1、2013届浙江省临海市白云高级中学高三第三次模拟理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A y | y 2x， x R，则 CR A A B (-， 0 C (0， ) D R 答案： B 试题分析： A y | y 2x， x R ，所以 CR A (-， 0. 考点：本小题主要考查指数函数的值域和补集运算 . 点评：涉及到集合的运算，可以借助数轴辅助解决问题 . 如图，函数 y f(x)的图象为折线 ABC，设 f 1 (x) f(x)， f n+1 (x) f f n(x)，n N*，则函数 y f 4 (x)的图象为 A B C D 答案： D 试题分析：由图象可知， ，所以
2、f n+1 (x) f f n(x)，所以 的周期是 的一半，同理， 的周期是 的周期的一半，根据周期性可知， D为 y f 4 (x)的图象。 考点：本小题主要考查函数的周期性 . 点评：解答本小题不用分别求出式，只要找出周期的关系，根据周期求解即可 . 如图， F1， F2是双曲线 C： (a 0， b 0)的左、右焦点，过 F1的直线与 的左、右两支分别交于 A， B两点若 | AB | : | BF2 | : | AF2 | 3:4 : 5，则双曲线的离心率为 A B C 2 D 答案： A 试题分析： | AB | : | BF2 | : | AF2 | 3:4 : 5，不妨令 |A
3、B|=3， | BF2 | =4， |AF2|=5， |AB|2+ | BF2 | 2=|AF2|2， ABF2=90，又由双曲线的定义得： |BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a， |AF1|+3-4=5-|AF1|， |AF1|=3 |BF1|-|BF2|=3+3-4=2a， a=1 在 Rt BF1F2中， |F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又 |F1F2|2=4c2， 4c2=52， c= 双曲线的离心率 e= 考点：本小题主要考查双曲线的几何性质 . 点评：本题考查转化思想与运算能力，其中求得 a与 c的值是关键，属于中档题 若整数 x
4、， y满足不等式组 则 2x y的最大值是 A 11 B 23 C 26 D 30 答案： D 试题分析：根据约束条件画出可行域可知可行域是一个三角形，画出目标函数，通过平移可知该目标函数在点 （ 10， 10）处取到最大值，最大值为 30. 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求最值 . 点评：解决此类问题的关键是根据目标函数正确画出可行域，注意可行域的边界是化成实线还是化成虚线 . 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 A B C D 答案： D 试题分析：三棱锥的三视图均为三角形，四个答案：均满足；且四个三视图均表示一个高为 3，底面为两直角边分别为 1，
5、 2的棱锥， A与 C中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故 A， C表示同一棱锥 ，设 A中观察的正方向为标准正方向，以 C表示从后面观察该棱锥， B与 D中俯视图正好旋转 180，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故 B， D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据 B中正视图与A中侧视图相同，侧视图与 C中正视图相同，可判断 B是从左边观察该棱锥，故选 D 考点：本小题主要考查由三视图求面积、体积 . 点评：解答本题要求具有超强的空间想像能力，难度较大 设数列 an A
