1、2013届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知复数 A 2 B -2 C D 答案： A 试题分析：根据题意可知，由于 那么代入到关系式中，故选 A. 考点：本试题考查了复数的运算。 点评：对于复数的运算，一般主要是加减法和乘除法的考查，将已知的代数式代入，结合除法的运算化简得到结论，属于基础题。 已知圆 C: ,从动圆 M:上的动点 P向圆 C引切线，切点分别是E,F，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据题意圆 C: ,其圆心为（ 4， 0），半径为 2，从动圆 M: ，那么动圆的圆心（ 4+7 ,7） ,那么可知两个圆心的
2、距离为定值，且为 ,连接两圆心与动圆的交点 P，此时满足 取得最小值，且为 ，故选 A. 考点：本试题考查了直线与圆的位置关系的知识。 点评：对于利用直线与圆相切的问题，一般要用到切线长定理，以及直线与圆的相切时特殊的直角三角形关系，借助于圆心坐标和动点坐标发现规律，两点的距离为定值，来分析最小值。 已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据题意可知， ABC的中心为 O，连 CO并延长交 AB于 D，过 B1作 B1E AB交 AB的延长线于 E，再过 B1作 B1F 平面 ABC交平面
3、ABC于F。 设 AB a。 AB AC BC a， O是 ABC的中心， CD AD、 AD BD， CD 显然有： 。 O是 在平面 ABC上的射影， O 平面 ABC， AD ，又AD CD、 CD O， AD 平面 ， AD 。 由 a、 AD 、 ，得： 。 平面 ABC， 由 、 、 ，得 ： 、 ， 是三棱柱， 。 由 , 得： 是平行四边形， 、=a显然，有： AE AD DE a 。 平面 ABC, 平面 ABC， ， 共面。 是三棱柱， 平面 ABC，而平面 ABC平面 OF， OF。由 、 OF，得： 是平行四边形， 平面 ABC， AF。，得： sin 考点：本试题考查
4、了线面角的求解知识。 点评：对于该试题中的线面角的求解，关键是建立线面垂直的背景，同时根据已知的边长和侧棱长的关系式得到角度，进而求解运算，属于难度试题。 已知 O是坐标原点， ,若点 为平面区域 上一动点，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意可知，点 B在区域为直角三角形，那么点 ，因此设 可知 ，则目标函数为二元一次函数，那么借助于直线的截距的变换情况，平移直线 z=y-x,然后当直线平移到点（ 1， 1）点时最小为 0，平移到点（ 0， 2）时目标函数最大，且为 2，故选 C. 考点：本试题考查了线性规划的简单运用。 点评：解决该试题的关键是能准确的表示
5、不等式组的区域，同时能利用向量的数量积公式表示出目标函数，然后借助于直线的截距变化来分析得到最值，属于中档题。 一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于根据三视图的特点可知，该几何体是一个简单的组合体，上面是四棱锥，下面是圆柱体，且棱锥的底面为正方形，边长为 ，高为 ，圆柱体的底面的半径为 1，高位 2，因此可知其体积为，故选 A. 考点：本试题考查了空间几何体体积的知识。 点评：根据已知的三视图，分析得到原几何体是一个四棱锥和一个圆柱体的组合体。进而结合柱体的体积公式和锥体的体积公式来求解得到。关键是弄清楚各个几何体的高度和底面的边长和圆
6、的半径，属于中档题。 若函数 对称，那么 =( ) A B - C 1 D -1 答案： D 试题分析：因为对称轴的特点就是在该点处函数值为最值，那么因为 函数 ，所以说明了,或者利用函数在 时取得最值为，这样做也行，故选 D. 考点：本试题考查了三角函数性质的知识。 点评：根据已知中三角函数的一条对称轴，那么可知在该点的函数值为最值，代入得到关于 a的关系式来求解得到，属于基础题。可以运用特例法来得到参数的值，更快。 已知双曲线 的右焦点是 F, 过点 F且倾角为 600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（ ） A B (1,2) C D 答案： C 试题分析：
7、若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围 因为双曲线 的右焦点是 F, 若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，故选 C. 考点：本题考查双曲线的性质及其应用 点评：解题时要注意挖掘隐含条件 ,根据直线的斜率与双曲线的渐近线斜率的关系来分析，从而得到双曲线的离心率的取值范围，属于中档题。 若对 恒成立，则三角形 ABC是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定形状的三角形 答案： B 试题分析：根
