1、2013届河北省衡水中学高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设 , ，若 ，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程恰有 5个实数解，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： B 从点 出发的三条射线 两两成 角，且分别与球 相切于三点，若球的体积为 ，则 两点之间的距离为 ( ) A B C 1.5 D 2 答案： B 点 P到点 ， 及到直线 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么 a的值是（ ） A B C 或 D 或 答案： D 设 ,函数 的图像向右平移 个单位 后与原图像重合，则 的最小值是（
2、） A B C D 3 答案： C 如图， ABCD是边长为 l的正方形， O为 AD的中点，抛物线的顶点为 O且通过点 C，则阴影部分的面积为（ ） A B C D 答案： C 设集合 ，如果方程 （ ）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） A 6 B 8 C 9 D 10 答案： C 若 (x )n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ ） A 10 B 20 C 30 D 120 答案： B 已知已知点（ 2， 3）在双曲线 C： 上， C的焦距为4， 则它的离心率为（ ） A 2 B C D 答案： A 已知向量 ， 满足 ，则向量 ， 夹角的余弦
3、值为（ ） A B C D 答案： B 已知等比数列 满足 ，则 （ ） A 64 B 81 C 128 D 243 答案： A 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30名，高二年级有 40名。现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 答案： B 填空题 已知等差数列 的首项 及公差 都是整数，前 项和为 ，若，设 的结果为 。 答案： 四棱锥 的三视图如右图所示 ,四棱锥 的五个顶点都在一个球面上， 、 分别是棱 、 的中点，直线 被球面所截得的线段长为 ，则该球表面
4、积为 . 答案： 在约束条件 下 ,过点 的线性目标函数 取得最大值 10,则线性目标函数 _ （写出 一个适合题意的目标函数即可）； 答案： 已知 ，则 = 答案： 解答题 （本题满分 10分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数 .根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 （ ）求出表中 及图中 的值； （ ）若该校高三学生有 240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 内的人数； （ ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20次
5、的学生中任选 2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率 . 答案：（ ） （ ） 人 （ ） （本题满分 12分）已知 为锐角，且 ，函数，数列 的首项 . （ ）求函数 的表达式； （ ）求数列 的前 项和 答案：（ ） （ ） （本题满分 12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中， 平面 ， ， ， （ ）求证： ； （ ）求直线 与平面 所成的角； （ ）设点 在棱 上， ,若 平面 ，求 的值 . 答案：（ ）先根据 证明 ，再证明 从而得证。 （ ） （ ） （本题满分 12分）已知椭圆 经过点 ，且其右焦点与抛物线 的焦点 F重合 . （ ）求椭圆 的方程； （ II）直线 经过点 与椭圆 相交于 A、 B两点，与抛物线 相交于 C、 D两点求 的最大值 答案：（ ） （ II）当直线 l垂直于 轴时， 取得最大值 （本题满分 12 分）给定椭圆 ： ，称圆心在原点 ，半径为 的圆是椭圆 的 “准圆 ”。若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为 . （ ）求椭圆 的方程和其 “准圆 ”方程 . （ ）点 是椭圆 的 “准圆 ”上的一个动点，过动点 作直线 使得 与椭圆 都只有一个交点，且 分别交其 “准圆 ”于点 ，求证： 为定值 . 答案：（ ） （ ）根据 斜率情况进行分类讨论，分别证明知直线 垂直，从而=4