6、若 4n， n N*，则 an为等比数列 B若 anan+2 ， n N*，则 an为等比数列 C若 aman 2m+n， m， n N*，则 an为等比数列 D若 anan+3 an+1an+2， n N*，则 an为等比数列 答案： C 试题分析：若 4n，则 ，不一定是等比数列；数列 ，满足 anan+2 ，但显然不是等比数列；同理选项 D也不正确；只有 C是正确的 . 考点：本小题主要考查等比数列的判定 . 点评：判定一个数列是等比数列，要用等比数列的定义；要说明一个数列不是等比数列，只需举反例即可 . 如图，在四边形 ABCD中， AB BC， AD DC若 | | a， | | b
7、，则 A b2-a2 B a2-b2 C a2 b2 D ab 答案： A 试题分析：因为 AB BC， AD DC ，所以 , 考点：本小题主要考查向量在几何中的应用 . 点评：向量的线性运算及向量的数量积公式在解题时应用十分广泛，要熟练应用 . 设函数 f (x) x3-4x a， 0 a 2若 f (x)的三个零点为 x1， x2， x3，且 x1x2 x3，则 A x1 -1 B x2 0 C x2 0 D x3 2 答案： C 试题分析： ，即函数在 和上单调递增，在区间 上单调递减，所以 A错误； ，所以当 时，只有一个零点，所以 所以 C正确 . 考点：本小题主要考查利用导数判断
8、函数的单调性和利用零点存在定理判断函数的零点范围 . 点评：当函数的零点不易求出时，可以根据零点存在定理判断零点的取值范围。 若函数 f(x) (x R)是奇函数，函数 g(x) (x R)是偶函数，则 A函数 fg(x)是奇函数 B函数 gf(x)是奇函数 C函数 f(x) g(x)是奇函数 D函数 f(x) g(x)是奇函数 答案： C 试题分析：根据函数奇偶性的定义可知， 是偶函数，同理可以判断 是偶函数，函数 f(x) g(x)的奇偶性不确定，而是奇函数 . 考点：本小题主要考查函数奇偶性的定义和应用 . 点评：判断函数的奇偶性先看函数的定义域是否关于原点对称，如果关于原点对称，再根据
9、定义进行判断 . 已知 a， b是实数，则 “| a b | | a | | b |”是 “ab 0”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 “| a b | | a | | b |”可以得出 a,b同号，但是 a=b=0也可以，所以是必要不充分条件 . 考点：本小题主要考查充分条件和必要条件的定义 . 点评：判断此类问题，要分清谁是条件，谁是结论，是由谁推出谁 . 填空题 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB 1， AD 2若存在各棱长均相等的四面体 P1P2P3P4，其中 P1， P2， P3， P4分别在棱 AB
10、， A1B1， C1D1， CD所在的直线上，则此长方体的体积为 答案： 试题分析：由题意可知，棱 AB， A1B1， C1D1， CD所在的直线应为某个正四棱锥所在的直线，因为 AD 2，所以 A1A=2,所以此长方体的体积为 考点：本小题主要考查棱柱和棱锥的几何特征 点评：解答此题时，根据正四面体是由正方体截掉四个角得到的，分析出A1A=AD，是解答的关键 在 ABC中， B(10， 0)，直线 BC与圆 ： x2 (y-5)2 25相切，切点为线段 BC的中点若 ABC的重心恰好为圆 的圆心，则点 A的坐标为 答案： (0， 15) 或 (-8， -1) 试题分析：设 BC的中点为 D，
11、设点 A（ x1， y1 ）、 C（ x2， y2），则由题意可得 D BC，且 D 点坐标为 ，因为 D 为切点，所以圆心 （ 0， 5）到直线 AB的距离 D=r=5设 BC的方程为 即根据点到直线的距离公式有 ，解得 或当 时，有 ，解得 ，当 时，有 ，解得 再由三角形的重心公式可以求得，或 ，所以点 A的坐标为（ 0， 15）或（ -8， -1） 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、三角形的重心公式等 . 点评：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆半径，这个性质经常用到；另外，此类题目一般运算量较大，要仔细运算，不要漏解 . 在 ABC中，内角 A， B， C
