1、2013届广东省江门佛山两市高三 4月教学质量检测（佛山二模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 ，则 A B C D 答案： C 试题分析：由 ,又 所以 . 考点：集合的运算 点评：解决本题的关键是看准 M集合元素的特征，准确求出 M集合的元素，再求交集，属基础题 . 将边长为 的等边三角形 沿 轴滚动，某时刻 与坐标原点重合（如图），设顶点 的轨迹方程是 ，关于函数 的有下列说法： 的值域为 ； 是周期函数； ； . 其中正确的说法个数为 : A 0 B 1 C D 答案： C 试题分析：由题意，画出函数的图形，如图所示：所以函数的值域为 ，是周期函数，周期为 4， ， 又易知函
2、数在 上单调递减，所以 ，即 ，又易知 ，所以 正确 .选 C. 考点：函数的性质 点评：本题借助具体函数实例考查函数的性质，关键是准确的做出函数的图形，借助图形分 析函数的性质 . 直线 与不等式组 表示的平面区域的公共点有 A 个 B 1个 C 个 D无数个 答案： B 试题分析： 由题意，做出不等式所表示的平面区域，画出直线，由图可知公共点只有这一点，故 选 B. 考点：不等式所表示的平面区域 点评：解决本题的关键是根据题意画出图形，借助图形分析易得到结果，属容易题 . 下列命题中假命题是 A若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 B垂直于同一条直线的两条直线相互
3、垂直 C若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 D若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行 答案： B 试题分析：垂直同一条直线的两条直线有可能平行 .故 B错 . 考点：平面的基本性质及推论 点评：本题主要考查线面垂直与平行的判定定理或性质定理解决本题的关键在于对课本知 识的熟练掌握程度 函数 ， ,则 A 为偶函数，且在 上单调递减 B 为偶函数，且在 上单调递增 C 为奇函数，且在 上单调递增 D 为奇函数，且在 上单调递减 答案： A 试题分析： ，易知 ，所以 是偶函数 . 又因为 时， ，所以 在 上单调递减 . 考点：三角
4、函数的单调性、奇偶性 点评：本题解题的关键是先利用诱导公式化简，之后再利用判断函数单调性，奇偶性的一般 方法进行判断 . 为了解一片速生林的生长情况 ，随机测量了其中 100株树木的底部周长（单位： cm）根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，那么在这 100株树木中，底部周长小于 110cm的株数是 A 30 B 60 C 70 D 80 答案： C 试题分析：由图可知：则底部周长小于 110cm段的频率为（ 0.01+0.02+0.04）10=0.7， 则频数为 1000.7=70人 考点：频率分布直方图 点评：本题考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬
5、背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题 已知数列 是等差数列，若 ，则数列 的公差等于 A 1 B 3 C 5 D 6 答案： B 试题分析： ，所以 ，所以 ，所以 . 考点：等差数列的性质 点评：熟练掌握等差数列的基本性质 ，是快速解决本题的关键 . 已知复数 的实部为 1，且 ，则复数 的虚部是 A B C D 答案： D 试题分析：令 ，则 ，所以 ，所以 的虚部为 考点：复数的运算 点评：本题考查复数的模的运算，解题关键是记住基本公式，属基础题 . 填空题 如图，圆 的直径 ，直线 与圆 O相切于点 ， 于 ，若 ，设 ，则 _ 答案： 试题分析：由题意， ,
6、所以 ,所以 , 故 . 考点：圆的切线的性质定理的证明 点评：此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及弦切角定理，属于基础题 在极坐标系中，设曲线 与 的交点分别为 ，则线段 的垂直平分线的极坐标方程为 答案： （或 ） 试题分析：曲线 的普通方程为 ，曲线的普通方程为 ，所以 的方程为 ，又易知 的垂直平分线斜率为 ，经过圆 圆心 ，所以 的垂直平分线的方程为， ，即为 ，或化成 . 考点：简单曲线的极坐标方程 点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 ，进行代换即得 将集合 | 且 中的元素按上小下大，左小右大的顺序排成如图的三角形数表，
