1、2013届河北省唐山市高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 z满足，则复数 z=( ) A B C D 答案： B 试题分析： 考点：复数运算，共轭复数 . 一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为 ( ) A B 8 C 12 D 答案： A 试题分析：根据三视图可知，该几何体为两个正四棱锥底面重合组成的八面体，其底面为正方形，侧面为等边三角形，底面的边长与侧棱长相等为考点：三视图，几何体的表面积 . 函数 所有零点的和等于 ( ) A 6 B 7.5 C 9 D 12 答案： C 试题分析：函数 所有零点转化为 两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图
2、像，根据图像可知有 6个交点，且两两关于直线 对称，故所以零点的和为 考点：函数的零点 . 已知函数 在 时有极大值，且 为奇函数，则 的一组可能值依次为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析 :因函数 在 时有极大值，故因 = 为奇函数，则 令 考点：三角函数的奇偶性 . 设变量 x,y满足约束条件 ，则目标函数 z=x2+y2的取值范围是 ( ) A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 答案： B 试题分析：目标函数 z=x2+y2的几何含义为原点到可行域的距离的平方，画出可形域，可知原点到直线 x+2y-2=0的距离为平方为 距离原点最远的点为（ 4,0），故距离最大值为 16.
3、 考点：线性规划 . 若命题 “ R，使得 x02+mx0+2m-30)，且与直线 y -m相切，圆 C被 x轴截得弦长的最小值为 1，记该圆的圆心的轨迹为 E. （ ）求曲线 E的方程； （ ）是否存在曲线 C与曲线 E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程； 若不存在，说明理由 . 答案：（ ） x2 2y；（ ）存在题设的公共点 B，其坐标为 (2 ， 4)，公切线方程为 y 2 (x-2 ) 4或 y -2 (x 2 ) 4，即 y 2 x-4 试题分析：（ ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆 C被 x轴截得弦长的最小值为 1求解参数 m的值；（ ）假设存
4、在题设的公共点 B(b， b2)利用圆的切线性质，以及利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程的斜率建立等量关系，求解 b的值进行论证 . 试题：（ ）依题意，曲线 E是以 (0， m)为焦点，以 y -m为准线的抛物线 曲线 E的方程为 x2 4my 2分 设动圆圆心为 A(a， )，则圆 C方程为 (x-a)2 (y- )2 ( m)2， 令 y 0，得 (x-a)2 m2 当 a 0时，圆 C被 x轴截得弦长取得最小值 2m，于是 m ， 故曲线 E的方程为 x2 2y 5分 （ ）假设存在题设的公共点 B(b， b2) 圆 C方程为 (x-a)2 (y- a2)2 ( a2 )2， 将点
5、 B坐标代入上式，并整理，得 (b-a)21 (a b)2 (a2 1)2 7分 对 y x2求导，得 y x，则曲线 E在点 B处的切线斜率为 b 又直线 AB的斜率 k (a b) 由圆切线的性质，有 (a b)b -1 8分 由 和 得 b2(b2-8) 0 显然 b0，则 b 2 9分 所以存在题设的公共点 B，其坐标为 (2 ， 4)，公切线方程为 y 2 (x-2 ) 4或 y -2 (x 2 ) 4，即 y 2 x-4 12分 考点： 1.轨迹方程； 2.圆的的切线和抛物线的切线 . 已知函数 （ ）若 在（ 0， ）单调递减，求 a的最小值 （ ）若 有两个极值点，求 a的取值
6、范围 . 答案：（ ） a的最小值为 1; （ ） (0， 1) 试题分析：（ ）将 “f(x)在（ 0， ）单调递减 ”转化为 “x (0， )， a ”，然后才有构造函数的思想求解 函数的最大值即可；（ ）通过对参数 a 与 1的讨论，借助求导的方法研究函数的单调性，进而分析保证有两个极值点的条件，通过解不等式求解求 a的取值范围 . 试题：（ ） f (x) lnx 1-ax f(x)单调递减当且仅当 f (x)0，即 x (0， )， a 设 g(x) ，则 g (x) - 当 x (0， 1)时， g (x) 0， g(x)单调递增； 当 x (1， )时， g (x) 0， g(x
7、)单调递减 所以 g(x)g(1) 1，故 a的最小值为 1 5分 （ ）（ 1）由（ ）知，当 a1时， f(x)没有极值点 （ 2）当 a0时， f (x)单调递增， f (x)至多有一个零点， f(x)不可能有两个极值点 7分 （ 3）当 0 a 1时，设 h(x) lnx 1-ax，则 h (x) -a 当 x (0， )时， h (x) 0， h(x)单调递增； 当 x ( ， )时， h (x) 0， h(x)单调递减 9分 因为 f ( ) h( ) ln 0， f ( ) h( ) - 0， 所以 f(x)在区间 ( ， )有一极小值点 x1 10分 由（ ）中的 式，有 1
