1、2013届陕西长安一中等五校高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若集合 , ,则 【 】 . A B C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于集合 = x| ,= x| ,那么可知 ，选 A. 考点：交集运算 点评：解决的关键是根据不等式的求解来得到集合，同时结合交集的定义求解，属于基础题。 一个赛跑机器人有如下特性： (1)步长可以人为地设置成 米 , 米 , 米 , 米或 米； (2)发令后 ,机器人第一步立刻迈出设置的步长 ,且每一步的行走过程都在瞬时完成； (3)当设置的步长为 米时 ,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 秒 则这个机器人跑 米 (允许超出 米 )
2、所需的最少时间是【 】 . A 秒 B 秒 C 秒 D 秒 答案： A 试题分析：根据题意，由于当设置的步长为 米时 ,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 秒这个机器人跑 米 (允许超出 米 )所需的最少时间，则说明了迈出的步长可以设置为 1.9，然后借助于等差数列的通项公式可知，当 50=1.9t,可知事件最小值为 48.6，故选 A. 考点：数列的运用 点评：解决的关键是理解机器人跑 n 米所用的时间的最小值问题，属于基础题。 设 , 分别为双曲线 的左 ,右焦点 .若在双曲线右支上存在一点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长 ,则该双曲线的离心率为【 】 . A B C D 答
3、案： B 试题分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a与 b之间的等量关系，进而求出离心率解：依题意 |PF2|=|F1F2|，可知三角形 PF2F1是一个等腰三角形， F2在直线 PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知 4b-2c=2a，整理得 c=2b-a，代入 c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得 ，故可知双曲线的离心率为 ，选 B. 考点：双曲线的性质 点评：解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题。 “ ”是 “直线 : 与 : 平行 ”的【 】 . A充分不必要条件 B必要不充
4、分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据题意，当直线 : 与 : 平行时，则满足斜率相等，截距不同，可以得到为 -，因此可知条件可以推出结论，反之不成立，故选 A. 考点：充分条件 点评：考查了两条直线的平行，根据 若数列 满足 ,且 ,则使 的 值为【 】 . A B C D 答案： D 试题分析：根据题意，由于数列 满足 ,且 ，所以，故可知数列的公差小于零，同时首项大于零，因此可知 ，解得满足题意的k值为 ，故选 D. 考点：数列的通项公式的运用 点评：解决的关键是根据数列的关系式来得到相邻项的符号问题，求解，属于基础题。 按右面的程序框图运行后 ,输出
5、的 应为【 】 . A B C D 答案： C 试题分析：根据题意，由于起始变量为 S=0,i=1,那么可知， T=2,S=2， i=2;第二次循环得到： T=5,S=7， i=3; ;第三次循环得到： T=8,S=15， i=4; ;第四次循环得到： T=11,S=26， i=5; 第五次循环得到： T=14,S=40， i=6，停止循环输出 S=40，故答案：为 C. 考点：程序框图 点评：本题考查循环结构，解本题的关键是看懂程序执行的过程，读懂其运算结构及执行次数 函数 是【 】 . A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的偶函数
6、答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 是 ，因此排除线线 A,B，然后对于选项 C， D，由于正弦函数周期为 ，那么利用图像的对称性可知，函数的周期性为 ，故选 C. 考点：函数的奇偶性和周期性 点评：解决的关键是根据已知函数式俩分析确定奇偶性，那么同时结合图像的变换来得到周期，属于基础题。 若 的三个内角满足 ,则 （ ） . A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形 ,也可能是钝角三角形 答案： C 试题分析：先根据正弦定理及题设，推断 a： b： c=5： 11： 13，再通过余弦定理求得 cosC 的值小于零，推断 C 为钝角又 sinA： s
