1、2013届广东省六校高三 5月高考模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 满足 的复数 的共轭复数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于 故选 D 考点：复数的概念 点评：主要是考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念的运用，属于基础题。 某校共有学生 2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校 学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0 19现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370 答案： 试题分析：依题意我们知道二年级的女生有 380人，那么三年级的学生的人数应该
2、是，即总体中各个年级的人数比例为 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 答案： 考点：分层抽样 点评：主要是考查了分层抽样的求解，以及古典概型的概率，属于基础题。 设 ，定义 ，则 +2 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设终边过点 的角 （不妨设 ）则 ，其中 是终边过 的角（不妨设） 当 时，有 +2 故选 A 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的求解，属于基础题。 已知某四棱锥的三视图，如图。则此四棱锥的体积为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： B 试题分析：如图，四棱锥 故选 B 考点：四棱锥的体积 点评：主要是考查了四棱锥的体积的计算，
3、属于基础题。 已知直线 ，过 的直线 与分别交于 ，若 是线段 的中点，则 等于（ ） A 12 B C D 答案： B 试题分析：设 、 ，所以 、 所以 故选 B 考点：两点之间的距离 点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。 记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A 2 B 6 C 16 D 20 答案： D 试题分析：根据题意，由于等比数列 的前 项和为 ，若 ，故选 D 考点：等比数列 点评：本试题主要是考查了等比数列的求和的 运用，属于基础题。 若变量 满足 则 的最大值是（ ） A 90 B 80 C 50 D 40 答案： C 试题分析：画出可行域（如图
4、），在 点取最大值 答案： C 考点：线性规划的最优解 点评：主要是考查了线性规划的最优解的运用，属于基础题。 如图给出的是计算 的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于计算的为 的和，那么因为分母为 1， 3，5， 7， 9， ， 2013，所以应填入 故选 D 考点：程序框图 点评：主要是考查了程序框图的运用，属于基础题。 已知函数 的定义域为 ， 的定义域为，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 的定义域为 ， 的定义域为，则可知 ， 故选 C 考点：函数的定义域 点评：主要是考查了函数的定义域
5、的求解，属于基础题。 填空题 如图，在 中，斜边 ，直角边 ，如果以 为圆心的圆与 相切于 ，则 的半径长为 答案： 试题分析：连 则 ，在中， , 答案： 考点：圆内性质的运用 点评：主要是考查了圆内性质的由于，属于基础题。 曲线 （ 为参数）上一点 到点 与 的距离之和为 答案： 试题分析：曲线 表示的椭圆标准方程为 ，可知点 ，为椭圆的焦点，故 答案： 考点：参数方程 点评：主要是考查了参数方程于直角坐标方程的互化，属于基础题。 如图，等边 中， ，则 答案： 试题分析：根据题意，由于等边 中， ，则可知, 答案： 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的计算，属于基础题。
6、已知 ，若 是它一条对称轴，则 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，若 是它一条对称轴，则由已知得 ，由 代入得 ， 又 ，所以 答案： 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。 曲线 在点（ 1， ）处的切线方程为 ，则 （ 为常数） 答案： -1 试题分析：根据题意，由于曲线 在点（ 1， ）处的切线方程为 ，则可知 答案： 考点：导数的几何意义 点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，属于基础题。 若 则 的值为 . 答案： 试题分析：根据题意，由于 ，则可知答案： 考点：分段函数 点评：主要是考查了分段函数的式的运用，属于基础题。 解答题 已知函数 （
7、 1）求函数 的最小值和最小正周期； （ 2）设 的内角 的对边分别为 且 ， ，若，求 的值。 答案：（ 1） 的最小值是 ， 最小正周期是 （ 2） ， 试题分析：（ 1） ， 3分 则 的最小值是 ， 最小正周期是 ； 6分 （ 2） ，则 ， 7分 ,所以 ， 所以， ， 9分 因为 ，所以由正弦定理得 ， 10分 由余弦定理得 ，即 11分 由 解得： ， 12分 考点：正弦定理的运用 点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题。 PM2. 5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5日均
8、值在 35微克 /立方米以下空气质量为一 级；在 35微克 /立方米 75微克 /立方米之间空气质量为二级；在 75微克 /立方米以上空气质量为超标 某试点城市环保局从该市市区 2011年全年每天的 PM2.5监测数据中随机的抽取 15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （ 1）从这 15天的 PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率； （ 2）从这 15天的数据中任取三天数 据，记 表示抽到 PM2.5监测数据超标的天数，求 的分布列； （ 3）以这 15天的 PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360天计算）中平均有
9、多少天的空气质量达到一级或二级。 答案：（ 1） 45:91 （ 2） （ 3）一年中平均有 240天的空气质量达到一级或二级。 试题分析：（ 1）记 “从 15天的 PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级 ”为事件 ， 4分 （ 2）依据条件， 服从超几何分布：其中 ， 的可能值为 ，其分布列为： 7分 （ 3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 ，10分 一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则 ， 一年中平均有 240天的空气质量达到一级或二级。 12分 考点：分布列，古典概型 点评：主要是考查了古典概型的概率，以及分布列，属于基础题。 在如
10、图所示 的几何体中， 是边长为 2的正三角形， 平面 ABC，平面 平面 ABC， BD=CD，且 （ 1）若 AE=2，求证： AC 平面 BDE； （ 2）若二面角 A DE B为 60求 AE的长。 答案：（ 1）根据题意由于可以得到 ，又 平面 ， 平面 ，从而得到证明。 （ 2） 试题分析：（ 1）分别取 的中点 ,连接 ,则 , ,且 ， 因为 ， , 为 的中点， 所以 , ， 又因为平面 平面 ， 所以 平面 3分 又 平面 , 所以 ， 5分 所以 ，且 ,因此四边形 为平行四边形， 所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 7分 （或者建立空间直角坐标系，求出
11、平面 的法向量 ，计算 即证） （ 2）解法一 : 过 作 垂直 的延长线于 ,连接 . 因为 , , 所以 平面 , 平面 则有 . 所以平面 , 平面 , 所以 . 所以 为二面角的平面角， 即 . 10分 在 中， ，则 , . 在 中， . 设 ，则 ,所以 ，又 在 中 , ,即 = 相关试题 2013届广东省六校高三 5月高考模拟考试理科数学试卷（带） 数列 的前 n项和为 ， ， （ 1）设 ，证明：数列 是等比数列； （ 2）求数列的前 项和 ； （ 3）若 ， 求不超过 的最大整数的值。 答案：（ 1）根据题意，得到 递推关系，进而得到证明。 （ 2） （ 3）不超过 的最大
12、整数为 试题分析： (1) 因为， 所以 当 时， ，则 ， 1分 当 时， 2分 所以，即 ， 所以 ，而 ， 4分 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 5分 （ 2）由 (1)得 所以 ， ， 7分 - 得： ， 8分 . 10分 （ 3）由 (1)知 11分 ， 13分 所以 ， 故不超过 的最大整数为 14分 考点：数列的概念和求和的运用 点评：主要是考查了数列的概念，以及数列的求和的运用，属于中档题。 如图所示：已知过抛物线 的焦点 F的直线 与抛物线相交于 A， B两点。 （ 1）求证：以 AF为直径的圆与 x轴相切； （ 2）设抛物线 在 A， B两点处的切线的交点为
13、 M，若点 M的横坐标为 2，求ABM的外接圆方程； （ 3）设过抛物线 焦点 F的直线 与椭圆 的交点为 C、 D，是否存在直线 使得 ，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由。 答案：（ 1）根据题意只要证明 以线段 AF为直径的圆与 x轴相切 （ 2） （ 3） 。 试题分析：（ 1）解法一（几何法）设线段 AF中点为 ，过 作 垂直于 x轴，垂足为 ,则 ， 2分 又 ， 3分 以线段 AF为直径的圆与 x轴相切。 4分 解法二（代数法）设 ,线段 AF中点为 ，过 作 垂直于 x轴， 垂足为 ，则 ， 2分 又 点 为线段 AF的中点， ， 3分 ， 以线段 AF为直径的圆与
14、 x轴相切。 4分 （ 2）设直线 AB的方程为 ， ， 由 ， 5分 由 ， ， 6分 ，故 的外接圆圆心为线段 的中点。 设线段 AB中点为点 P，易证 P与抛物线的准线相切，切点为点 M ， 7分 8分 又 ， 9分 （ 3） ，设 ， 10分 则 ，设，则 11分 将 代入 可得： 12分 由 ， 联立 可得 ， 13分 联立 可得 ，解得 。 14分 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 已知函数 ， （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）当 时，函数 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）设正实数 满足 求证： 答案：（ 1）当 时
15、，只有单调递增区间； 当 时，单调递增区间为 ， ； 单调递减区间为 （ 2） （ 3）由（ 2）知， 在 恒成立，构造函数来求证不等式。 试题分析： 1） ， 1分 由 的判别式 ， 当 即 时， 恒成立，则 在 单调递增； 2分 当 时， 在 恒成立，则 在 单调递增； 3分 当 时，方程 的两正根为 则 在 单调递增， 单调递减，单调递增 综上，当 时，只有单调递增区间； 当 时，单调递增区间为 ， ； 单调递减区间为 5分 （ 2）即 时， 恒成立 当 时， 在 单调递增， 当 时， 满足条件 7分 当 时， 在 单调递减， 则 在 单调递减， 此时 不满足条件， 故实数 的取值范围为 9分 （ 3）由（ 2）知， 在 恒成立， 令 ，则 ， 10分 11分 又 ， ， 13分 14分 考点：导数的运用 点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，属于基础题。
