1、2013届广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “ ， ”的否定是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： C 试题分析：根据特称命题的否定形式可知命题 “ ， ”的否定为“ ， ”，答案：为 C 考点：全称命题与特称命题否定的转化 某校高三（ 1）班 50个学生选择选修模块课程，他们在 A、 B、 C三个模块中进行选择，且至少需要选择 1个模块，具体模块选择的情况如下表： 模块 模块选择的学生人数 模块 模块选择的学生人数 A 28 A与 B 11 B 26 A与 C 12 C 26 B与 C 13 则三个模块都选择的学生人数是（ ） A
2、7 B 6 C 5 D 4 答案： B 试题分析：设三个模块都选择的学生人数为 ，则各部分的人数如右图所示，则有，解得 . 考点：集合的 Venn图表示，集合元素的计算 已知 ， ，且 ，那么 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ， ，即，由基本不等式得 ，当且仅当 ，即当 时，上式取等号， ，由于， ， ， . 考点：对数的运算，基本不等式 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图所示若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 17的上、下两部分，则截 面的面积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设用平面截圆锥后所形成的小圆锥的体积为 ，截面的面积为
3、，半径为 ，原圆锥的体积为 ，底面半径为 ，则 ，且 ， ， . 考点：三视图、圆的面积 若函数 的一个对称中心是 ，则 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 6 D 9 答案： B 试题分析：当 时， ，即 ， ， ， 由于 ，当 时， 取最小值 . 考点：三角函数图象的对称性 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ） A 225 B 196 C 169 D 144 （注：框图中的赋值符号 “=”也可以写成 “ ”或 “ ”） 答案： B 试题分析：第一次循环， ， ；第二次循环，, ，第三次循环， ，； ；第十三次循环， ， ，不满足判断条件，继续执行下一次循环；第十四次循环， ， ，满
4、足判断条件，跳出循环体，故输出的答案：为 . 考点：算法与程序框图，数列求和 若 （ 是虚数单位）是关于 的方程 （ ）的一个解，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：将 代入方程得 ，即 ，化为复数的一般形式得 ，根据复数相等得 ，解得， 。 考点：方程的根与方程的关系，复数相等的概念 若直线 与圆 相交于 、 两点，则 的值为（ ） A B C D与 有关的数值 答案： 试题分析：对于直线 ，令 ，可得 ， ，故直线过定点 ，而此定点 恰为圆 圆心，故 为圆的一条直径， . 考点：直线过定点，直线与圆相交所形成的弦长的计算 对于任意向量 、 、 ，下列命题中正确的是 （ ） A
5、B C D 答案： D 试题分析：取 ， ， ，则 ， ，对于 A选项，左边 ，右边 ，左边 右边；对于 B选项， ，左边 ，右边，左边 右边；对于 C选项，左边 ， ，右边，左边 右边；对于 D选项，成立 . 考点：平面向量的运算，平面向量的数量积 如果函数 的定义域为 ，则实数 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 的自变量满足 ，解得 ，即函数的定义域为 ，故有 ，解得 . 考点：对数函数的定义域的求解，不等式解集的端点值与方程之间的关系 填空题 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点 ，点 是曲线上任一点，设点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 答案： 试
6、题分析：将点 的坐标化为直角坐标为 ，将曲线 的方程化为直角坐标方程为 ，直线 的直角坐标 方程为 ，即 ，此直线为曲线 的准线，抛物线 的焦点 ，根据抛物线的定义知， ， 故当 、 、 三点共线时， 取最小值，最小值为. 考点：极坐标与直角坐标的转化，抛物线的定义 在 中， 是边 的中点，点 在线段 上，且满足 ，延长 交于点 ，则 的值为 答案： 试题分析：如右图所示，过点 作 交 于点 ， ，即 ， ， ， ， 得， ， 为 的中点， ，即 ，即 ，解得 ， ， ， . 考点：平行线分线段成比例定理 数列 的项是由 1或 2构成，且首项为 1，在第 个 1和第 个 1之间有 个 2，即数
7、列 为： 1， 2， 1， 2， 2， 2， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 1， ，记数列 的前项和为 ，则 ； 答案： ； 试题分析：前 20个数中，有 4个 1， 16个 2， ；将数列 1， 2， 1，2， 2， 2， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 1， ，进行适当地加括号（ 1， 2），（ 1， 2， 2， 2，），（ 1， 2， 2， 2， 2， 2，），（ 1， ， 2）， ，即从第 个 1到第 个 1前的所有数用一个括号包围起来，则第 个括号里面有 1个 1， 个 2，第 个括号中共 个数，则加括号后第 个括号中最后一个数对应原数列的序数，设原数列第 2013个数处于