7、inB： sinC=5： 11： 13, a：b： c=5： 11： 13， ,设 a=5t， b=11t， c=13t（ t0） , c2=a2+b2-2abcosC,解得cosC0，因此可知角 C为钝角故选 C. 考点：余弦定理 点评：本题主要考查余弦定理的应用注意与正弦定理的巧妙结合 若三棱锥的三视图如右图所示 ,则该三棱锥的体积为【 】 . A B C D 答案： D 试题分析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥： PO 平面 ABC，PO=4， AO=2， CO=3， BC AC， BC=4据此可计算出该几何体的体积 解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥： PO 平面 AB
8、C， PO=4，AO=2， CO=3， BC AC， BC=4，故可知体积为 ，故选 D. 考点：三棱锥的体积 点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键 若复数 满足 : ,则复数 的共轭复数 【 】 . A B C D 答案： B 试题分析：由于已知条件可知，复数 满足 : ,，则可知，复数 的共轭复数 ，故选 B. 考点：共轭复数 点评：解决的关键是根据复数的除法运算来得到 z，进而根据共轭复数的概念来求解，属于基础题。 填空题 请考生从以下三个小题中任选一个作答 ,若多选 ,则按所选的第一题计分 . A.(不等式选讲 )若实数 满足 ,则 的最大值为_. B.(几何证明选讲 )以
9、的直角边 为直径的圆 交 边于点 ,点 在上 ,且 与圆 相切 .若 ,则 _. C.(坐标系与参数方程 )在极坐标系中 ,曲线 与直线的两个交点之间的距离为 _. 答案： A. B. C. 试题分析： A:根据题意，由于实数 满足 ,故可知有故可知 =3（ a+b+c） +b+2c，根据均值不等式来求解得到最大值为 B、根据题意，由于以 的直角边 为直径的圆 交 边于点 ,点在 上 ,且 与圆 相切 .根据弦切角定理，以及直径所对的圆周角为直角，那么若 ,则 。 C、根据题意，由于 ,曲线 ，即为 为圆心，半径为 与直线 ，即为 分别表示的为圆和直线，那么利用直线于圆的位置关系，得到弦长为
10、。 考点：不等式选讲，参数方程，几何证明 点评：解决的关键是对于均值不等式的运用，以及极坐标方程的理解和运用，属于基础题。 若曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 ,则_. 答案： 试题分析：根据题意，求解导数，那么可知， ，所以 ，因此可知在点点 处的切线的斜率为 ，则有点斜式方程可知，分别令 x=0,y=0来得到截距，利用截距的绝对值来求解三角形的边长得到面积，可知参数 m的知为 64. 考点：导数的几何意义 点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键 若实数 满足 ,且 ,则 的取值范围是_. 答案： 试题分析：根据题意，由于实数 满足 ,且 ,则利
11、用平行线围成的图形的边界点可知， 当过点（ 3， 1）点时，则取得最小值，当过点（ -2， 1）时目标函数取得最大值，故可知为 8，由于边界是虚线可知范围是 。 考点：线性规划的最优解 点评：解决的关键是根据不等式表示的平面区域，结合线性规划的最优解来得到。属于基础题。 若向量 , ,则 的最大值为 . 答案： 试题分析：根据题意，由于向量 , ,则可知 =，那么化为单一函数可知 ，可知最大值为 3，故填写 3. 考点：向量的数量积 点评 ：解决的关键是对于向量的数量积的坐标运算以及数量积的性质的运用，属于基础题。 在 的展开式中 ,常数项为 . 答案： 试题分析：根据题意，由于 展开式可知，
12、当 r=2时，可知得到常数项为 15.故答案：填写 15. 考点：二项式定理 点评：解决的关键是通过其通项公式来得到未知数的次数为零时对应的项，属于基础题。 解答题 某同学在一次研究性学习中发现 ,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ； ； ； ； . (1)从上述五个式子中选择一个 ,求出常数 ； (2)根据 (1)的计算结果 ,将该同学的发现推广为一个三角恒等式 ,并证明你的结论 . 答案： 试题分析：解 :(1)选择 式计算 :.4 分 (2)猜想的三角恒等式为 : .6 分 证明 : . 12分 考点：类比推理 点评：解决的关键是西欧那个已知关系式的特殊的角和结构来推理得到一般式，属
13、于中档题。 如图 ,在长方体 中 , 点 在棱 上 . (1)求异面直线 与 所成的角； (2)若二面角 的大小为 ,求点 到面 的距离 . 答案：（ 1）对于异面直线的所成的角，一般采用平移法，平移到一个三角形中，借助于余弦定理求解。 （ 2） 试题分析：解法一 :(1)连结 .由 是正方形知 . 平面 , 是 在平面 内的射影 . 根据三垂线定理得 , 则异面直线 与 所成的角为 . 5分 (2)作 ,垂足为 ,连结 ,则 . 所以 为二面角 的平面角 , .于是, 易得 ,所以 ,又 ,所以 . 设点 到平面 的距离为 ,则由于 即, 因此有 ,即 , .12 分 解法二 :如图 ,分别
