1、2013届广东省湛江一中高三 5月高考模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： B 试题分析：因为，集合 ， ， 所以， ，又 ，结合数轴得 ，故选 B。 考点：集合的运算，不等式解法。 点评：小综合题，为进行集合的运算，首先明确集合中的元素。此类问题往往借助于数轴。 已知 ABC为等边三角形， ，设点 P， Q 满足 ， ，若 ，则 A B C D 答案： A 试题分析： ， ， R ， , ABC为等边三角形， AB=2 =22cos60+22cos180+（ 1-） 22cos180+（ 1-） 22cos60=-2
2、2+2+2, , 42-4+1=0 （ 2-1） 2=0 = 故选 A。 考点：平面向量的线性运算，平面向量的数量积。 点评：中档题，解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出 的表达形式，以进一步建立 的方程。 已知等比数列 中， ，则其前 项的和 的取值范围是 A B C D 答案： D 试题分析：因为，等比数列 中， ，所以，设公比为 q，则， 从而 时， 3，其中等号成立条件为 q=1; 当 时， -1，其中等号成立的条件为 q=-1，故选 D。 考点：等比数列的概念，均值定理的应用。 点评：小综合题，利用等比数列的概念，将 用 q 表示，进一步应用均值定理。 如图，某几何体三视图如图所
3、示，其中侧（左）视图由半圆与两线段组成，则该几何体的体积是 A B C D 答案： A 试题分析：该几何体是三棱柱与半个圆柱的组合体。圆柱的底面半径为 1，高为 2，三棱柱的底面三角形是等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，三棱柱的高为 2，所以，该几何体的体积是 = ，故选 A。 考点：三视图，几何体体积计算。 点评：简单题，涉及三视图的题目，已成为高考保留题型，一般难度不大。要注意遵循三视图画法规则，正确还原几何体。 三视图中的虚线是被遮住的 “棱 ”。 随机抽取某产品 件，测得其长度分别为 ，如图所示的程序框图输出样本的平均值 ，则在处理框 中应填入的式子是（注：框图中的赋值符号 “=
4、”也可以写成 “”“ ： =”） A B C D 答案： D 试题分析 ：如图所示的程序框图输出样本的平均值 ，当 i=1 时， s=a1， i=2 时，s= ， i=3时， ， 因此，处理框 应填入的式子是 ，故选 D。 考点：程序框图的功能识别。 点评：简单题，从高考命题看，此类问题难度不大，注意明确算法功能，根据变量受到的限制，判断运行次数。 的展开式中常数项为 A B C D 答案： B 试题分析： 的展开式中， ，令 3-r=0,得， r=3, 所以， 的展开式中常数项为 ，故选 B。 考点：二项展开式的通项公式。 点评：简单题，利用二项展开式的通项公式，确定该项。 下列函数中，在其
5、定义域内既是奇函数又是减函数的是 A B C D 答案： A 试题分析：奇函数有 A. ， B. ， C. ，但其中是减函数的有 ，故选 A。只 考点：幂函数、正弦函数、指数函数的性质。 点评：简单题，结合图象，根据对函数性质的认识，做出选择。 下面是关于复数 的三个命题： 在复平面内对应的点在第四象限 是纯虚数 其中的真命题为 A B C D 答案： C 试题分析：因为， ，所以， ，是假命题； 在复平面内对应的点在第四象限 ，是真命题； 是纯虚数，是假命题 故选 C。 考点：复数的代数运算，复数的几何意义，命题的概念。 点评：简单题，复数除法运算中，分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实
6、数化。 填空题 如图， 为圆 的切线， 为切点， 过圆心 ， ，圆 的面积为 ，则 答案： 试题分析：连接 OT，由于 T是切点，故角 OTA=90，又由 ，可求得角 TOA=120， TOA=60， P=30， 在直角三角形 PTO 中得 PO=2OT=2R，故得 PA=3R 又圆的面积是 ，得 R=1， PA=3，故答案：为 3 考点：平面几何选讲，圆。 点评：中档题，直线与圆的位置关系，求解本题的关键是求出半径与 PA的关系。 在极坐标系中，曲线 截直线 所得的弦长为 答案： 试题分析：由曲线 的参数方程化为普通方程为 x2+y2=2，其圆心是 O（ 0，0），半径为 由 得： cos-
7、sin= ，化为直角坐标方程为 x-y- =0， 由点到直线的距离公式，得弦心距 d=1。 故 l被曲线 C所截得的弦长为 2 =2，故答案：为 2。 考点：圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系。 点评：中档题，首先完成 圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，从而 “化生为熟 ”。确定圆的弦长问题。往往利用 “特征直角三角形 ”。 已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围是 _. 答案： 试题分析：因为，关于 的方程 有实根，所以， 即 ，其几何意义为数轴上点 a 到 0， 距离之和不大于 ，所以，的取值范围是 。 考点：绝对值的几何意义，
