 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ， ； 所以
12、要使公园所占面积最小，休闲区 应设计为长 100米，宽 40米 . 考点：函数式的求法；均值不等式的应用 . 已知各项都不相等的等差数列 an的前六项和为 60，且 a6为 a1和 a21 的等比中项 (1)求数列 an的通项公式 an及前 n项和 Sn； (2)若数列 bn满足 ， b1 = 3，求数列 的前 n项和 Tn 答案：（ 1） ， (2) 试题分析： (1)设等差数列 的公差为 ，由题意列方程组，可求得 和 ，进而根据等差数列的通向公式和求和公式分别求得 和前 项和 ； （ 2）根据（ 1）中的 和 ，根据 ，进而求得 ，再利用裂项法求的 的前项和 . 试题： (1)解：设数列
13、的公差是 ，则 ，即 为 和 的等比中项 ，即 由 解得： ， ， (2)解：由 (1)知： 累加，得： . 考点：等差数列的性质；通向公式的求法；裂项法的应用 . 已知 ABC是边长为 l的等边三角形， D、 E分别是 AB、 AC 边上的点，AD = AE， F是 BC 的中点， AF 与 DE交于点 G，将 ABF沿 AF 折起，得到三棱锥 A-BCF，其中 (1)证明： DE 平面 BCF； (2)证明： CF 平面 ABF； (3)当 时，求三棱锥 F-DEG的体积 V 答案：（ 1）证明见 （ 2）证明见 （ 3） 试题分析： (1)在等边三角形 中，由 ,可得 ,在折叠后的三棱锥
14、 中也成立，故有 ,再根据直线和平面平行的判定定理证的 平面 . （ 2）在等边 中， 是 的中点，所以 ，折叠后可证得,且 .在三棱锥 中，由 ，由勾股定理可得，从而 ,故可证得 平面 . （ 3）由（ 1）可知 ,再结合（ 2）可得 平面 .最后再由,运算可求得结果 . 试题： (1)证：在等边 中， ， 在折叠后的三棱锥 中也成立， 在平面 外， 在平面 内， 平面 . (2)证：在等边 中， 是 的中点，所以 ，折叠后， 在 中， ， ，因此 又 相交于 ， 平面 (3)解：由 (1)可知 ，结合 (2)可得： 平面 ， 当 时， . 考点：线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；等体
15、积法求体积 . 设等比数列 an的前 n项和为 Sn，已知 an + 1 = 2Sn + 2 (n N*) (1)求数列 an的通项公式； (2)在 an与 an + 1之间插入 n个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 dn的等差数列 在数列 dn中是否存在三项 dm， dk， dp (其中 m， k， p成等差数列 )成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由； 求证： 答案：（ 1） （ 2）不存在（证明见） （ 3）证明见 试题分析：（ 1）利用 和等比数列的定义即可得出； （ 2）利用等差数列的通向公式即可得出； 假设在数列 中存在三项 （其中 是等差数列）成等比数列，利用等差数列和等比数列的定义及其反证法即可 得出； 利用（ 2）的结论、 “错位相减法 ”和等比数列的前 和公式即可得出 . 试题： (1)解：由 ，得： 两式相减： 数列 是等比数列， ，故 因此 (2)解：由题意 ，即 ，故 假设在数列 中存在三项 （其中 是等差数列）成等比数列 则 ，即： (*) 成等差数列， (*)可以化为 ，故 ，这与题设矛盾 在数列 中不存在三项 （其中 是等差数列）成等比数列 . 令 则 两式相减得： . 考点：等差数列和等比数列的性质；错位相减法求和 .