14、以 为 轴 , 轴 , 轴 ,建立空间直角坐标系 . (1)由 ,得 , 设 ,又 ,则 . ,则异面直线 与 所成的角为 . 5分 (2) 为面 的法向量 ,设 为面 的法向量 ,则 , . 由 ,得 ,则 ,即 , 由 、 ,可取 ,又 , 所以点 到平面 的距离 . 12分 考点：异面直线所成的角，点到面的距离 点评：考查了异面直线所成的角以及点到面的距离的求解，属于基础题。 某校设计了一个实验考查方案 :考生从 道备选题中一次性随机抽取 道题 ,按照题目要求独立完成全部实验操作 .规定 :至少正确完成其中 道题的便可通过 .已知 道备选题中考生甲有 道题能正确完成 , 道题不能完成；考
15、生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响 . (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列 ,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力 . 答案：（ 1） 考生甲正确完成题数的概率分布列为 1 2 3 . 3分 考生乙正确完成题数的概率分布列为 : 0 1 2 3 （ 2）甲获得通过的可能性大 .因此可以判断甲的实验操作能力较强 试题分析：解 :(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为 , ,则 取值分别为； 取值分别为 . , , . 考生甲正确完成题数的概率分布列为 1 2 3 . 3分 , 同理 : , , . 考生乙正确完成题数的概率分布列为 :
16、 0 1 2 3 . 7分 (2) , .（或） . . , , . 10分 从做对题数的数学期望考察 ,两人水平相当；从做对题数的方差考察 ,甲较稳定；从至少完成 相关试题 2013届陕西长安一中等五校高三第二次模拟考试理科数学试卷（带） 在数列 中 , ,且对任意的 都有 . (1)求证 : 是等比数列； (2)若对任意的 都有 ,求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）取倒数，则可知 ，陪凑变形来得到证明。 （ 2） 试题分析：解 :（ 1）根据题意，由于 ，故结合等比数列的定义可知满足题意，故可知 是等比数列。 (2)由 (1)可得 ,即 , , 于是所求的问题 :“对任意的 都有 成立
17、 ”可以等价于问题 :“对任意的 都有 成立 ”. 若记 ,则 显然是单调递减的 ,故 . 所以 ,实数 的取值范围为 . 12分 考点：等比数列的定义，以及数列的单调性 点评：解决的关键是根据数列的递推关系，以及数列的单调性来求解，属于基础题。 已知椭圆 : 的离心率为 ,过右焦点 且斜率为 的直线交椭圆 于 两点 , 为弦 的中点 , 为坐标原点 . (1)求直线 的斜率 ； (2)求证 :对于椭圆 上的任意一点 ,都存在 ,使得成立 . 答案： (1) (2) 显然 与 可作为平面向量的一组基底 ,由平面向量基本定理 ,对于这一平面内的向量 ,有且只有一对实数 ,使得等式 成立 .,那么
18、设出点 M的坐标，结合向量的坐标关系来证明。 试题分析：解 :(1)设椭圆的焦距为 ,因为 ,所以有 ,故有. 从而椭圆 的方程可化为 : 知右焦点 的坐标为 ( ),据题意有 所在的直线方程为 : . 由 , 有 : . 设 ,弦 的中点 ,由 及韦达定理有 : 所以 ,即为所求 . 5分 (2)显然 与 可作为平面向量的一组基底 ,由平面向量基本定理 ,对于这一平面内的向量 ,有且只有一对实数 ,使得等式 成立 .设,由 (1)中各点的坐标有 : ,故 . 7分 又因为点 在椭圆 上 ,所以有 整理可得 : . 由 有 : .所以 又点在椭圆 上 ,故有 . 将 , 代入 可得 : . 1
19、1分 所以 ,对于椭圆上的每一个点 ,总存在一对实数 ,使等式 成立 ,且 . 所以存在 ,使得 .也就是 :对于椭圆 上任意一点 ,总存在 ,使得等式 成立 . 13分 考点：椭圆的方程和性质，以及向量的加减法 点评：解决的关键是根据椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 设函数 有两个极值点 ,且 . (1)求实数 的取值范围； (2)讨论函数 的单调性； (3)若对任意的 ,都有 成立 ,求实数 的取值范围 . 答案： (1) (2) 当 时 , ,即 在区间 上单调递增； 当 时 , ,即 在区间 上单调递减； 当 时 , ,即 在区间 上单调递增 (3) 试题分析：解
20、 :(1)由 可得. 令 ,则其对称轴为 ,故由题意可知 是方程的两个均大于 的不相等的实数根 ,其充要条件为 ,解得. 5分 (2)由 (1)可知 ,其中 ,故 当 时 , ,即 在区间 上单调递增； 当 时 , ,即 在区间 上单调递减； 当 时 , ,即 在区间 上单调递增 . 9分 (3)由 (2)可知 在区间 上的最小值为 . 又由于 ,因此 .又由 可得,从而 . 设 ,其中 , 则 . 由 知 : , ,故 ,故 在 上单调递增 . 所以 , . 所以 ,实数 的取值范围为 . 14分 (事实上 ,当 时 , ,此时 .即 ,“ ”是其充要条件 .) 考点：导数的运用 点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定，以及运用导数的知识来求解最值，属于中档题。