8、绝对值不等式解法。 点评：小综合题，利用一元二次方程由实根的条件，可得到 a 的绝对值不等式，利用绝对值的几何意义可得解。 已知 ， 满足 ，则 的最小值是 _ 答案： 试题分析：画出可行域，注意到 的几何意义 - 表示点（ 2,0）与（ x,y）连线的斜率，所以， P（ 2,0） A（ 1,2）连线的斜率最小为 -2. 考点：简单线性规划的应用，斜率的坐标计算公式。 点评：小综合题，注意理解 的几何意义 表示点（ 2,0）与（ x,y）连线的斜率。 将函数 的图象上每一点向右平移 个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 倍（纵坐标保持不变），得函数 的图象，则 的一个式为 _ 答案
9、： 试题分析：函数 的图象上每一点向右平移 个单位，得到的图象，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的 倍（纵坐标保持不变），得函数 的图象，其式为。 考点：正弦型函数的图象及其变换。 点评：中档题，三角函数图象的变换注意平移与周期变换顺序不同时存在的差别。平移变换遵循 “左加右减，上加下减 ”。 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中 100株树木的底部周长（单位： cm）根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如右），那么在这 100株树木中，底部周长小于 110cm的株数是_ 答案： 试题分析：由图可知 ：则底部周长小于 110cm段的频率为（ 0.01+0.02+0.04）10=
10、0.7， 则频数为 1000.7=70 考点：频率分布直方图。 点评：简单题，利用频率与频数的关系可得频数。 计算： _ 答案： -20 试题分析： 考点：指数、对数运算。 点评：简单题，注意运用对数的运算法则。 解答题 某中学号召本校学生在本学期参加市创办卫生城的相关活动，学校团委对该校学生是否关心创卫活动用简单抽样方法调查了 位学生（关心与不关心的各一半）， 结果用二维等高条形图表示，如图 （ 1）完成列联表，并判断能否有 的把握认为是否关心创卫活动与性别有关？ 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 （参考数据与公式： ； 女 男 合计 关心 500 不关心 5
11、00 合计 524 1000 （ 2）已知校团委有青年志愿者 100名，他们已参加活动的情况记录如下： 参加活动次数 1 2 3 人数 10 50 40 （ i）从志愿者中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率； （ ii）从志愿者中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 答案：（ 1）不能有 的把握认为是否关心创卫活动与性别有关 （ 2）（ i）他们参加活动次数恰好相等的概率为 (ii) 分布列为 数学期望： 。 试题分析：（ 1）作出列联表： 女 男 合计 关心 252 248 500 不关心 224 276 500 合计 476 52
12、4 1000 由公式得 4分 所以不能有 的把握认为是否关心创卫活动与性别有关 5分 （ 2）（ i）他们参加活动次数恰好相等的概率为 7分 (ii) 从志愿者中任选两名学生 ,记 “这两人中一人参加 1次活动，另一个参加两次活动 ”为事件 ， “这两人中一人参加 2次活动，另一个参加 3次活动 ”为事件 ， “这两人中一人参加 1次活动，另一个参加两次活动 ”， “这两人中一人参加 1次活动，另一个参加 3次活动 ”为事件 8分 9分 10分 分布列为 相关试题 2013届广东省湛江一中高三 5月高考模拟考试理科数学试卷（带） 免责声明 联系我 们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航
13、商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆 与灯柱 所在平面与道路垂直，且 ，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知 ，路宽 ，设灯柱高 ，. （ 1）求灯柱的高 (用 表示 )； （ 2）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记所用材料长度和为 ，求 关于的函数表达式，并求出 的最小值 答案：（ 1） ；（ 2）当 时， 取到最小值 m 。 试题分析：（ 1）由已知得 ， 1分 又