8、据已知条件， ，故有 则无论 k取得何值，不等式恒成立，那么可以看做一元二次不等式，那么判别式小于等于零即可。或者利用向量的减法几何意义 ,差向量的模始终大于等于，则只有角 C为直角的时候，斜边大于直角边，那么可知三角形是直角三角形，故选 B. 考点：本试题考查了向量的几何意义的运用。 点评：利用向量的数量积的性质，两边平方，将模长的问题转换为二次函数的思想来得到三角形的形状。属于中档题。 已知函数 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于函数 而 表示的为圆心在原点的单位圆的四分之一的面积为 ，因此相加得到为 ，选 B. 考点：本试题考查了定积分的运算。 点评：对于分段函数的定积分
9、的运算，注意要利用定积分的性质，将给定的积分区间分情况讨论，得到相应的被积函数的定积分，运用微积分基本定理来求解运用，属于基础题。 函数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据已知条件，由于函数 是有函数递增对数函数和递增的一次函数的组合的基本初等函数，那么整个函数递增，当 ,同时 因此可得零点所在的区间为 C. 考点：本试题考查了零点的概念运用。 点评：对于零点所在的区间的求解，关键是看区间的端点值函数值 是否为异号，如果满足这点，同时是连续函数，则说明该区间即为所求，如果不满足，则不是所求的区间。属于基础题。 下列命题中，是真命题的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析
10、：对于 A，由于同角的平方和为 1，那么因此说不成立。错误 对于 B，由于当 错误。 对于 C中， 恒成立，则说明 故正确。 对于 D，由于 错误，故选 C. 考点：本试题考查了全称命题和特称命题的知识点。 点评：对于命题的真值的判定，一要根据已有的结论和定理来判定，二对于错误的命题，主要举出反例即可。属于基础题。 设集合 M=xx2013, 则可知 ,故 n=63那么可知输出的 n为 63. 考点：本试题考查了框图的运用。 点评：解 决该框图的关键是对于循环结构的理解，表示的为连续 n个自然数的和与不等式的关系的综合运用。因此要列出不等式，进而求解得到。属于中档题。 函数 的值域是 _ 答案
11、： 试题分析：由条件可知 ,结二倍角公式，化为单一函数的形式，即为 当 时，则 ，则可知 故 f(x)的值域为 。 考点：本试题考查了三角函数的值域的求解。 点评：对于给定的表达式的研究三角函数的性质，一般是将原函数变形为单一三角函数，或者是形如二次的函数，然后借助于三角函数或者二次函数的性质来求解得到，属于中档题。 将 5名大学生 分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同分配方案的种数是 _(用数字作答 ) 答案： 试题分析：将 5名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，相当于将 5分为三组，每组至少一个人，那么 5=1+1+3=2+2+1，则根据等分和不等分的情况来分
12、别讨论，得到： ，共有 150种。 考点：本试题考查了分配问题的实际运用。 点评：对于分组分配问题的求解主要考虑情况的完备性，以及等分时候，分堆的准确性，是解决该试题的关键，也是易错点，因此要加以准确的理解和运用，属于中档题。 解答题 本小题满分 10分） 已知直线 l经过点 P（ ， 1），倾斜角 ，在极坐标系下，圆 C的极坐标方程为 。 （ 1）写出直线 l的参数方程，并把圆 C的方程化为直角坐标方程； （ 2）设 l与圆 C相交于 A， B两点，求点 P到 A， B两点的距离之积。 答案： (1) 直线 L参数方程是 圆的普通方程是 (2) 试题分析：（ 1）直线 L参数方程是 圆的普通
13、方程是 5 分 （ 2）又 代入 得： 10 分 考点：本试题考查了直线与圆的位置关系的运用。 点评：熟练的表示直线的参数方程，以及将极坐标方程能化为普通方程，这是基本的知识点，那么在研究直线与圆的相交弦的长度的时候，可以借助于参数方程中 t的几何意义，和韦达定理快速得到结论。属于基础题。 （本小题满分 10分） 如图，四边形 ACBD内接于圆，对角线 AC与 BD相交于 M， AC BD， E是 DC中点连结 EM交 AB于 F，作 OH AB于 H， 求证：（） EF AB （） OH ME 答案： (1)根据对顶角，和同弧所对的圆周角相等来证明。 （ 2）根据平行四边形的性质来证明角相等
14、。 试题分析：（ 1） 5 分 （ 2） 连结 HM，并延长交 CD于 G，又（ 1）的证法，可证 OE HG ， 是平行四边形 10 分 考点：本试题考查了平面几何的运用。 点评：对于平面几何中的线段的相等，一般通过证明角相等来得到边相等。同时垂直的证明，只要证明三角形中其余的两个角和为直角即可。属于基础题。 （本小题满分 12分）设函数 （ 1）若 ； （ 2）若 答案： (1) (2)试题分析：（ 1） 4 分 （ 2） 因为 （ i）当 上是增函数， 此时 恒成立 8 分 （ ii）当 , 令 ， 易得 这与已知相悖 综上所述： 12 分 考点：本试题考查了导数在函数中的运用。 点评：
