1、2013届广东省揭阳一中高三第三次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在复平面内，复数 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D； 试题分析：因为， = ，所以，对应的点位于第四象限，选 D。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的几何意义。 点评：简单题，复数 a+bi(a,b为实数 )对应的点为（ a,b） 。 设 ，点 为 所表示的平面区域内任意一点， ，为坐标原点， 为 的最小值，则 的最大值为 A B C D 答案： A 试题分析：由题意， f（ x） =（ 0， -5） （ x， y） =-5y，当 y 取最大值时， f（ x）取最小值
2、f（ m）， 所表示的平面区域如图所示 由 ，可得 y= ，所以 f(m)=-5 =-5(1- )=-5+ ， 由于 m2，所以当 m=2时， f(m)max= ，故选 A 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，数量积，简单线性规划。 点评：中档题，本题具有一定综合性，较之于一般的简单线性规划问题略为复杂，主要是平面区域的 “不确定性 ”。 抛物线 的焦点为 F，点 为该抛物线上的动点，又点则 的最小值是 A B C D 答案： B ； 试题分析：如图，自点 P向抛物线的准线作垂线，垂足为 B，由抛物线的定义可知， 即为 ， ，由正弦函数的单调性及点 P在抛物线上移动的情况，可知，当 时， 取
3、到最小值 ，选 B。 考点：本题主要考查抛物线的定义、几何性质，正弦函数的单调性。 点评：简单题，利用数形结合思想，将比值转化成求角的正弦，利用正弦函数的单调性即得。 男女生共 8人，从中任选 3人，出现 2个男生， 1个女生的概率为 ，则其中女生人数是 A 2人 B 3人 C 4人 D 2人或 3人 答案： D ； 试题分析： 男女生共 8人，从中任选 3人，总的方法数是 ，而出现 2个男生， 1个女生的概率为 ，所以，男女生共 8人，从中任选 3人，出现 2个男生， 1个女生的方法数是 30，设女生有 x人，则，所以，女生有2人或 3人。 考点：本题主要考查简单的组合应用问题，古典概型概率
4、的计算。 点评：简单题，利用组合数公式，建立 x的方程，解方程时运用了 “分解因数法 ”。 已知实数列 -1,x,y,z,-2成等比数列 ,则 xyz等于 A -4 B C D 答案： C ； 试题分析：因为，实数列 -1,x,y,z,-2成等比数列 ,所以，由等比数列的性质， 得， xy=(-1)(-2), ，故 xyz= ，选 D。 考点：本题主要考查等比数列的性质，等比中项、等比数列的概念。 点评：简单题， x,G,y成等比数列，则 。 已知 是两个不同的平面， 是不同的直线，下列命题不正确的是 A若 则 B若 则 C若 则 D若 ，则 答案： A ； 试题分析：由线面垂直的判定定理可知
5、，一条直线垂直于平面内的两条相交直线时， 直线垂直于这个平面，因此， A不正确，选 A。 考点：本题主要考查立体几何的平行关系、垂直关系。 点评：简单题，熟记定理是解题的关键。说明命题不正确，结合身边的模型举反例。 已知集合 P = x| x (x +1)0， Q = x| 0，则 PQ等于 A x|x 1 B x|x-1 C x|x0或 x-1 D x| 0x 1或 x-1 答案： D； 试题分析：因为 ,P = x| x (x +1)0=x| , Q = x| 0=x|x0,由绝对值不等式的性质，若 ，则， |2x-log2x|=2x |log2x|，所以， ， x1,即不等式 |2x-l
6、og2x| 2x |log2x|的解集为（ 1，+ ）。 考点：本题主要考查绝对值不等式的性质，对数函数的性质。 点评：小综合题，利用转化与化归思想，应用对数函数的性质及绝对值不等式的性质，转化成简单对数不等式求解。 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值等于 答案： 试题分析：因为，向量 ， ，且 ， 所以， 3（ 2x+1） -4(2-x)=0，解得， x= . 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，共线向量的条件。 点评：简单题，平面向量共线，对应坐标成比例。 解答题 已知函数 的一系列对应值如表： （ 1）求 的式； （ 2）若在 中， ， ， （ A为锐角），求 的面积 答案：（ ） （
7、或者 ）； （ ） 试题分析：（ ）由题中表格给出的信息可知，函数 的周期为， 所以 . 2分 注意到 ，也即 ，由 ，所以 4分 所以函数的式为 （或者 ） 5分 （ ） ，且 A为锐角， 6分 在 中，由正弦定理得， ， ， 7分 ， ， ， 8分 ， 10分 12分 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用。 点评：中档题，利用图象或变量的对应值表确定函数的式，要明确 A， T，进一步求 。计算三角形的面积，应围绕两边及其夹角的正弦思考，故利用正弦定理、和差倍半的三角函数，可使问题得解。 甲、乙、丙三人独立参加某企业的招聘考试，根据三人的专业知识、应试表
8、现、工作经验等综合因素，三人被招聘的概率依次为 用 表示被招聘的人数。 （ 1）求三人中至少有一人被招聘的概率； （ 2）求随机变量 的分布列和数学期望。 答案：（ 1）三人中至少有一人被招聘的概率为（ 2） 的分布列为 0 1 2 3 P 的数学期望为 。 试题分析：（ 1）记甲、乙、丙三人被招聘分别为事件 ，则， 2分 所以三人中至少有一人被招聘的概率为 5分 （ 2）由题知 的取值有 0， 1， 2， 3， 6分 9分 的分布列为 0 1 2 3 P 10 分 所以 的数学期望为 12分 考点：本题主要考查独立事件的概率计算，随机变量分布列及其数学期望。 点评：典型题，统计中的抽样方法，
9、频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。独立事件的概率的计算问题，关键是明确事件、用好公式。 如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC为底面的棱柱被平面 DEF所截面得，已知 FA 平面 ABC， AB 2， BD 1， AF 2， CE 3， O 为 AB 的中点 （ 1）求证： OC DF； （ 2）求平面 DEF与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小； （ 3）求多面体 ABCFDE 的体积 V 答案：（ 1）以 O 为原点， OB、 OC、 Oz分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系， 即 （ 2）平面 DEF与平面 ABC相交所成锐二面角的大小为 （ 3） 试
