1、2013届四川宜宾高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A= ，集合满足 ，则集合有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：解： 集合 A=1， 2， 3，集合 B满足 A B=1， 2， 3， 集合 B是集合 A的子集， 集合 A有 3个元素， 集合 A有 23=8个子集故集合 B有 8个故选 D 考点：交集及其运算 点评：本题考查集合的并集及其运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 如图，轴截面为边长为 等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面 ，且 与底面所成二面角为 ，已知 与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则
2、此椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于轴截面为边长为 等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面 ，且 与底面所成二面角为 ，那么可知椭圆的长轴长为 8，那么短轴长为 ，那么结合椭圆的性质可知其离心率为 ，故选 C. 考点：椭圆的几何性质 点评：解决的关键是根据截面图形的特征来得到椭圆中 a,b的值，进而求解离心率，属于基础题。 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在田字形的 4个小方格内，一格涂一种颜色而且相邻两格涂不同的颜色，如颜色可以重复使用，则有且仅有两格涂相同颜色的概率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：解：若 2， 3颜色相同，根据计数
3、中的乘法原理，填涂 1有 4种方法，涂 2有 3种方法，涂 3有 1种方法，涂 4有 3种方法，共有 4313=36种方法；若 2， 3颜色不同，则涂 1有 4种方法，图 2有 3种方法，涂 3有两种方法，涂4有 2种方法，共 4322=48种方法所以总共有 36+48=84种方法 4种颜色均不同有 4321=24种涂法由于每种涂法出现的机会均等，所以有且仅有两格涂相同颜色的概率为 ，选 D. 考点：计数原理的运用 点评：本题的解答，要注意恰当分类，再由计数原理求得考查计算能力，分类讨论思想 设直线 的斜率为 2 且过抛物线 的焦点 F，又与 轴交于点 A，为坐标原点，若 的面积为 4，则抛物
4、线的方程为： A B C D 答案： D 试题分析：解：抛物线 y2=ax（ a0）的焦点 F坐标为 ( ， 0)，则直线 l的方程为 y=2(x- )，它与 y轴的交点为 A(0， - )，所以 OAF的面积为所以抛物线方程为 故选 D 考点：抛物线的标准方程 点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用 设 、 、 是同一平面的三个单位向量，且 , 则 的最小值为（ ） A -1 B -2 C 1- D 答案： C 试题分析：根据题意，由于 、 、 是同一平面的三个单位向量，则其模长为1，那么由于，那么借助于二次函数的性质可知，
5、最小值为 1- ，故选 C. 考点：向量的数量积 点评：解决的关键是利用向量的数量积的公示的 准确表示，并借助于函数来得到最值，属于基础题。 若 ，则 的值为 A B 1( C 2 D 答案： B 试题分析：根据题意，由于 ，则的值为当 x=1和 x=-1的二项式的各项系数和的之积，因此可知答案：为 ，故选 B. 考点：赋值法的运用 点评：对于 x进行合理的赋值是解题的关键，分别令 x=1,x=-1来得到，属于基础题。 下列命题中， m、 n表示两条不同的直线， 、 、 表 示三个不同的平面 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ，则 ； 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ， m ，则
6、 m . 则正确的命题是 A B C D 答案： C 试题分析：对于 若 m ， n ，则 m n；一定成立，正确 若 ， ，则 ；可能相交，比如墙角，错误。 若 m ， n ，则 m n；平行于同一平面的两直线可能有三种位置关系，故错误， 若 ， ， m ，则 m ，成立。故选 C. 考点：空间位置关系 点评：本题给出关于空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了空间线面、面面垂直的判定与性质，线面、面面平行的判定与性质等知识，属于基础题 如果执行如图所示的框图，输入 10, 则输出的数等于（ ） A 25 B 35 C 45 D 55 答案： D 试题分析：先根据循环条件和
