1、2013届山东省莱芜市莱芜二中高三 4月模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， , ,则集合 B= A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ,又， 所以 , . 考点：集合的运算 点评：本题考查了集合的运算，关键是能熟练的运用集合的交并集运算，判断出元素是否在集合中，属基础题 . 等差数列 前 项和为 ，已知 则（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 两式相加得 ，故所以 ，又两式相减，易得 ，故 ，选 B. 考点：等差数列 点评：本题多项式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题 . 已知 O为坐标原点，双曲线 的右焦点
2、F，以 OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、 B，若 ，则双曲线的离心率 为 2 B 3 D 答案： 试题分析：因为 ，即 ,所以, 又 ，所以 ，设 ，由 ， 所以 ，且 A在渐近线 上，所以 ，易求得圆的方程为将 代入得， ，所以 . 考点：双曲线的简单性质 点评：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属 于中档题 已知 R上可导函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以 或 ， 解得 ，或 .选 B. 考点：函数的图像 不等式解法 点评：本题主要考查了函数与不等式间的关系，简单分式不等式的解法，转化
3、化归的思想方法，属基础题 已知 A， B， C， D是函数 一个周期内的图象上的四个点，如图所示， B为 轴上的点， C为图像上的最低点， E为该函数图像的一个对称中心， B与 D关于点 E对称， 在 轴上的投影为，则 的值为 A B C D 答案： A 试题分析：依题意， ,所以 ，因为 ,所以 ，所以 ，选 A. 考点：三角函数的图像与性质 点评：本题考查三角函数的式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力 下列四个判断： ； 已知随机变量 X 服从正态分布 N（ 3， ）， P（ X6） =0 72，则 P（ X0）=0 28; 已知 的展开式的各项系数和为 32，则展
4、开式中 x项的系数为 20； 其中正确的个数有： A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： A 试题分析：对于 ， ，故不正确， 正确，对于 ，因为 的展开式的各项系数和为 32， 所以 ，故 .又 令 知 ，所以 项的系数为 ,故 C错，对于 ， ,故错 . 考点：命题的真假性判断与应用 点评：本题以命题的真假的判断为载体，着重考查了不等式，正态分布，二项式定理，定积分等知识 .属中档题 . 若直线 x-y 2被圆 (x-a)2 y2 4所截得的弦长为 2 ，则实数 a的值为 A -1或 B 1或 3 C -2或 6 D 0或 4 答案： D 试题分析：圆心 到直线 x-y 2的距离
5、，又 ，故. 考点：直线与圆相交的性质 点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，得到 ，这是解题的关键 右图给出了一个程序框图，其作用是输入 的值，输出相应的 值若要使输入的 值与输出的 值相等，则这样的 值有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析：当 时，令 ，则 或 ，当 时，令，则 ， 当 时，令 ，无解，故这样的 值总共有 0,1,4三个 . 考点：条件结构 点评：本题考查条件结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键 下列推理是归纳推理的是 A A， B为定点，动点 P满足 |PA| |PB| 2a |AB|，则 P点
6、的轨迹为椭圆 B由 a1 1， an 3n-1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前 n项和 Sn的表达式 C由圆 x2 y2 r2的面积 r2，猜想出椭圆 1的面积 S ab D科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案： B 试题分析： A选项用的双曲线定义进行推理，不是归纳推理， B项根据前 3项的值，猜想出 的表达式，属于归纳推理，符合要求， C项属于类比推理， D项式演绎推理 .故选 B. 考点：归纳推理 点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题 设向量 ， ，且 ，则 等于 A B C D 答案： D 试题分析：因为 ， 所以 ，所以 ，
7、故. 考点：向量的共线 点评：本题考查向量共线定理的坐标形式，只要熟悉公式，直接套公式就可以，属基础题 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A BC D 答案： B 试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，并且有一侧棱垂直底面，故体积为 . 考点：三视图体积 点评：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽 若复数 实部与虚部相等，则 的值等于 A -1 B 3 C -9 D 9 答案： A 试题分析： ,又因为的实部与虚部相等， 所以 ，故 . 考点：复数的运算 点评：本题考查了复数的概念及除法运算的方法，属基础
8、题 . 填空题 设点 ， ，如果直线 与线段 有一个公共点，那么的最小值为 答案： 试题分析： 直线 与线段 AB 有一个公共点， 点 A（ 1， 0）， B（ 2， 1）在直线 的两侧， （ a-1）（ 2a+b-1） 0， 即 a-10 ,2a+b-10 或 a-10 ,2a+b-10 ； 画出它们表示的平面区域，如图所示 表示原点到区域内的点的距离的平方， 由图可知，当原点 O到直线 2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值， ， 那么 的最小值为： 考点：简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义 点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基
9、础题准确把握点与直线的位置关系，找到图中的 “界 ”，是解决此类问题的关键 如图，已知边长 为 8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 米，米 . 为了合理利用这块钢板 ,将在五边形 内截取一个矩形块 ，使点 在边 上 . 则矩形 面积的最大值为 _ 平方米 . 答案： 试题分析：作 PQ AF于 Q，所以 PQ=8-y， EQ=x-4， 在 EDF中， ，所以 所以 ，定义域为 x|4x8 设矩形 BNPM的面积为 S，则 S（ x） = x y=x（ 10- ） =- （ x-10） +50 所以 S（ x）是关于 x的二次函数，且其开口向下，对称轴为 x=10 所以当 x 4， 8， S（