15、导数做为一种工具，出现在函数中，主要处理一些关于函数单调性的问题，以及函数的最值和极值问题的运用。对于不等式的恒成立问题，通常要构造函数，分离参数的思想来求解函数的最值来得到。属于难度试题。 （本小题满分 12分） 抛物线的顶点在原点，焦点在 x轴的正半轴上，直线 x+y-1=0与抛物线相交于A、 B两点，且 。 (1) 求抛物线方程； (2) 在 x轴上是否存在一点 C,使得三角形 ABC是正三角形 若存在，求出点 C的坐标，若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） （ 2）故在 x轴上不存在一点 C, 使三角形 ABC是正三角 形 试题分析：（ 1）设抛物线方程为 得： 设 则 抛物线方程是
16、 6 分 （ 2）设 AB的中点是 D，则 假设 x轴上存在一点 C(x0, 0) 因为三角形是正三角形， 所以 CD AB 得： 又 矛盾，故在 x轴上不存在一点 C, 使三角形 ABC是正三角形 12 分 考点：本试题考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系。 点评：几何的本质就是运用代数的方法，结合坐标来分析几何中的图形的性质。因此设而不求的思想，是几何中解答题的必须步骤，同时结合 韦达定理来实现坐标关系，属于中档题。 （本小题满分 12分） 如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面 ABCD是边长为 1的菱形， BCD=60 ， E是 CD的中点， PA 底面 ABCD， PA=2.
17、 （ 1）证明：平面 PBE 平面 PAB； （ 2）求平面 PAD和平面 PBE所成二面角的正弦值。 答案：（ 1）根据面面垂直的判定定理来分析得到证明。主要是证明 AH平面 PBE （ 2） 试题分析：（）略 5 分 （）延长 AD， BE相交于，联结 PF，过 A作 AH PB于 H, 平面 PBE 平面 PAB知， AH 平面 PBE， 过 H作 HG PF于联结 AG, 则 AGH为所求锐二面角的平面角 8 分 计算略 sin AGH= 12 分 法 2 向量法（略） 考点：本试题考查了面面垂直和线面角的求解。 点评：对于立体几何中面面垂直的证明，一般可以通过两种方法来得到。几何法，
18、就是面面垂直的判定定理，或者运用向量法来得到，同理对于角的求解也是这样的两种方法，进而反而系得到结论。属于中档题。 （本小题满分 12分） 某班 50位学生期中考试数学成 绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： . （ 1）求图中 x的值； （ 2）从成绩不低于 80分的学生中随机选取 2人，该 2人中成绩在 90分以上（含 90分）的人数记为 ，求 的分布列和数学期望。 答案：（ 1） 0.018（ 2） 试题分析：（ 1） 得 x=0.018 4 分 2）由已知得，不低于 80分的学生为 12人， 90分以上为 3人，随机变量 的可能取值是 0， 1， 2 10 分 E = 12
19、 分 考点：本试题考查了频率分布直方图的知识。 点评：根据直方图的特点，方形的面积代表频率，进而利用各个方形的面积和为 1，得到 x的取值。同时能结合分层抽样的方法，等比例性到各个区间的抽取的人数，然后利用古典概型概率的公式来求解，属于中档题。 （本小题满分 12分）在数列 中， ，并且对于任意 n N*，都有 （ 1）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式； （ 2）设数列 的前 n项和为 ，求使得 的最小正整数 . 答案： (1) (2) 91 试题分析：解： (1) ，因为 ，所以 ， 数列 是首项为 1，公差为 2的等差数列， ，从而 6 分 (2) 因为 所以 ， 由 ， 得 ， 最
20、小正整数 为 91.12 分 考点：本试题考查了数列的通项公式和求和的运用。 点评：对于已知等差数列和等比数列的通项公式的求解，主要是求解两个基本元素，解方程组得到结论。而对于一般的数列求和思想，主要是分析其通项公式的特点，选择是用错位相减法还是裂项法，还是倒序相加法等等的求和方法来得到。属于中档题。 （本小题满分 10分） （ 1）解不等式 （ 2）设 x， y， z 且 ，求 的最小值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） 5分 （ 2） 10 分 注：考生未指出等号成立的条件，应扣 2分 考点：本试题考查了绝对值不等式的求解。 点评：解决绝对值不等式的的求解和证明，也是不等式的考查的两个方向。对于求解，主要是对于绝对值符号，利用定义法，或者平方法的思想去掉绝对值符号，这是问题的实质。同时要能合理的运用均值不等式来求解最值，这是一个难点。属于中档题。