7、循环体判定循环的次数，然后根据运行的后 s的值找出规律，从而得出所求由于起始量为 k=1,s=0,那么可知s=1,k=2;s=3,k=3;s=6,k=4;依次进行可知，当 k=10,则可知输出的 s的值为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.故选 D. 考点：循环结构 点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及等差数列的运用，属于基础题 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A cm3（ B cm3 C cm3 D cm3 答案： B 试题分析：结合题意可知该几何体是圆锥，底面是半径为 2的圆锥，
8、高位 4，那么可知该几何体的体积为 ,故选 B. 考点：三视图的运用 点评：解决的关键是理解三视图的原几何体的形状特征，进而得到其体积的求解，属于基础题。 若 是虚数单位，复数 的共轭复数是 : ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于 是虚数单位，复数 的共轭复数是实部不变，虚部变为相反数，故可知 ，故选 B. 考点：共轭复数 点评：解决的关键是对于复数的除法法则的运用，以及共轭复数的概念的理解，属于基础题。 填空题 设函数 的定义域为 D,若存在非零实数 使得对于任意 ,有 ,且 ,则称 为 M上的 高调函数 ,如果定义域为的函数 为 上的 高调函数 ,那么实数 的取值
9、范围是_. 答案： 试题分析：因为函数 f（ x） =x2 在 -1， 0上为减函数，在 0， +）上是增函数，若满足函数 f（ x） =x2为 -1， +）上 “n高调函数 ”，如果定义域为 -1， +）的函数 f（ x） =x2为 -1， +）上 k高调函数，只有 -1， 1上至少需要加 2，那么实数 k的取值范围是 2， +）， 考点：函数单调性 点评：此题属于新定义的题型，涉及的知识有：函数单调性的判断与证明，以及基本初等函数的性质，其中认真审题，弄清新定义的本质，找到判断的标 准是解本题的关键 已知平面直角坐标系 xoy上的区域由不等式组 给定，若为上的动点，的坐标为（ -1,1），
10、则 的取值范围是_. 答案： 试题分析：根据题意，由于不等式组 可知不等式表示的 平面区域，那么可知 为上的动点，的坐标为（ -1,1）则 ，则利用平移法可知当过点（ 1， 1）取得最小值，过点（ 0， 2）时，则可知取得最大值为 2，因此可知 的范围是 。 考点：线性规划 点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题 已知函数 ，则 _. 答案： 试题分析：由于函数 ，则可知 ，故可知 =1，故答案：为 1. 考点：导数的运算 点评：解决的关键是对于函数导数的求解运算，属于基础题。 若 、 是直线， 、 是平面， ，向
11、量 在 上，向量 在上， ， ，则 、 所成二面角中较小的一个余弦值为 . 答案： 试题分析：根据题意可知，由于 ，且有向量 在 上，向量 在上，如果 ， ，那么结合向量数量积公式可知，故答案：为 考点：二面角的大小 点评：解决的管家式利用平面法向量以及二面角的求解的方法可知结论，属于基础题。 如果 是周期为 2的奇函数，当 时， ，那么 答案： 试题分析：根据题意，由于 是周期为 2的奇函数，当 时，那么可知 ，故，故答案：为 考点：抽象函数 点评：解决的关键是利用周期性和奇偶性来得到变量的值，属于基础题。 解答题 已知函数 的图像上两相邻最高点的坐标分别为 . （ ）求 的值； （ ）在
12、ABC中， 分别是角 A,B,C 的对边，且 求 的取值范围 . 答案： (1) (2) 试题分析：解：（ ） 由题意知 . （ 4分） （ ） 即 又 , . （ 8分） （ 10分） （ 12分） 考点：三角函数的性质 点评：解决的关键是利用三角函数的性质以及解三角形中正弦定理的运用来得到，属于基础题。 在数列 中， 为常数， ，且 成公比不等于 1的等比数列 . （ ）求 的值； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 答案： (1) 或 (2) 试题分析：解 : （ ） 为常数， （ 2分） . 又 成等比数列， ，解得 或 （ 4分） 当 时， 不合题意，舍去 . . （ 5分） （ ）
13、由（ ）知， （ 6分） （ 9分） （ 12分） 考点：等比数列，数列求和 点评：解决的关键是利用等比数列的性质以及裂项法来求和，属于中档题。 如图 1，在 Rt 中， ， ， D、 E分别是上的点，且 ，将 沿 折起到 的位置，使，如图 2 （ ）求证：平面 平面 ； （ ）若 ，求 与平面 所成角的余弦值； （ ）当 点在何处时， 的长度最小，并求出最小值 答案： (1)根据面面垂直的判定定理，结合线面 平面 得到证明。 (2) (3) 试题分析：解：（ ）证明 :在 中， .又 平面 . 又 平面 ,又 平面 , 故平面 平面 4 分） （ ）由 (1)知 故以 D为原点 , 分别为