8、加括号后的第 个括号中，则有 ，由于 ，解得 ，即前 2013个数中共有 45个 1,1968个 2， . 考点：推理与证明，数列求和 已知 为锐角，且 ，则 答案： 试题分析： 为锐角， ， ， ， ， . 考点：同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数 如图，一个等腰直角三角形的直角边长为 2，分别以三个顶点为圆心， 1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域 （图中白色部分）若在此三角形内随机取一点 ，则点 落在区域 内的概率为 答案： 试题分析：每个小扇形的半径均为 ，三个扇形的面积和为， 等腰直角三角形的面积 ，故区域 的面积 ，因此点落在区域 内的概率为 . 考点：几何概
9、型概率的计算 解答题 某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的 300名学生中以班为单 位（每班学生 50人），每班按随机抽样抽取了 8名学生的视力数据其中高三（ 1）班抽取的 8名学生的视力数据与人数见下表： 视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 （ 1）用上述样本数据估计高三（ 1）班学生视力的平均值； （ 2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为 、 、 、 、 若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值
10、不小于 的概率 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将样本数据取出来，分别记为 ，然后利用样本平均数计算公式 即可计算样本数据的平均数；（ 2）先将样本视力的平均数对用列举法表示出来，然后在选取符合条件的视力的平均数，最后利用古典概型的概率计算公式即可计算。 试题：（ 1）高三文科（ 1）班抽取的 8名学生视力的平均值为 据此估计高三文科（ 1）班学生视力的平均值约为 3分 （ 2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为 、 、 、 、 、 ， 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 15种情形 7分 其中抽取的两
11、个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 的有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10种 10分 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 的概率为 12分 考点：样本的平均数计算，古典概型的概率计算 某单位有 、 、 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点 ，使得发射点到三个工作点的距离相等已知这三个工作点之间的距离分别为 ， 假定 、 、 、 四点在同一平面上 （ 1）求 的大小； （ 2）求点 到直线 的距离 答案：（ 1） ；（ 2） m 试题分析：（ 1）先确定 的 三条边长，然后利用余弦定理求 的大小；（ 2）方法 1：先利用点 到三点 、 、 的距离相等将点 视为
12、 外接圆的圆心，利用正弦定理先算出 外接圆的半径，然后再构造直角三角形借助勾股定理计算点 到直线 的距离；方法 2：先利用点 到三点 、 、 的距离相等将点视为 外接圆的圆心，直接利用锐角三角函数计算点 到直线 的距离 . 试题：方法 1：因为发射点 到 、 、 三个工作点的距离相等， 所以点 为 外接圆的圆心 5分 设外接圆的半径为 ， 在 中，由正弦定理得 ， 7分 因为 ，由（ 1）知 ，所以 所以 ，即 8分 过点 作边 的垂线，垂足为 ， 9分 在 中， ， ， 所以 11分 所以点 到直线 的距离为 12分 方法 2：因为发射点 到 、 、 三个工作点的距离相等， 所以点 为 外接
13、圆的圆心 5分 连结 ， ， 过点 作边 的垂线，垂足为 ， 6分 由（ 1）知 ，所以 所以 9分 在 中， ， 所以 相关试题 2013届广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试卷（带） 如图， 在三棱锥 中， （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）若 ， ，当三棱锥 的体积最大时，求 的长 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用已知条件先证明 平面 ，然后再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 平面 ；（ 2）方法 1：利用（ 1）中的提示信息说明平面 ，将 视为三棱锥 的高，设 ，将底面积用 表示出来，最后将三棱锥 用以 的代数式进行表示，并结合基本不 等式