10、x）单调递增 所以当 x=8米时，矩形 BNPM面积取得最大值 48平方米 故答案：为： 48 考点：综合题；函数的性质及应用 点评：本题考查函数式的确定，考查配方法求函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题 指数函数 在 上的最大值与最小值的和为 6，则 . 答案： 试题分析：当 时， ， ，所以 ，所以 ， 当 时， ，无解 . 综上， . 考点：函数的最值 点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键 若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是 . 答案： 试题分析：令 ，易知 的最小值为 ，故 ，所以 . 考点：绝对值不等式的解法 点
11、评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到 |a-1|3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题 解答题 已知向量 记 . （ ）若 ，求 的值； （ ）在 ABC中，角 A、 B、 C的对边分别是 、 、 ，且满足，若 ，试判断 ABC的形状 . 答案：（ ） 1 （ ） ABC为等边三角形 试题分析： （ I）由已知 得 ，于是 ， （ ） 根据正弦定理知： 或 或 而 ， 所以 ，因此 ABC为等边三角形 . 考点：向量的数量积三角恒等变换正余弦定理 点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角
12、的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题 春节期间，某商场决定从 3种服装、 2种家电、 3种日用品中，选出 3种商品进行促销活动。 试求选出的 3种商品中至少有一种是家电的概率； 商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 100元，规定购买该商品的顾客有 3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为 元的奖金；若中 3次奖，则共获得数额为 元的奖金。假设顾客每次抽奖中获的概率都是 ，请问：商场将奖金数额 m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？ 答案： m最高定为 元，才能使促销方案对商场有利 . 试题分析： 设选
13、出的 3种商品中至少有一种是家电为事件 A，从 3种服装、 2种家电、 3种日用品中，选出 3种商品，一共有 种不同的选法 选出的 3种商品中，没有家电的选法有 种 所以，选出的 3种商品中至少有一种是家电的概率为 设顾客三 次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ，其所有可能的取值为 0， ， 。（单元：元） 5分 表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以 同理， 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 由 ，解得 所以故 m最高定为 元，才能使促销方案对商场有利 . 考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；相互独立事件 点评：本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概
14、率的方法，同时考查期望的求法属于中档题 已知平行四边形 ABCD中， AB=6， AD=10， BD=8， E是线段 AD的中点 沿 BD将 BCD翻折到 ，使得平面 平面 ABD （ ）求证： 平面 ABD； （ ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （ ）求二面角 的余弦值 答案：（ ）先证 （ ） （ ） 试题分析：（ ）平行四边形 ABCD中， AB=6， AD=10， BD=8， 沿直线 BD将 BCD翻折成 可知 CD=6， BC=BC=10， BD=8， 即 ， 故 平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ， 平面 （ ）由（ ）知 平面 ABD，且 ， 如图，以 D为原点，建立空
15、间直角坐标系 则 ， ， ， E是线段 AD的中点， ， 在平面 中， ， ， 设平面 法向量为 ， ，即 ， 令 ，得 ，故 设直线 与平面 所成角为 ，则 直线 与平面 所成角的正弦值为 （ ）由（ ）知平面 的法向量为 ， 而平面 的法向量为 ， ， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 点评：本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角，以及翻折问题，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键 已知数列 是等差数列， （ 1）判断数列 是否是等差数列，并说明理由； （ 2）如果 ，试写出
16、数列 的通项公式； （ 3）在（ 2）的条件下，若数列 得前 n项和为 ，问是否存在这样的实数，使 当且仅当 时取得最大值。若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 答案：（ 1）是等差数列 （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）设 的公差为 ，则 数列 是以 为公差的等差数列 （ 2） 两式相减： （ 3）因为当且仅当 时 最大 即 考点：数列与不等式的综合；数列递推式 点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属中档题 . 如图，椭圆 的离心率为 ， 轴被曲线截得的线段长等于 的短轴长。 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线与 相交于点 ，直线 分别与 相交于点 。
17、 （ 1）求 、 的方程； （ 2）求证： 。 （ 3）记 的面积分别为 ，若 ，求 的取值范围。 答案：（ 1） （ 2）用向量来证明 （ 3） 试题分析：（ 1） 又 ，得 （ 2）设直线 则 =0 （ 3）设直线 ，同理可得 同理可得 考点：圆锥曲线的综合 点评：本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好 已知函数 ，其中常数 （ 1）求 的单调区间； （ 2）如果函数 在公共定义域 D上，满足 ，那么就称 为 与 的 “和谐函数 ”设 ，求证：当时，在区间 上，函数 与 的 “和谐函数 ”有无穷多个 答
18、案：（ 1） , 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ,单调递增区间是 , ,单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 （ 2）作差构造新函数证明 . 试题分析：（ 1） ，常数 ） 令 ，则 ， 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 当 时， ，故 的单调递增区间是 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 （ 2）令 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，且 从而在区间 上， ，即 在 上单调递减 所以 又 ，所以 ，即 设 （ ，则 所以在区间 上，函数 与 的 “和谐函数 ”有无穷多个 考点：类比推理；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质 点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强