14、x,y,z轴建立直角坐标系 . 因为 CD=2, 则 （ 5分） ,设平面 的一个法向量为则 取法向量 ,则直线 BE与平面 所成角 , （ 8分） 故直线 BE与平面 所成角的余弦值为 . （ 9分） （ ）设 ,则 ,则 ,则当 时 最大为 . （ 12分） 考点：空间中的垂直和角的求解 点评：解决的关键是利用向量的方法结合法向量以及直线的方向向量来表示角和距离，属于基础题。 某市城调队就本地居民的月收入调查了 10000人 , 并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图 (每个分组包括左端点 , 不包括右端点 , 如第一组表示收入在, 单位： 元 ) （ ）求随机抽取一位居民，估计该居民月
15、收入在 的概率，并估计这 10000人的人均月收入； （ ）若将频率视为概率，从本地随机抽取 3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在 上居民人数 的数学期望 答案： (1) 29000 (2) 试题分析：解： （ ）依题意及频率分布直方图知，居民月收入在 上的概率为 0.00051000 0.5， （ 3分） 估计这 10000人的人均月收入为： 29000（元）； （ 6分） （ ）由（ ）知居民月收入在 的概率为 0.5, （ 7 分） 3个居民有 0个、 1个、 2个、 3个收入在此类的概率分别为 、 、 ， （ 9 分） 数学期望 （ 12 分） （注）也可用二次分布的数学期望 （
16、12 分） 考点：随机变量的分布列以及期望 点评：解决的关键是对于二项分布中概率的求解由于，属于基础题。 已知椭圆 的中心在坐标原点 O, 焦点在 x轴上 , 椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形 , 两准线间的距离为 4. ( )求椭圆的方程； ( )直线 过点 P(0, 2)且与椭圆相交于 A.、 B两点 ,当 AOB面积取得最大值时 , 求直线 的方程 . 答案：（ 1） （ 2）所求直线方程为 试题分析：解： ( ) 设椭圆方程为 （ 1 分） 由已知得 （ 3 分） . 所求椭圆方程为 . （ 4 分） ( )解法一 :由题意知直线 的斜率存在 , 设直线 的方程为 , （ 5
17、 分） 由 ，消去 得关于 的方程 : , （ 7 分） 由直线 与椭圆相交于 A、 B两点 , 解得 . （ 8 分） 又由韦达定理得 （ 9 分） 原点 O 到直线 的距离为 （ 10 分） （ 11 分） 对 两边平方整理得 : , 整理得 : , 又 , . 从而 的最大值为 , （ 12 分） 此时代入方程 (*)得 , 所以 , 所求直线方程为 . （ 13 分） 解法二 : 令 , 则 , （ 12 分） 当且仅当 即 时 , , 此时 , 所以 , 所求直线方程为 . （ 13 分） 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是对于直线与椭圆的位置关系的研究，采用联立方程组的
18、思想，结合韦达定理来得到，属于基础题。 已知函数 ，其中 为正常数 （ ）求函数 在 上的最大值； （ ）设数列 满足： ， ， （ 1）求数列 的通项公式 ； （ 2）证明：对任意的 ， ； （ ）证明： 答案：（ 1） （ 2） ，并运用数列的通项公式来结合函数的性质来得到证明。 （ 3）从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩 . 21. 试题分析：解：（ ）由 ，可得， （ 2 分） 所以， ， ， （ 3 分） 则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以， （ 4 分） （ ）（ 1）由 ，得 ，又 ， 则数列 为等比数列，且 ， （ 5 分） 故 为所求通项公式 （ 6
19、分） （ 2）即证，对任意的 ， （ 7分） 证法一：（从已有性质结论出发） 由（ ）知 （ 9 分） 即有 对于任意的 恒成立 （ 10 分） 证法二：（作差比较法） 由 及 （ 8分） （ 9 分） 即有 对于任意的 恒成立 （ 10 分） （ ）证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩） 由（ ）知，对于任意的 都有 ， 于是， （ 11 分）对于任意的 恒成立 特别地，令 ，即 ， （ 12 分） 有 ，故原不等式成立 （ 14 分） 以下证明小组讨论给分 证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩） 由柯西不等式： 其中等号当且仅当 时成立 令 ， ，可得 则 而由 ，所以 故 ，所证不等式成立 证法三：（应用均值不等式 “算术平均数 ” “几何平均数 ”） 由均值不等式： ，其中 可得 ， 两式相乘即得 ，以下同证法二 证法四：（逆向分析所证不等式的结构特征，寻找证明思路） 欲证 ， 注意到 ，而 从而所证不等式可以转化为证明 在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题 考点：数列的运用 点评：本试题考查了数列的通项公式和数列的最值的运用，属于基础题。
