1、2013届广东省惠州市高三 4月模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 = ； ，故选 . 考点：本题考查了方程与交集的运算 点评：熟练掌握方程的解法及交集的运算是解决此类问题的关键，属基础题 设 为曲线 ： 上的点，且曲线 在点 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：设 ，倾斜角为 ， ， ,， ， ，故选 考点：本题考查了导数的几何意义 点评： 在 处导数 即为 所表示曲线在 处切线的斜率 ,即 ,则切线方程为 : . 已知函数 的零点为 ， 则 所在区间
2、为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 .故选 . 考点：本题考查了零点存在性定理的运用 点评：熟练掌握零点存在性定理是解决此类问题的关键，属基础题 设随机变量 服从正态分 布 ，若 ，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 服从正态分布 ， ，故选 考点：本题考查了正态分布的性质 点评：熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属基础题 已知向量 ， ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：向量 ， ， ，因为 ， 故选 考点：本题考查了向量的坐标运算 点评：熟练掌握向量的坐标运算及向量共线的充要条件是解决此类问题的关键，属基础题 如图是某简单组
3、合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底面半径为 ，椎体底面边长为 ，高为 故选 考点：本题考查了三视图的运用 点评：由三视图还原空间几何体以及掌握空间几何体的体积和表面积公式是解决此类问题的关键 设抛物线的顶点在原点 ,准线方程为 则抛物线的方程是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：抛物线的准线方程为 , 抛物线的开口向右 .设抛物线的标准方程为 y 则其准线方程为 解得 抛物线的标准方程为 y .故选 . 考点：本题考查了抛物线的准线方程的求法 点评：熟练掌握抛物线方程及
4、其性质是解决此类问题的关键，属基础题 已知复数 (为虚数单位） ，则复数 在复平面上所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 试题分析：因为 ,所以 对应的点在复平面的第二象限 . 故选 考点：本题考查了复数的运算及几何意义 点评：熟练掌握复数的四则运算及几何意义是解决此类问题的关键，属基础题 填空题 (几何证明选讲选做题 ) 如图圆 的直径 , 是 的延长线上一点 ,过点 作圆 的切线 ,切点为 ,连接 ,若 ,则 . 答案： 试题分析：连接 ，设 ，则 ，三角形 中，所以 ，所以 ，而，故 考点：本题考查了切割弦定理 点评：正解理解三角形中的边角关系
5、及圆的切割线定理是解决此类问题的关键，属基础题 （坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为 ，曲线 ： 上的点到直线的距离为 ，则 的最大值为 . 答案： 试题分析：直线的直角坐标方程为 ，曲线 C的方程为 ，为圆； 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为考点：本题考查了极坐标与参数方程的互化 点评：到圆上一点距离的最值问题总是转化为到圆心距离的最值问题，设圆外一点 P，则 P到圆心为 O、半径为 r上动点的距离为 d，有设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 . 答案： -4 试题分析：做出不等式对应的可行域如图， 由 得 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大
6、，而此时 最小为 . 考点：本题考查了线性规划的运用 点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 已知集合 =直线 ， =平面 ， 若，给出下列四个命题： 其中所有正确命题的序号是 . 答案： 试题分析：由题意知： 可以是直线，也可以是平面，当 表示平面时， 都不对，故选 正确 . 考点：本题考查了线面关系及类比推理的运用 点评：熟练掌握平面与空间中的线面关系是解决此类问题的关键，属基础题 执行如图的程序框图，那么输出 的值是 . 答案： 试题分析：由框图可知： ，周期为 , ，故输出 的值是 . 考点：本题考查了
7、程序框图的运用 点评：解题的关键是读懂框图，看出框图的功能是把所给的数排序，本题是一个基础题 展开式中，常数项是 . 答案： 试题分析： ，故 时， 考点：本题考查了二项式展开式的运用 点评：熟练掌握二项式的展开式是解决此类问 题的关键，属基础题 在等差数列 中，有 ，则此数列的前 13项之和为 . 答案： 试题分析：等差数列 中，有 ， ，故此数列的前 13项之和为 . 考点：本题考查了等差数列的性质及求和 点评：熟练掌握等差数列的性质及前 n项和是解决此类问题的关键，属基础题 解答题 已知 ，（ ，其中 ）的周期为 ，且图像上一个最低点为 （ 1）求 的式； （ 2）当 时，求 的值域 答