7、将数表中位于第 行第 列的数记为 （ ） ,则= . 答案： 试题分析：按照规律 对应的 ，所以 = . 考点：数列 点评：本题的关键是找出规律第一行 第二行 ，属难题 . 已知圆 经过点 和 ,且圆心 在直线 上 ,则圆 的方程为 . 答案： 试题分析：设圆心 ，又 , 所以 ，所以 ，所以圆的方程为 . 考点：圆的标准方程 点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题 若二项式 展开式中 的系数等于 的系数的 倍，则 等于 . 答案： 试题分析： 的展开式通项为 ，又 的系数等于的系 数的 倍，所以 ，所以 考点：二项式系数的性质 点评：本题考查
8、二项式系数性质的应用，解答本题要注意注意系数与二项式系数的区别，属 基础题 . 已知向量 满足 , , 向量 与 的夹角为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以, 所以向量 与 的夹角为 . 考点：数量积表示两个向量的夹角 点评：本题主要考查向量的数量积运与向量数量积的运算律，以及考查数量积的性质与数量 积的应用如 求模； 求夹角； 判直线垂直，本题考查求夹角，属于基础题 命题 “ R， 0”的否定是 . 答案： R， 0 试题分析：由命题的否定知 “ R， 0”的否命题为 “ R， 0”. 考点：命题的否定 点评：命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性
9、命 题，特称性命题变为全称命题 解答题 在平面直角坐标系 中，以 为始边，角 的终边与单位圆 的交点在 第一象限，已知 . （ 1）若 ,求 的值； （ 2）若 点横坐标为 ,求 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： 解法 1、由题可知： ， ， ，得 ， 解法 2、 由题可知： ， , ， ， , ， 得 解法 1、 由 ，记 ， ， ，得 解法 2、 由题意得： 的直线方程为 ,则 即 则点 到直线 的距离为 又 ， 解法 3、 即 , 即： ， ， ， ， 则 考点：向量三角函数综合 点评：本题充分利用向量和三角函数的基本公式即可解题，属基础题 . 市民李生居住在甲地 ,工作在乙地
10、,他的小孩就读的小学在丙地 ,三地之间的道路情 况如图所示 .假设工作日不走其它道路 ,只在图示的道路中往返 ,每次在路口选择道路是随机 的 .同一条道路去程与回程是否堵车相互独立 . 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学， 再返回经甲地赶去乙地上班 .假设道路 、 、 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 , 道路 、 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 ，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到 . （ 1）求李生小孩按时到校的概率； （ 2）李生是否有八成把握能够按时上班？ （ 3）设 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求 的均值 . 答案：（ 1） （ 2）李生没有八成把握能够按时上
11、班（ 3） 试题分析： 因为道路 D、 E上班时间往返出现拥堵的概率分别是 和 ， 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是 所以李生小孩能够按时到校的概率是 ； 甲到丙没有遇到拥堵的概率是 ， 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 ， 甲到乙遇到拥堵的概率是 ， 甲到乙没有遇到拥堵的概率是 ，李生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 ，所以李生没有八成把握能够按时上班 依题意 可以取 . = , = , = , 0 1 2 分布列是： . 考点：随机事件概率 点评：本题着重考查了用树状图列举随机事件出现的所有情况，并求出某些事件的概率，但 应注意在求概率时各种情况出现的可能性务必相同用到的知识点为：概率 =所求情况数
12、与 总情况数之比 如图甲，设正方形 的边长为 ,点 分别在 上 ,并且满足 ,如图乙 ,将直角梯形 沿 折到 的位置 ,使点在 平面 上的射影 恰好在 上 （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值 答案：（ 1）先证 （ 2） 试题分析： 证明：在图甲中，易知 ,从而在图乙中有 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 解法 1、 如图 ,在图乙中作 ，垂足为 ，连接 ， 由于 平面 ，则 ， 所以 平面 ，则 ， 所以 平面 与平面 所成二面角的平面角， 图甲中有 ，又 ，则 三点共线， 设 的中点为 ，则 ，易证 ，所以， ，； 又由 ，得 ， 于是， ， 在 中
13、， ，即所求二面角的余弦值为 解法 2、 如图 ,在图乙中作 ，垂足为 ，连接 ，由于 平面 ，则， 所以 平面 ，则 ，图甲中有 ，又 ，则三点共线， 设 的中点为 ，则 ，易证 ，所以 ，则； 又由 ，得 ， 于是， 相关试题 2013届广东省江门佛山两市高三 4月教学质量检测（佛山二模）理科数学试卷（带） 在平面直角坐标系内，动圆 过定点 ,且与定直线 相切 . （ 1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （ 2）中心在 的椭圆 的一个焦点为 ,直线过点 .若坐标原点 关于直线的对称点 在曲线 上，且直线与椭圆 有公共点 ,求椭圆 的长轴长取得最小值时的椭圆方程 . 答案：（ 1） .（ 2）
14、 试题分析： 由题可知，圆心 到定点 的距离与到定直线 的距离相等 由抛物线定义知 , 的轨迹 是以 为焦点 ,直线 为准线的抛物线 所以动圆圆心 的轨迹 的方程为 . 解法 1、 设 ，则 中点为 ，因为 两点关于直线 对称，所以，即 ，解之得 8分 将其代入抛物线方程，得： ，所以 . 联立 ，消去 ，得： 由 ，得 ， 注意到 ，即 ，所以 ，即 ， 因此，椭圆 长轴长的最小值为 .此时椭圆的方程为 . 解法 2、 设 ，因为 两点关于直线对称，则 ， 即 ，解之得 即 ,根据对称性 ,不妨设点 在第四象限，且直线与抛物线交于 .则,于是直线方程为 联立 ，消去 ，得： 由 ，得 ， 注
15、意到 ，即 ，所以 ，即 ， 因此，椭圆 长轴长的最小值为 . 此时椭圆的方程为 . 考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；椭圆的标准方程 点评：本题主要考查了圆的切线的性质，圆的标准方程的求法，以及几何中的对称性问 题，属于常规题 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻 ,导致浓硫酸泄漏 ,对河水造成了污染 .为减 少对环境的影响，环保部门迅速反应 ,及时向污染河道投入固体碱，个单位的固体碱在水中 逐渐溶化 ,水中的碱浓度 与时间 (小时 )的关系可近似地表示为： ,只有当污染河道水中碱的浓度不低于 时 ,才能对污 染产生有效的抑制作用 . （ 1）如果只投放 1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑
16、制作用的时间有多长？ （ 2）第一次投放 1单位固体碱后 ,当污染河道水中的碱浓度减少到 时 ,马上再投放 1个单 位的固体碱 ,设第二次投放后水中碱浓度为 ,求 的函数式及水中碱浓度的最大值 . （此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加） 答案：（ 1） 3 （ 2）第一次投放 1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3小时； 第一次投放 小时后 , 水中碱浓度的达到最大值为 . 试题分析： 由题意知 或 解得 或 ，即 能够维持有效的抑制作用的时间： 小时 . 由 知， 时第二次投入 1单位固体碱，显然 的定义域为 当 时，第一次投放 1单位固体碱还有残留 ,故 = + = ; 当 时，
17、第一次投放 1单位固体碱已无残留 ,故 当 时， = ; 当 时， ; 所以 当 时， = = ; 当且仅当 时取 “=”,即 当 时，第一次投放 1单位固体碱已无残留， 当 时， ，所以 为增函数 ; 当 时， 为减函数 ;故 = ， 又 ,所以当 时，水中碱浓度的 最大值为 . 答：第一次投放 1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3小时；第一次投放 小时后 , 水中碱浓度的达到最大值为 . 考点：函数模型的选择与应用 点评：本题考查分段函数，考查解不等式，考查函数的单调性，考查利用基本不等式求函数 的最值，确定函数的式是关键 设函数 ，记 的导函数 ， 的导函数 ， 的导函数 ，
18、， 的导函数 ， . （ 1）求 ； （ 2）用 n表示 ； （ 3）设 ，是否存在 使 最大？证明你的结论 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3）故当 或 时，取 最大值 . 试题分析： 易得 , , ,所以 不失一般性，设函数 的导函数为 ，其中 ，常数 ， . 对 求导得： 故由 得： ， ， 由 得： ， 代入 得： ，即 ，其中 故得： . 代入 得： ，即 ，其中 . 故得： ， 因此 . 将 代入得： ，其中 . （ 3）由（ 1）知 ， 当 时， ， ，故当 最大时， 为奇数 . 当 时， 又 ， ， ，因此数列 是递减数列 又 ， ， 故当 或 时， 取最大值 . 考点：导数 数列综合 点评：本题是数列综合题，利用转化法把非常规数列转化成等差或等比数列来处理是关键， 属难题 .
