1、2013届安徽省师大附中高三第七次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 ,则复数 在复平面内对应的点在（ ） . A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： A 试题分析：因为 ，所以复数 在复平面内对应的点在第一象限，选 A。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的几何意义。 点评：简单题，利用法则计算并化为代数形式，复数对应点的坐标是（实部，虚部）。 设函数 ， . 若当 时，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（ ） . A B C D 答案： A 试题分析： 。 设 ， 所以 g(x)是递增的奇函数。 由 f(msin)+f(1-m)2， f(msin)-
2、11-f(1-m)，即 g(msin) g(m-1) msin m-1， 1 m(1-sin)。 因为 01，而 m ， m 1.故选 A。 考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题解法。 点评：中档题，抽象不等式问题，武威要利用函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式。恒成立问题，往往要通过 “分离参数法 ”转化成求函数的最值问题。本题比较典型。 已知点 在抛物线 上，那么 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：点 P到抛物线焦点距离等于点 P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+
3、PQ，故最小值在 S， P， Q 三点共线时取得，此时 P， Q 的纵坐标都是 -1，故选 D。 考点：本题主要考查抛物线的定义。 点评：典型题，抛物线是到定点与到定直线距离相等的点的集合。 如果函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于原点对称，那么函数 的图象 （ ） . A关于点 对称 B关于直线 对称 C关于点 对称 D关于直线 对称 答案： B 试题分析：函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于原点对称，所以平移后函数为奇函数，即，所以，由 ，取，得 ，故函数 的图象关于直线 对称，选 B。 考点：本题主要考查三角函数图象和性质，诱导公式。 点评：基础题，涉及函数图象的变换，遵
4、循 “左加右减，上加下减 ”，奇函数的图象关于原点对称。 已知函数 的图象在点 处的切线 与直线平行，若数列 的前 项和为 ，则 的值为 （ ） . A B C D 答案： D 试题分析： f（ x） =x2+2bx， f（ x） =2x+2b， 函数 f（ x） =x2+2bx的图象在点 A（ 0， f（ 0）处的切线 L与直线 x-y+3=0平行， f（ 0） =2b=1，解得 b= ， f（ x） =x2+x， ， 数列 的前 n项和为 Sn=（ 1- ） +（ - ） + （ ） =1= = ，故选 D 考点：主要考查导数的几何意义， “裂项相消法 ”求和。 点评：小综合题，本题以函数
5、的切线为载体，主要考查导数的几何意义，两直线平行时的条件的应用， “裂项相消法 ”求和。难度不大。 已知下列命题： 命题 :“ ”的否定 为 :“ ”； 回归直线一定过样本中心（ ）； 若 ，则 . 其中正确命题的个数为 （ ） . A 1 B 2 C 3 D 0 答案： C 试题分析：存在性命题的否定是全称命题，所以 :“ ”的否定 为 :“ ”是真命题； 回归直线一定过样本中心（ ）正确； 因为 01， c0，所以 ， 正确，综上知选 C。 考点：本题主要考查命题的真假判断。 点评：小综合题，涉及命题真假的判断，往往综合性较强，需要综合运用所学知识。这类题在高考命题中常常以填空题、选择题形
6、式出现。涉及指数函数、对数函数比较大小问题，常常引入 “-1,0,1”为媒介。 从正四面体的 6条棱中随机选择 2条，则这 2条棱所在直线互相垂直的概率为 （ ） . A B C D 答案： D 试题分析：从正四面体的 6条棱中随机选择 2条，共有 种方法。其中相对棱互相垂直，共有 3种方法，所以这 2条棱所在直线互相垂直的概率为 ，故选 D。 考点：本题主要考查正四面体的几何特征，古典概型概率的计算。 点评：简单题，古典概型概率的计算问题与立体几何相结合，主要是要明确正四面体的几何特征，相对棱互相垂直。 设平面区域 D是由双曲线 的两条渐近线和直线 所围成三角形的边界及内部当 时， 的最大值
7、为（ ） . A 12 B 10 C 8 D 6 答案： C 试题分析： 的两条渐近线方程为 ，因此平面区域 D 如图所示，画出直线 2x+y=0，并平移，发现当直线经过点（ 2， 4）时， 的最大值为 8，故选 C。 考点：本题 主要考查简单线性规划问题，双曲线的几何性质。 点评：小综合题，从双曲线可确定其渐近线方程，从而可确定 “平面区域 ”，利用 “画、移、解、答 ”之步骤进一步求解。 “ ”是 “直线 与圆 相切 ”的 （ ） . A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 试题分析：研究直线与圆相切，有几何法，代数法两种。利用几何法，计算圆心到