8、，即 lnxx-1，则 ln -1， 故 f ( ) h( ) ln2 2ln 1- ln2 2( -1) 1- ln2-1 0 所以 f(x)在区间 ( ， )有一极大值点 x2 综上所述， a的取值范围是 (0， 1) 考点： 1.函数的单调性、极值和最值； 2.不等式恒成立 . 如图，直三棱柱 中， AB=BC， ， Q是 AC上的点， AB1/平面 BC1Q. （ ）确定点 Q在 AC上的位置 ; （ ）若 QC1与平面 BB1C1C所成角的正弦值为，求二面角 Q-BC1 C的余弦值 . 答案：（ ） Q为 AC的中点 ; （ ）二面角 Q-BC1-C的余弦值为 试题分析：（ ）借助直
9、线 AB1 平面 BC1Q，利用面面平行的性质定理可知 AB1PQ，然后确定点 Q的位置；（ ）利用空间向量的方法求解，分别求出面 BC1C的法向量为 m (1， 0， 0)和 平面 C1BQ的法向量 n (1， - ， 2)，然后利用向量的夹角公式计算二面角 Q-BC1-C的余弦值 . 试题：（ ）连接 B1C交 BC1于点 P，连接 PQ 因为直线 AB1 平面 BC1Q， AB1平面 AB1C，平面 BC1Q平面 AB1C PQ， 所以 AB1 PQ 因为 P为 B1C的中点，且 AB1 PQ， 所以， Q为 AC的中点 （ ）如图建立空间直角坐标系 设 AB BC a， BB1 b，则
10、 面 BC1C的法向量为 m (1， 0， 0) B(0， 0， 0)， C1(0， a， b)， Q( a， a， 0)， (0， a， b)， (- a， a， b) 因 QC1与面 BC1C所成角的正弦值为， 故 ，解得 b a. 设平面 C1BQ的法向量 n (x， y， z)，则 即 取 n (1， - ， 2) 所以有 cosm， n 故二面角 Q-BC1-C的余弦值为 考点： 1.平行关系的证明与判断； 2.二面角； 3.空间向量法 . 某校学习小组开展 “学生语文成绩与外语成绩的关系 ”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语
11、文和外语 都优秀的有 60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有 140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有 100人 . （ ）能否在犯错概率不超过 0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （ ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取 3名学生的成绩，记抽取的 3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为 X ，求 X的分布列和期望 E（ x） . 0 010 0 005 0 001 6 635 7 879 10 828 附： 答案：（ ）能在犯错概率不超过 0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系；（ ） 试题分析
12、：（ ）根据题意得到列联表，代入公式求解 的值进行数据比较得出结论；（ ）根据题意可知 X的分布满足二项分布 X B(3， )，利用二项分布的公式直接求解 . 试题：（ ）由题意得列联表： 语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 60 100 160 外语不优秀 140 500 640 总计 200 600 800 因为 K2 16.667 10.828， 所以能在犯错概率不超过 0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系 5分 （ ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 则 X B(3， )， P(X k) ( )k( )8-k， k 0， 1， 2， 3
13、X的分布列为 X 0 1 2 3 p E(X) 3 考点： 1.线性相关； 2.二项分布 . ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 ac=b2-a2,A= ,求 B. 答案： 试题分析：首先利用余弦定理将表达式 ac=b2-a2进行化简为 b-c a，然后借助正弦定理将边转化角，利用辅助角公式进行化简求值 . 试题：由余弦定理得， a2-b2 c2-2bccosA， 将已知条件代入上式，得 ac bc-c2，则 b-c a， 再由正弦定理， sinB-sinC sin 4分 又 sinC sin( -B) cosB sinB， 所以 sinB- cosB ，即 sin
14、(B- ) 10分 因为 - B- ，所以 B- ，即 B 12分 考点： 1.正弦定理和余弦定理； 2.三角化简 . 已 知 ， R （ ）当 时，解不等式 ； （ ）若 恒成立，求 k的取值范围 . 答案：（ ） x|x - ；（ ） 12， ) 试题分析：（ ）利用分类讨论思想将函数 转化为分段函数，然后逐一求解每个不等式；（ ）利用绝对值性质定理求解 f(x) |ax-4|-|ax 8|的最大值，然后确定 k的取值范围 . 试题：（ ）当 a 2时， f(x) 2(|x-2|-|x 4|) 当 x -4时，不等式不成立； 当 -4x2时，由 -4x-4 2，得 - x2； 当 x 2时，不等式必成立 综上，不等式 f(x) 2的解集为 x|x - （ ）因为 f(x) |ax-4|-|ax 8|(ax-4)-(ax 8)| 12， 当且仅当 ax-8时取等号 所以 f(x)的最大值为 12 故 k的取值范围是 12， ) 考点： 1.绝对值不等式的解法； 2.绝对值不等式的性质定理 .