8、案：（ 1） （ 2） 。 试题分析：（ 1）由 的周期为 ，知 ，则有； 1分 所以 因为函数图像有一个最低点 ， ， 所以 且 ， 3分 则有 4分 解得 ， 因为 ，所以 6分 所以 7分 （ 2）当 时， ， 8分 则有 ，所以 11分 即 的值域为 。 12分 考点：本题考查了三角函数的式及值域的求法 点评：确定函数 的式就是确定其中的参数 等，从图像的特征上寻找答案：，它的一般步骤是 : 主要由最值确定， 是由周期确定，周期通过特殊点观察求得， 可由点在函数图像上求得，确定 值时，注意它的不唯一性，一般要求 中最小的 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科
9、目。已知某班第一小组与第二小组各 有六位同学选择科目甲或科 目乙，情况如下表： 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小 组中各任选 2人分析选课情况 . （ 1）求选出的 4 人均选科目乙的概率； （ 2）设 为选出的 4个人中选科目甲的人数，求 的分布列和数学期望 答案：（ 1） （ 2） 的分布列为 的数学期望 试题分析：（ 1）设 “从第一小组选出的 2人选科目乙 ”为事件 ， “从第二小组选出的 2人选科目乙 ”为事件 .由于事 件 、 相互独立， 且 , . 4分 所以选出的 4人均选科目乙的概率为 6分 （ 2）设
10、 可能的取值为 0,1,2,3.得 , , ， 9 分 的分布列为 的数学期望 12分 考点：本题考查了随机变量的概率、分布列与期望 点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键 如图 , 中 ,侧棱与底面垂直 , , ,点分别为 和 的中点 . （ 1）证明 : ; （ 2）求二面角 的正弦值 . 答案：（ 1）利用线线平行证明线面平行；（ 2）利用定义法或向量法求二面角 试题分析： (1)证法一 : 连接 1分 由题意知 ,点 分别为 和 的中点 , . 3分 又 平面 , 平面
11、 , 5分 平面 . 6分 证法二 :取 中点 ,连 ,而 分别为 与 的中点 , , 2分 , , , 同理可证 4分 又 平面 /平面 . 5分 平面 ， 平面 . 6分 证法三 (向量法 ):以点 为坐标原点 ,分别以直线 为 轴 , 轴 , 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示 . 于是 , , 向量 是 平面 的一个法向量 2分 ， 4分 又 5分 平面 . 6分 (2)解法一 : 以点 为坐标原点 ,分别以直线 为 轴 , 轴 , 轴建立空间直角坐标系 ,如图所示 . 于是 相关试题 2013届广东省惠州市高三 4月模拟考试理科数学试卷（带） 已知中心在原点 ，焦点在 x轴上，离心率为
12、 的椭圆过点（ ，） （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设不过原点 的直线与该椭圆交于 、 两点，满足直线 ， ，的斜率依次成等比数列，求 面积的取值范围 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由题意可设椭圆方程为 ， 1 分 则 ， 3 分 , 解的 ， 5 分 所以，椭圆方程为 6分 （ 2）由题意可知，直线的斜率存在且不为 0， 故可设直线的方程为 ， ， 7分 由 消去 得 ， 8分 则 ， 且 ， 9分 故 因为直线 ， ， 的斜率依次成等比数列， 所以， ，即 ， 10分 又 ，所以 ，即 11分 由于直线 ， 的斜率存在，且 0，得 且 设 为点 到直线的距离，则 ， 12分
13、 所以 的取值范围为 14分 考点：本题考查了椭圆的方程的求法及直线与椭圆的位置关系 点评：椭圆的概念和性质，仍将是今后命题的热点，定值、最值、范围问题将有所加强；利用直线、弦长、圆锥曲线三者的关系组成的各类试题是几何中长盛不衰的主题，其中求解与相交弦有关的综合题仍是今后命题的重点；与其它知识的交汇 (如向量、不等式 )命题将是今后高考命题的一 个新的重点、热点 . 已知函数 （ 为常数， ），且数列 是首项为 ，公差为 的等差数列 . (1) 若 ，当 时，求数列 的前 项和 ； （ 2）设 ，如果 中的每一项恒小于它后面的项，求 的取值范围 . 答案： (1) (2) 试题分析： (1)
14、由题意 ，即 ， 1分 . 2 分 ， 当 时， . 3分 ， 4分 - ，得 6分 7分 (2)由 (1)知， ，要使 对一切 成立， 即 对一切 成立 . 8 分 ，对一切 恒成立， 只需 ， 10分 单调递增， 当 时， . 12分 ，且 ， . 13分 综上所述，存在实数 满足条件 . 14分 考点：本题考查了数列的求和及不等式的证明 点评：数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势 已知函数 在 处的切线方程为 . (1)求函数 的式； (2)若关于 的方程 恰有两
15、个不同的实根，求实数 的值 ； (3)数列 满足 ， ，求的整数部分 . 答案： (1) (2) 或 (3) 的整数部分为 l4 分 试题分析： (1) ， 1分 依题设，有 ，即 ， 2分 解得 3分 4分 (2)方程 ，即 ，得 ， 5 分 记 ， 则 . 6 分 令 ，得 7 分 当 变化时， 、 的变化情况如下表： 当 时， F(x)取极小值 ；当 时， F(x)取极大值 8 分 作出直线 和函数 的大致图象，可知当 或 时， 它们有两个不同的交点，因此方程 恰有两个不同的实根， 9分 (3) ,得 ，又 。 ， 10分 由 ，得 ， 11分 ，即 12分 又 13分 即 ，故 的整数部分为 l4 分 考点：本题考查了导数的运用 点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用