14、， 2分 在 中， 3分 4分 在 中， 5分 即 6分 （ 2） 中，.8分 则 10分 因 ，当 时， 取到最小值 m 12分 考点：正弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，本题是综合性较强的一道应用问题，涉及正弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。关键是 “理解题意、构建函数关系、恒等变形、研究最值 ”，本题益充分研究图形特点，发现三角形中的边角关系。 如图，三棱锥 中， 是 的中点， ， ， ，二面角 的大小为 （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ 1）取 BD中点 M，连结 MA， MB
15、得到 又 ，即 又 平面 证得 ，证 ， 平面 ； (2)直线 与平面 所成角的正弦值为 试题分析：（ 1）取 BD中点 M，连结 MA， MB 1分 所以 又 ，即 2分 又 即 为 的平面角 4分 所以 ， 平面 5分 在 中， ，如图 ，取 AM中点 O 则知 为正三角形， 即 6分 又 平面 7分 (2)解法一、向量法： 建立如图直角坐标系 M-xyz 8分 ， ， ， ， ， 9分 设平面 的法向量为 ，即有 10分 得 11分 设直线 与平面 所成角为 则 13分 即直线 与平面 所成角的正弦值为 14分 解法二、几何法：提示：取 AB中点 N 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关
16、系、角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。 对数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中， 对自然数 ，规定 为 的 阶差分数列，其中 （ 1）已知数列 的通项公式 ，试判断 ， 是否为等差或等比数列， 为什么？ （ 2）若数列 首项 ，且满足 ，求数列的通项公式。 （ 3）对（ 2）中数列 ，是否存在等差数列 ，使
17、得对一切自然 都成立？若存在，求数列 的通项公式；若不存在，则请说明理由。 答案：（ 1） 是首项为 2，公差为 0的等差数列；也是首项为 2，公比为 1的等比数列。 （ 2） ， ， ， ，猜想：证明：数学归纳法。 （ 3）组合数性质证得，存在等差数列 ， ，使得对一切自然 都成 。 试题分析：（ 1） ， 1分 是首项为 4，公差为 2的等差数列。 2分 3分 是首项为 2，公差为 0的等差数列；也是首项为 2，公比为 1的等比数列。 4分 （ 2） ，即 ，即， 6分 ， ， ， ，猜想：7分 证明： ）当 时， ； ）假设 时， 8分 时， 结论也成立 由 ）、 ）可知， 10分 （
18、3） ，即 . .11分 13分 存在等差数列 ， ，使得 对一切自然都成 14分 考点：等差数列、等比数列的基础知识，数学归纳法，组合数的性质。 点评：中档题，本题综合性较强，将数列、数学归纳法、二项式系数的性质、组合数公式等综合考查。利用 “功能、猜想、证明 ”的方法，研究得到数列的特征，是常见题型。（ 3）小题利用二项式系数的性质及组合数公式，得到证明恒等式的目的。 已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为定值 ，记 的轨迹为 （ 1）求 的方程，并画出 的简图； （ 2）点 是圆 上第一象限内的任意一点，过 作圆的切线交轨迹于 ， 两点 （ i）证明： ； （ ii）求 的最大值
19、答案：（ 1） ， C的图象是椭圆 （ 2）（ i） 。 (ii)当 过点 时取最大值 2 试题分析：（ 1）设 ，由题动点 M满足： 1分 其中： ， .2分 代入，化简得： C的图象是椭圆，如图所示 4分 （ 2）（ i）设 ， 则 5分 6分 即 7分 (ii)解法一、设切线为 ，由题 与圆相切，得 ，8分 再由 ，得 9分 10分 由（ i）知 ，所以 11分 又 . 2分 ，当 时，取最大值 2 13分 的最大值为 2 .14分 解法二、 由（ i）同理得 ，则 又 当 过点 时取最大值 2 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与圆、直线与椭圆的位置关系，弦长公式。
20、 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质， a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。涉及弦长问题，一般要利用韦达定理，简化解题过程。本题 “几何味 ”较浓，应认真分析几何特征。 已知 ，函数 ， （ 的图象连续不断） (1) 求 的单调区间； (2) 当 时，证明：存在 ，使 ； (3) 若存在属于区间 的 ，且 ，使 ，证明： 答案： ( ) 的单调 增区间是 ，单调减区间是 ( )存在 ，使 ( ) 试题分析： ( ) ， 2分 令 ，则 3分 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 . .4分 ( ) 当 时， ， 由 ( )知， 在 单调递增，在 单调递减 5分 令 .6分 由于 在 单调递增，则 ，因而 7分 取 ，则 ， .8分 所以存在 ，使 ，即存在 ，使 9分 ( ) 由 及 的单调性知 10分 从而 在区间 上的最小值为 又由 ， ，则 相关试题 2013届广东省湛江一中高三 5月高考模拟考试理科数学试卷（带）