8、直线的距离与半径是否相等。圆心到直线的距离为 。当 时， =，直线与圆相切；反之，直线与圆相切，则 = ， ，故 “ ”是“直线 与圆 相切 ”的充分不必要条件，选 A. 考点：本题主要考查充要条件的概念，直线与圆相切的判断。 点评：小综合题，涉及参与题解答问题，往往综合性较强，结合其它所学知识才能做出准确判断。 全集 ，则 （ ） . A B C D答案： B 试题分析：因为 ，所以 = ，故选 B。 考点：本题主要考查集合的运算，指数函数、对数函数的性质。 点评：小综合题，进行集合的运算，首先应明确集合中的元素特征，如本题集合 A， B是指数不等式、对数不等式的解集。 填空题 如果对于任意
9、一个三角形，只要它的三边长 都在函数 的 定义域内，则 也是某个三角形的三边长，则称函数 为 “保三角形函数 ”.现有下列五个函数： ； ； ； ； . 则其中是 “保三角形函数 ”的有 .（写出所有正确的序号） 答案： 试题分析：满足三角形的条件是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 因为 是单调函数，且是自变量 x的 2倍，所以当三边长 都在函数 的定义域内， 2a， 2b， 2c，也极值函数定义域内，且满足构成三角形的条件，所以 是； 中，当三边长 都在函数 的定义域内，而 虽在函数定义域内，由于函数为增函数，且增大幅度的不同，不一定满足构成三角形的条件，所以不是。 中取 分别为 3
10、， 4， 5，则函数值分别为 9,16,25，不能构成三角形，不是 f(x) 是保三角形函数 . 对任意一个三角形的三边长 a， b， c，则 a b c， b c a， c a b， f(a) ， f(b) ， f(c) . 因为 ( )2 a 2 b c 2 ()2，所以 . 同理可以证明：， . 所以 f(a)、 f(b)、 f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x) 是保三角形函数 . 在定义域内不 单调，很明显看出来，不是。综上知是 “保三角形函数 ”的有 。 考点：本题主要考查常见函数的图象和性质，构成三角形的条件，学习能力。 点评：难题，本题是新定义问题，作为填空题，可以通过举
11、反例排除，集合函数图象 “猜测 ”判断。作为该题，则为难题。 已知在 中， ，且 ，点 满足,则 等于 . 答案： 试题分析：因为在 中， ，且 ，点 满足，所以 M,N 是等腰直角三角形 ABC斜边 BC 的三等分点。, , =( ) ( )= =4. 考点：本题主要考查等腰直角三角形的几何特征，平面向量的线性运算、数量积。 点评：典型题，本题综合考查等腰直角三角形的几何特征，平面向量的线性运算、数量积。在运算中，往往需要将向量的运算，转化成向量模的运算。 下面的程序框图输出的结果为 . 答案： 试题分析：第一圈， s=2， i=1，是， s=-3， i=2; 第二圈，是， s= - ， i
12、=3; 第三圈，是， s= ， i=4; 第四圈，是， s=2， i=5; 可以看出，结果 s重复出现。由 知，须循环计算 2014次，才输出第 2013次计算的结果 s。而 2013=4503+1，所以输出结果为 -3. 考点：本题主要考查程序框图的功能识 别，数列的周期性。 点评：基础题，程序框图的功能识别，是近些年常考的题目，一般不难。往往和函数、数列、方程、概率、不等式等结合，以扩大知识覆盖面。 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .答案： 试题分析：该几何体是一底面为正方形的四棱锥，一条侧棱垂直于底面，所以结合三视图中的数据，其表面积为 1+2 = 。 考点：本题主要
13、考查三视图，几何体表面积计算。 点评：简单题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题。 若函数 与 轴交点恰为抛物线 焦点，则 答案： 试题分析：由 =0 得， x=1，即抛物线 焦点是（ 1， 0），而 即 ，所以 =1， 。 考点：本题主要考查对数函数的性质，抛物线的几何性质。 点评：小综合题，对数性质中 1的对数等于 0，底的对数等于 1.确定抛物线的焦点坐标，要注意将抛物线方程化为标准方程。 解答题 已知向量 ， ，设函数 . （ ）求函数 的最小正周期； （ ）在 中，若 的面积为 ，求实数 的值 . 答案：（ ） ；（
14、） 。 试题分析：（ ） ， 4分 6分 （ ）由 得， 又 为 的内角 9分 12分 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用。 点评：典型题，近些年来，将平面向量、三角函数、三角形问题等结合考查，已成较固定模式。研究三角函数问题时，往往要利用三角公式先行 “化一 ”。本题（ 2）确定角的范围易出错。 某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于 90分，满分为 150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组 、第二组 、第六组 . 下图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有 4人 . （ ）求第四和
15、第五组频率，并补全频率分布直方图； （ ）若不低于 120分的同学进入决赛，不低于 140分的同学为种子选手，完成下面 列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有 99的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关 ”. 合计 参加培训 5 8 未参加培训 合计 4 附： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 答案：（ ）设第四，五组的频率分别为 ， 从而得出直方图（如图所示） （ ）没有 99的把握认为 “进入决赛的同学成为种子选手与专家培
