1、2013届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ， 为实数集，则 A B C D以上都不对 答案： B 试题分析：由题意可知， 因为 ，所以，所以 . 考点：本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题 . 点评：求解集合的运算，可以借助韦恩图或数轴辅助解决 . 已知函数 是以 为周期的偶函数，当 时， 若关于 的方程 （ ）在区间 内有四个不同的实根，则 的取值范围是 A B C D 答案： C 试题分析： 考点：本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题 . 点评： 袋中有大小相同的 个红球和 个白球，随机从袋中取 个球，取后不放回，那
2、么恰好在第 次取完红球的概率是 A B C D 答案： B 试题分析：恰好在第 次取完红球说明在前 4 次取球的过程中有三次取到红球，一次取到白球，当第一次取到白球，第二、三、四、五此都取到白球的概率为，当第二次取到红球，第一、三、四、五此都取到白球的概率为 ，同理可求第三次、第四次取到红球的概率，几种情况下的概率相加可得恰好在第 5次取完红球的概率为 . 考点：本题考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题 . 点评：解决概率问题关键是搞清楚属于哪种概率模型，一般要分情况讨论 . 已知一个棱长为 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
3、 A 8 B C D 答案： C 试题分析：根据三视图可知，该几何体是由一个正方体被平面截去一个三棱台得到的几何体，该三棱台的体积为 ，所以该几何体的体积为 考点：本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题 . 点评：解决与三视图有关的问题，首先要根据三视图正确还原几何体，需要学生有较强的空间想象能力 . 斜率为 的直线与双曲线 （ a0， b0）恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：双曲线 的渐近线方程为 ， 所以 考点：本题考查双曲线的性质，中等题 . 点评：考查直线与双曲线的位置关系时，要主要和渐近线联系考查，渐近线是双曲
4、线特有的性质，灵活应用可以简化运算 . 设函数 在定义域内可导， 的图象如下左图所示，则导函数的图象可能是答案： A 试题分析：函数在某个区间上单调递增，则该函数的导数在该区间上大于零；函数在某个区间上单调递减，则该函数的导数在该区间上小于零，依此可以判断导函数的图象应为 A. 考点：本题考查导数的概念与几何意义，中等题 . 点评：导函数的正负决定函数的增减，注意函数的单调性是一个区间概念，两个单调增区间或两个单调减区间之间用逗号隔开即可 . 在平面直角坐标系中，若不等式组 ( 为常数 )所表示的平面区域的面积等于 ，则 的值为 A -5 B 1 C 2 D 3 答案： D 试题分析：直线 过
5、点（ 0， 1），画出可行域可知可行域为一个三角形，该三角形的面积为 考点：本题考查二元一次不等式 (组 )表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题 . 点评：解决此类问题的关键是根据约束条件正确画出可行域 . 设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下列结论错误的是 A B C D 和 均为 的最大值 答案： C 试题分析：因为 是等差数列，所以 ， ，所以 B正确； ，所以 A正确， D也正确，而 C中，所以 C不正确 . 考点：本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题 . 点评：等差数列是一类比较特殊也比较重要的数列，要充分利用等差数列的性质解
6、决问题，可以简化运算 . 已知平面上不共线的四点 ，若 ，则 A 3 B 4 C 5 D 6 答案： A 试题分析： ,所以 3. 考点：本题考查向量的运算，容易题 . 点评：求解向量的运算时，要注意向量的加减法的平行四边形法则和三角形法则的灵活应用 . 复数 （ 为虚数单位）的虚部是 A B C D 答案： A 试题分析： ，所以虚部为 . 考点：本题考查复数的概念及运算，容易题 . 点评：复数是高考每年必考的题目，一般考查复数的运算，难度较低 . 填空题 函数 的图象为 ，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号） 图象 关于直线 对称； 图象 的所有对称中心都可以表示为 ； 函数 在
7、区间 内是增函数； 由 的图象向左平移 个单位长度可以得到图象 函数 在 上的最小值是 . 答案： 试题分析： 考点：本题考查三角函数的图象与性质，较难题 . 点评： 已知直线 （ 是实数）与圆 相交于 两点，且（ 是坐标原点）是直角三角形，则点 与点 之间距离的最小值是 . 答案： 试题分析： 考点：本题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题 . 点评： 已知 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 ，则展开式中常数项是 _ 答案： 试题分析： 的展开式的通项公式为： ，因为第三项与第五项的系数之比为，所以 解得 所以常数项为第 9项，所以展开式中的常数项为 考点：本题考查二项