10、题分析：（ 1）证法一： FA 平面 ABC， 平面 ABC， 2分 又 CA=CB且 O 为 AB的中点， 平面 ABDF， 4分 平面 ABDF， 5分 证法二：如图， 以 O 为原点， OB、 OC、 Oz分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系， 2分 即 5分 （ 2）解法一：解：设平面 ABC的法向量为 6分 设平面 DEF的法向量为 由 得 , 解得 , 8分 所以 , 10分 故平面 DEF与平面 ABC相交所成锐二面角的大小为 11分 解法二：设平面 DEF与平面 ABC相交所成锐二面角的大小为 ，依题中的条件可求得 DE=由空间射影定理得 故平面 DEF与平面 ABC
11、相交所成锐二面角的大小为 11分 解法三：延长 ED、 FD交直线 CB、 AB于 M、 N 两点，过 B点作 MN 的垂线交MN 于 Q 点，连结 DQ， 平面 BMN， 所以 为二面角的平面角，故平面 DEF与平面 ABC相交所成锐二面角的大小为 11分 （ 3）解法一：由（ 1）知 平面 ABDF，且 平面 ABC， 14分 所以多面体 ABCFDE 的体积为 解法二：在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱，其底面为 ABC，高为 4， 所以多面体 ABCFDE 的体积 所以多面体ABCFDE 的体积为 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角及体积计算。 点评：中档题，立
12、体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直 关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。 曲线 都是以原点 O 为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆 .点 M的坐标是（ 0,1） ,线段 MN 是曲线 的短轴，并且是曲线 的长轴 . 直线与曲线 交于 A,D两点（ A在 D的左侧），与曲线 交于 B,C两点（ B在 C的左侧） （ 1）当 = ， 时，求椭圆 的方程； （ 2）若 ，求 的值 答案：（ 1） C1
13、 ,C2的方程分别为 ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）解：设曲线 C1的方程为 ,C2的方程为（ ） 2 分 C1 ,C2的离心率相同， , ， 3分 令 代入曲线方程，则 . 当 = 时， A ,C 5 分 又 , .由 ，且 ，解得 6分 C1 ,C2的方程分别为 ， 7分 （ 2）令 代入曲线方程， ，得 ，得9分 由于 ，所以 (- ,m), ( ,m) 10分 由于 是曲线 的短轴，所以 . OC AN， （ ） . 11分 =（ ,m）， =（ ,-1-m)， 代入（ ）并整理得 2m2+m-1=0， 12分 或 (舍负 ) ， 14分 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭
14、圆的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和 a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 2）利用向量垂直，数量积为 0，确定得到 m的方程。 设 是各项都为正数的等比数列 , 是等差数列 ,且 ，(1)求 , 的通项公式； (2)记 的前 项和为 ，求证： ； (3)若 均为正整数 ,且 记所有可能乘积 的和 ，求证： 答案：（ 1） （ 2）证法一：放缩法； （ 2）证法二： 应用 （ 3）证法一：错位相减法；证法二：用数学归纳法证明。 试题分析：（ 1）设 的公比为 的公差为
15、，则 2分 解得 所以 5分 （ 2）证法一：由题意得 6分 8分 所以 9分 （ 2）证法二：由题意得 6分 ，当 时且 也成立， 8分 所以 9分 （ 3）证法一：由题意 11分 令 以上两式相减得13分 又 ，所以 14分 证法二：用数学归纳法证明。 （ 1）当 时， 所以结论成立。 10分 （ 2）假设当 时结论成立，即 。 11分 当 时，所以当 时也成立 13分 综合（ 1）、（ 2）知 对任意 都成立 14分 考点：本题主要考查等比数列的通项公式， “错位相减法 ”，数学归纳法。 点评：典型题，本题综合性较强，处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题，提供了 “错位相减求和、放缩
16、、证明 ”和 “数学归纳法 ”等证明方法，能拓宽学生的视野。 已知函数 f (x) = （ 1）试判断当 的大小关系； （ 2）试判断曲线 和 是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由； （ 3）试比较 (1 + 12) (1 + 23) （ 1 +20122013)与 的大小，并写出判断过程 答案：（ 1） ； （ 2）方程 无解，故二者没有公切线。 （ 3） (1 + 12) (1 + 23) （ 1 +20122013) 。 试题分析：（ 1）设 ，则 1分 由 ， 时， 2分 在区间 单调递减，在区间 单调递增， 3分 所以 取得最小值为 ， 即 4分 （ 2）假设曲
17、线 有公切线，切点分别为 和 5分 因为 ，所以分别以 和 为切线的切线方程为 6分 令 即 8分 令 所以由 得 显然，当 时，当 时， ，所以 ， 9分 所以方程 无解，故二者没有公切线。 10分 （ 3）由（ 1）得 对任意的 x 0都成立， 11分 ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln1 + n (n + 1) = 令 =2012， 13分 则 ln(1 + 12) + ln(1 + 23) + +ln(1 + 20122013) 22012-3=4021， 所以 (1 + 12) (1 + 23) （ 1 +20122013) 14分 考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