16、训有关 ”. 试题分析：（ ）设第四，五组的频率分别为 ，则 由 解得 ， 4分 从而得出直方图（如图所示） 6分 （ ）依题意，进入决赛人数为 ，进而填写列联表如下： 合计 参加培训 5 3 8 未参加培训 15 1 16 合计 20 4 24 9分 又由 ， 故没有 99的把握认为 “进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关 ”. 12分 考点：本题主要考查频率的概念及计算，频率分布表，频率分布直方图，假设检验。 点评：中档题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列等问题，是高考必考内容及题型。频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率 组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这
17、一组的频率，则组距等于频率除以高。假设检验问题则需 “套公式 ”，仔细计算。 设函数 ，已知数列 是公差为 2的等差数列，且 . （ ）求数列 的通项公式 ； （ ）当 时，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） .（ ） . 试题分析：（ ） ，且 ， ，即 ， 所以 . 6分 （ ）当 时， ， 则 ， 8分 两式相减得 ， 11分 所以 . 12分 考点：本题主要考查等比数列的的基础知识，对数函数的性质， “错位相消法 ”求和。 点评：中档题，本题综合考查、等比数列的基础知识，对数函数的性质，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。 “分组求和法 ”、 “错位相消法 ”、 “裂项
18、相消法 ”是高考常常考到数列求和方法。 如图，在矩形 中， ， 是 的中点，以 为折痕将向上折起，使 到 点位置，且 . （ ）若 是 的中点，求证： 面 ； （ ）求证：面 面 ； （ ）求三棱锥 的体积 . 答案：（ ）取 中点 ，连接 GF， GC， 由四边形 AECG为平行四边形， 在 中， GF/AP， 推出平面 APE/平面 FGC ； 又 所以， CF/面 APE. （ ）取 AE中点 O，连接 PO,得到 取 BC 的中点 H，连 OH， PH，得到 由 推出 , , 可得 所以， . （ ） . 试题分析：（ ）取 中点 ，连接 GF， GC， 四边形 AECG为平行四边形，
19、 在 中， GF/AP， 又 ， 所以平面 APE/平面 FGC 又 所以， CF/面 APE. 4分 （ ）取 AE中点 O，连接 PO,则 取 BC 的中点 H，连 OH， PH， 因为 所以 ,从而 , 又 BC 与 AE相交，可得 所以， . 9分 （ ） . 13分 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，体积的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离及体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用 向量则能简化证明过程。折叠问题，要注意折叠前后几何量的 “变
20、与不变 ”。本题（ 3）体积计算中运用了 “等体积法 ”，化难为易。 已知函数 . （ ）当 时，求函数 的单调区间和极值； （ ）若 在区间 上是单调递减函数，求实数 的取值范围 . 答案：（ ）单调递减区间是 ；单调递增区间是 .极小值是（ ） 的最小值为 的取值范围是 . 试题分析：（ ）函数 的定义域为（ 0， +） . 当 时， 2分 当 变化时， 的变化情况如下： - 0 + 极小值 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 . 极小值是 6分 （ ）由 ，得 8分 又函数 为 上的单调减函数 . 则 在 上恒成立， 所以不等式 在 上恒成立， 即 在 上恒成立 . 10分 设 ，显然
21、在 上为减函数， 所以 的最小值为 的取值范围是 . 12分 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及最值，恒成立问题解法。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到证明不等式。恒成立问题，往往要转化成函数最值求法。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。 已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切 （ ）求椭圆 的方程； （ ）若过点 的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足 （其中 为坐标原点），求整数 的最大值 答案：（ ） （ ） 的最大整数值为 1.
22、 试题分析：（ ）由题知 ， 所以 即 又因为 ，所以 ， 故椭圆 的方程为 5分 （ ）由题意知直线 的斜率存在 . 设 ： ， ， ， ， 由 得 . ， . ， 8分 ， ， ， . 点 在椭圆上， ， 12分 ， 的最大整数值为 1. 14分 考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，存在性问题研究。 点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（ III）通过假设 t，利用韦达定理进一步确定 t与 k的关系式，通过确定函数的值域，得到 t的范围。