8、式定理，考查运算能力，中等题 . 点评：解决二项式定理的题目，离不开二项式定理的展开式，要注意展开式中表示的是第 r+1项，而不是第 r项 . 已知总体的各个个体的值由小到大依次为 ， 且总体的中位数为 ，若要使该总体的标准差最小，则 答案： 试题分析：由中位数为 12可得 所以总体的平均数为，要使该总体的标准差最小，需要 最小，而 ，所以 时总体的标准差最小 . 考点：本题考查统计知识，二次函数求最值，容易题 . 点评：考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值此题是一道综合题要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题 运行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 .答
9、案： 试题分析：根据程序框图可知该程序执行的是 ，所以输出的值为 11. 考点：本题考查程序框图，容易题 . 点评：程序框图的题目离不开循环结构和条件结构，要仔细辨别循环条件，弄清楚循环次数，避免多执行或少执行一次 . 解答题 (本题满分 12分 ) 在 中， 分别是角 的对边， ，. （ ）求 的值； （ ）若 ，求边 的长 . 答案： 试题分析： 解：（ ） ， ， . ， ， . 6分 （ ） ， ；又由正弦定理 ，得，解得 ， ， ， ，即边 的长为 5. 12分 考点：本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题
10、 点评： (本题满分 12分 )一厂家向用户提供的一箱产品共 件，其中有 件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品 . （ ）求这箱产品被用户接收的概率； （ ）记抽检的产品件数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 答案： 试题分析： （ ）设 “这箱产品被用户接收 ”为事件 ，则 . 即这箱产品被用户接收的概率为 4分 （ ） 的可能取值为 1， 2， 3 5分 ， ， ， 8分 的概率分布列为： 1 2 3 10分 12分
11、 考点：本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题 . 点评： (本题满分 12分 )在如图的多面体中， 平面 ， , ， ， ， ， 是 的中点 ( ) 求证： 平面 ； ( ) 求证： ； ( ) 求二面角 的余弦值 . 答案： 试题分析： 解： ( )证明： ， ； 又 ， 是 的中点， ，且 ， 四边形 是平行四边形， . 平面 ， 平面 ， 平面 . 4分 ( ) 解法 1：证明： 平面 ， 平面 ， ；又， 平面 ， 平面 . 过 作 交于 ，则 平面 . 平面 ， . ， 四边形 平行四边形， ， ，又 ， 四边形 为正方形， ，又平面 ， 平面
12、 ， 平面 . 平面， . 8分 解法 2： 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 又 ， 两两垂直 . 以点 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . 由已知得， ， ， 相关试题 2013届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量检测理科数学试卷（带） （本题满分 12分）已知数列 满足 . （ ）证明数列 是等差数列； （ ）求数列 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 答案： 试题分析： 解：（ ）由已知可得 ，所以 ，即 ， 数列 是公差为 1的等差数列 . 4分 （ ）由（ ）可得 ， . . 7分 （ ）由（ ）知， ， 所以 ， ， 相减得 ， . . . .
13、. 12分 考点：本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题 . 点评： （本题满分 13分）已知椭圆 ： ( )过点 ，其左、右焦点分别为 ，且 . ( )求椭圆 的方程； ( )若 是直线 上的两个动点，且 ，则以 为直径的圆 是否过定点？请说明理由 答案： 试题分析： 解：（ ）设点 的坐标分别为 ，则 ， 故 ，可得 ， 2分 所以 ， ， 4分 ，所以椭圆 的方程为 6分 （ ）设 的坐标分别为 ，则 ， . 由 ， 可得 ，即 ， 8分 又圆 的圆心为 半径为 ，故圆 的方程为， 即 ，也就是 ，令 ， 可得 或 ，故
14、圆 必过定点 和 13分 考点：本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，较难题 . 点评： （本题满分 14分）设函数 ，且 为 的极值点 ( ) 若 为 的极大值点，求 的单调区间（用 表示）； ( ) 若 恰有两解，求实数 的取值范围 答案： 试题分析：解： ，又 ，则 ， 所以 且 ， 3分 （ ）因为 为 的极大值点，所以 . 令 ，得 或 ；令 ，得 . 所以 的递增区间为 ， ；递减区间为 6分 （ ） 若 ，则 在 上递减，在 上递增 . 若 恰有两解，则 ，即 ，所以 . 8分 若 ，则 ， . 因为 ，则 ， ，从而 只有一解； 10分 若 ，则 ， 从而 ， 则 只有一解 . 12分 综上，使 恰有两解的 的范围为 14分 考点：本题考查导数的应用，分类讨论思想，考查运算求解能力、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，较难题 . 点评：