12、的对边分别为 a， b， c，已知 C 2A， cos A， b 5，则 ABC的面积为 答案： 试题分析：因为 cos A ，所以 ，因为 ,所以 ，所以 ，根据正弦定理可知 ，所以三角形的面积为 考点：本小题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 . 点评：正弦定理和余弦定理是解三角形的有力工具，经常考查，应用正弦定理时，还要注意解的个数问题 . 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 答案： 试题分析：根据程序框图可知，该程序执行如下 :n=12,i=1,n不是奇数，所以n=6,i=2不等于 1，所以再判断 n;n不是奇数，所以 n=3， i=3； i不等于 1，所以再判断
13、 n； n是奇数， 所以 n=10， i=4；依次执行下去，直到 n=10，此时 n=1，推出循环，输出 10. 考点：本小题主要考查程序框图的执行 . 点评：程序框图一般离不开循环结构，分清是直到型循环还是当型循环，判断退出循环的条件，依次执行即可 . 若 (n为正偶数 )的展开式中第 5项的二项式系数最大，则第 5项是 答案： x6 试题分析：因为展开式中第 5项的二项式系数最大，所以 所以 的展开式的第 5项为 考点：本小题主要考查二项式定理的应用 . 点评：注意到二项展开式的通项公式指的是展开式的第 k+1项，而不是第 k项 . 设公差不为零的 等差数列 an的前 n项和为 Sn若 a
14、22 a32 a42 a52，则 S6 答案： 试题分析：因为数列 an是公差不为 0的等差数列，根据等差数列的性质可知 ，所以 考点：本小题主要考查等差数列的性质的应用 . 点评：等差数列是一类比较重要的数列，它的性质是高考常考的内容，要准确把握，灵活应用 . 已知 i是虚数单位， a R若复数 的虚部为 1，则 a 答案： 试题分析： 所以 ，解得 a 2. 考点：本小题主要考查复数的概念和复数的运算 . 点评：复数题目一般考查复数的概念和复数的运算，难度较低，注意 a+bi的虚部是 b,不是 bi. 解答题 已知函数 f (x) 3 sin2 ax sin ax cos ax 2 cos
15、2 ax的周期为 ，其中 a 0 ( ) 求 a的值； ( ) 求 f (x)的值域 答案： ( ) a 1( ) ， 试题分析： ( ) 由题意得 f (x) (1-cos 2ax) sin 2ax (1 cos 2ax) sin 2ax- cos 2ax sin (2ax- ) 因为 f (x)的周期为 ， a 0，所以 a 1 7分 ( ) 由 ( )得 f (x) sin (2x- ) ， 所以 f (x)的值域为 ， 14分 考点：本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力。 点评：三角函数公式较多，要仔细选择，灵活应用，此类问题一般难度不大 . 已知
16、 A， B， C， D， E， F是边长为 1的正六边形的 6个顶点，在顶点取自A， B， C， D， E， F的所有三角形中，随机 (等可能 )取一个三角形设随机变量 X为取出三角形的面积 ( ) 求概率 P ( X )； ( ) 求数学期望 E ( X ) 答案： ( ) ( ) 试题分析： ( ) 由题意得取出的三角形的面积是 的概率 P ( X ) 7分 ( ) 随机变量 X的分布列为 X P 所以 E ( X ) 14分 考点：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。 点评：求解此类问题时，要分清事件类型，再用相应的概率
17、公式求解；写分布列时，步骤要规范，数据要准确 . 如图，平面 ABCD 平面 ADEF，其中 ABCD为矩形， ADEF为梯形， AF DE， AF FE， AF AD 2 DE 2 ( ) 求异面直线 EF与 BC所成角的大小； ( ) 若二面角 A-BF-D的平面角的余弦值为 ，求 AB的长 答案： ( ) 30( ) 试题分析： ( ) 延长 AD， FE交于 Q 因为 ABCD是矩形，所以 BC AD， 所以 AQF是异面直线 EF与 BC所成的角 在梯形 ADEF中，因为 DE AF， AF FE， AF 2， DE 1得 AQF 30即异面直线 EF与 BC所成角的大小为 30.