14、求最大值；方法 2：由于为直角三角形，将的面积用以 为自变量的三角函数表示，最终将三棱锥 的体积用三角函数进行表示，最后利用三角函数的相关方法求体积的最大值 . 试题：（ 1）证明：因为 ，所以 ， 1分 因为 ，所以 平面 2分 因为 平面 ，所以 3分 因为 ，所以 4分 因为 ，所以 平面 5分 因为 平面 ，所以平面 平面 6分 （ 2）方法 1：由已知及（ 1）所证可知， 平面 ， ， 所以 是三棱锥 的高 7分 因为 ， ，设 ， 8分 所以 9分 因为 10分 11分 12分 当且仅当 ，即 时等号成立 13分 所以当三棱锥 的体积最大时， 14分 方法 2：由已知及（ 1）所证
15、可知， 平面 相关试题 2013届广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试卷（带） 在等差数列 中， ， ，记数列 的前 项和为 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）是否存在正整数 、 ，且 ，使得 、 、 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）存在，且 ， . 试题分析：（ 1）将等差数列中的相应式子转化为首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式 即可求出等差数列的通项公式；（ 2）先将数列 的通项公式结构选择裂项求和法求数列的前 项和 ，然后根据条件列式，利用正整数的一些相关性质列不等式
16、求出 、 的值 . 试题：（ 1）设等差数列 的公差为 ， 因为 即 2分 解得 3分 所以 所以数列 的通项公式为 4分 （ 2）因为 ， 5分 所以数列 的前 项和 7分 假设存在正整数 、 ，且 ，使得 、 、 成等比数列， 则 8分 即 9分 所以 因为 ，所以 即 因为 ，所以 因为 ，所以 12分 此时 13分 所以存在满足题意的正整数 、 ，且只有一组解，即 ， 14分 考 点：等差数列的通项公式，裂项求和法，数列的存在性问题 . 已知函数 （ 1）若 在定义域上为增函数，求实数 的取值范围； （ 2）求函数 在区间 上的最小值 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）
17、将函数 在定义域上为增函数转化为不等式 在定义域上恒成立的问题去处理，并借助参数分离法求参数的取值范围；（ 2）对 的范围进行分类讨论，确定函数 在 上的单调性，进而确定函数 在 上的最小值。 试题：（ 1）因为函数 ， 所以函数 的定义域为 1分 且 2分 若 在定义域上是增函数， 则 在 上恒成立 3分 即 在 上恒成立，所以 4分 由已知 ， 所以实数 的取值范围为 5分 （ 2） 若 ，由（ 1） 知，函数 在区间 上为增函数 所以函数 在区间 上的最小值为 6分 若 ，由于 ， 所以函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数 7分 （ ）若 ，即 时， ， 函数 在区间 上为增函数
18、， 所以函数 在 的最小值为 9分 （ ）若 ，即 时， 函数 在区间 为减函数，在 上为增函数， 所以函数 在区间 上的最小值为 11分 （ ）若 ，即 时， ， 函数 在区间 上为减函数， 所以函数 在 的最小值为 13分 综上所述，当 相关试题 2013届广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试卷（带） 经过点 且与直线 相切的动圆的圆心轨迹为 点 、 在轨迹 上，且关于 轴对称，过线段 （两端点除外）上的任意一点作直线 ，使直线 与轨迹 在点 处的切线平行，设直线 与轨迹 交于点 、 （ 1）求轨迹 的方程； （ 2）证明： ； （ 3）若点 到直线 的距离等于 ，且 的面积
19、为 20，求直线 的方程 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）方法 1是利用直接法，设动点坐标为 ，根据题中条件列式并化简进而求出动点 的轨迹方程；方法 2是将问题转化为圆心 到定点的距离等于点 到定直线的距离 ，利用抛物线的定义写出轨迹 的方程；（ 2）由于 轴，利用直线 与直线 的斜率互为相反数证明 ；（ 3）方法 1是先将的方程与抛物线的方程联立求出点 的坐标，并根据一些几何性质求出 、，并将的面积用点 的坐标表示以便于求出点 的坐标，结合点 的坐标求出直线 的方程；方法 2是利用（ 2）中的条件与结论，利用直线 确定点 和点 坐 标之间的关系，借助弦长公式求
20、出 、 ，并将的面积用点 的坐标表示以便于求出点 的坐标，结合点 的坐标求出直线 的方程 . 试题：（ 1）方法 1：设动圆圆心为 ，依题意得， 1分 整理，得 所以轨迹 的方程为 2分 方法 2：设动圆圆心为 ，依题意得点 到定点 的距离和点 到定直线的距离相等， 根据抛物 线的定义可知，动点 的轨迹是抛物线 1分 且其中定点 为焦点，定直线 为准线 所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 2分 （ 2）由（ 1）得 ，即 ，则 设点 ，由导数的几何意义知，直线 的斜率为 3分 由题意知点 设点 ， ， 则 ， 即 4分 因为 ， 5分 由于 ，即 6分 所以 7分 （ 3）方法 1：由点 到 的距离等于 ，可知 相关试题 2013届广东省广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试卷（带）