18、7分 ( ) 方法一： 设 AB x取 AF的中点 G由题意得 DG AF 因为平面 ABCD 平面 ADEF， AB AD，所以 AB 平面 ADEF， 所以 AB DG所以 DG 平面 ABF 过 G作 GH BF，垂足为 H，连结 DH，则 DH BF， 所以 DHG为二面角 A-BF-D的平面角 在直角 AGD中， AD 2， AG 1，得 DG 在直角 BAF中，由 sin AFB ，得 ， 所以 GH 在直角 DGH中， DG ， GH ，得 DH 因为 cos DHG ，得 x ， 所以 AB 15分 方法二：设 AB x 以 F为原点， AF， FQ所在的直线分别为 x轴， y
19、轴建立空间直角坐标系Fxyz则 F(0， 0， 0)， A(-2， 0， 0)， E( ， 0， 0)， D(-1， ， 0)， B(-2， 0， x)， 所以 (1， - ， 0)， (2， 0， -x) 因为 EF 平面 ABF，所以平面 ABF的法向量可取 (0， 1， 0) 设 (x1， y1， z1)为平面 BFD的法向量，则 所以，可取 ( ， 1， ) 因为 cos ，得 x ， 所以 AB 15分 考点：本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。 点评：如何用传统的方法求解此类问题，要紧扣相应的判定
20、定理和性质定理，还要注意各类角的取值范围；如果用空间向量求解，思路比较简单，但是运算比较复杂，要仔细运算 . 如图， F1， F2是离心率为 的椭圆 C： (a b 0)的左、右焦点，直线： x - 将线段 F1F2分成两段，其长度之比为 1 : 3设 A， B是 C上的两个动点，线段 AB的中垂线与 C交于 P， Q两点，线段 AB的中点 M在直线 l上 ( ) 求椭圆 C的方程； ( ) 求 的取值范围 答案： ( ) ( ) ， ） 试题分析： ( ) 设 F2(c， 0)，则 ，所以 c 1 因为离心率 e ，所以 a 所以椭圆 C的方程为 6分 ( ) 当直线 AB垂直于 x轴时，直
21、线 AB方程为 x - ，此时 P( ， 0)、Q( ,0) 当直线 AB不垂直于 x轴时，设直线 AB的斜率为 k， M(- ， m) (m0)， A(x1，y1)， B(x2， y2) 由 得 (x1 x2) 2(y1 y2) 0， 则 -1 4mk 0，故 k 此时，直线 PQ斜率为 ， PQ的直线方程为 即 联立 消去 y，整理得 所以 ， 于是 (x1-1)(x2-1) y1y2 令 t 1 32m2， 1 t 29，则 又 1 t 29，所以 综上， 的取值范围为 ， ） 15分 考点：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查几何的基本思想方法和综合解题
22、能力。 点评：圆锥曲线问题每年高考都在压轴题的位置出现，难度较大，但是一般也离不开直线与圆联立方程，运算量较大，要注意数形结合、设而不求等方法的应用 . 已知函数 f (x) x3 (1-a)x2-3ax 1， a 0 ( ) 证明：对于正数 a，存在正数 p，使得当 x 0， p时，有 -1f (x)1； ( ) 设 ( )中的 p的最大值为 g(a)，求 g(a)的最大值 答案： ( )先利用导数求出单调区间，再分情况证明； ( ) 试题分析： ( ) 由于 f (x) 3x2 3(1-a)x-3a 3(x 1)(x-a)，且 a 0， 故 f (x)在 0， a上单调递减，在 a， )上
23、单调递增 又 f (0) 1， f (a) - a3- a2 1 (1-a)(a 2) 2-1 当 f (a)-1时，取 p a 此时，当 x 0， p时有 -1f (x)1成立 当 f (a) -1时，由于 f (0) 1 2 0， f (a) 1 0， 故存在 p (0， a)使得 f (p) 1 0 此时，当 x 0， p时有 -1f (x)1成立 综上，对于正数 a，存在正数 p，使得当 x 0， p时，有 -1f (x)1 7分 ( ) 由 ( )知 f (x)在 0， )上的最小值为 f (a) 当 0 a1时， f (a)-1，则 g(a)是方程 f (p) 1满足 p a的实根， 即 2p2+3(1-a)p-6a 0满足 p a的实根，所以 g(a) 又 g(a)在 (0， 1上单调递增，故 g(a)max g(1) 当 a 1时， f (a) -1 由于 f (0) 1， f (1) (1-a)-1 -1，故 0， p 0， 1 此时， g(a)1 综上所述， g(a)的最大值为 15分 考点：本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。 点评：研究函数的性质往往离不开导数，导数是研究函数性质的有力工具，要灵活运用；另外，函数如果含参数，一般离不开分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏 .
