1、2014届上海市虹口区高三 5月模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 如图，已知点 ，正方形 内接于 ， 、 分别为边 、 的中点，当正方形 绕圆心 旋转时， 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ， ，则，由于 ， ，所以 的最大值为 2，最小值为 ，即 . 也可以这样做， 且长度为 1，可设 ，然后用坐标求解 .答案：选 . 考点：向量的线性表示，与向量的数量积及其性质 . 如果函数 在 上的最大值和最小值分别为 、 ，那么.根据这一结论求出 的取值范围（ ） . A B C D 答案： B 试题分析：函数 在区间 上最大值为 1，最小值为 ，即，所以
2、， ，即 取值范围为 ，选 B. 考点：新定义概念与函数的最值 . “ ”是 “函数 （ ）在区间 上为增函数 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 时， 在 上为增函数； 反之， 在区间 上为增函数，则 ，故选 . 考点：充分与必要条件 . 已知 为实数，若复数 是纯虚数，则 的虚部为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 则 ， ，选 . 考点：复数的概念 . 填空题 是第二象限角，则 是第 象限角 答案：一或三 试题分析： 是第二象限角，则有 ，于是，因此 是第一、三象限角 考点：象限角的概念 在区间 上，关
3、于 的方程 解的个数为 答案： 试题分析：令 ， ，则 ， 化为 ， 考察 的上半圆与函数 的图象可知有一个公共点， 故关于 的方程 有 个解 . 考点：方程的解与曲线的交点 . 设 为实数，且满足： ， ，则 . 答案： 试题分析： ， 令 ，则 是递增函数，且 则 ，即 . 考点：函数的单调性与函数值 . 是双曲线 的右支上一点， 、 分别是圆 和上的点，则 的最大值等于 . 答案： 试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点， ，再根据双曲线的定义得 的最大值为. 考点：双曲线的定义，距离的最值问题 . 棱长为 1的正方体 及其内部一动点 ，集合,则集合 构成的几何体表面积为 . 答案： 试题
4、分析： . 考点：几何体的表面积 . 一个口袋内有 4个不同的红球， 6个不同的白球，若取一个红球记 2分，取一个白球记 1分，从中任取 5个球，使总分不少于 7分的取法有多少种 . 答案： 试题分析：设取红球 个，白球 个，则 ，取法为 . 考点：古典概型 . 已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点 ，极轴与 轴的非负半轴重合 .若直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为为参数，且 ，则直线 与曲线 的交点的直角坐标为 . 答案： 试题分析：由题意直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为，联立方程组解得 或 ，因为 ，所以解为 ，即交点为 . 考点：极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普
5、通方程的互化，曲线的交点 . 复数 满足 ，则此复数 所对应的点的轨迹方程是 . 答案： 试题分析：设 ，则由题意得 ，即，化简得 考点：复数的模 已知全集 ，集合 , ,若 ，则实数 的值为 . 答案： 试题分析：由题意 ，则 ，由得 ，解得 考点：集合的运算 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 答案： 试题分析：设底面半径为 ，则它们的高 ， ， ，所以 . 考点：旋转体的体积 已知 ，则 的值为 . 答案： 试题分析：设 ，即 ， 则 . 考点：三角函数的变形与求值 定义在 上的奇函数 ， ，且当 时， （ 为常数），则 的值
6、为 . 答案： 试题分析：由题意， ， ，则, ，当 时， ， . 考点：奇函数的定义与性质，函数值 . 公差不为零的等差数列 中， ，数列 是等比数列，且，则 等于 . 答案： 试题分析：等差数列 中， ，则 ， ，取，则 . 考点：等差数列与等比数列的性质 . 已知等差数列 的通项公式为 ，则 的展开式中 项的系数是数列 中的第 项 答案： 试题分析： 项的系数为 ， ，则 . 考点：二项展开式的系数，数列的项与项数 . 解答题 如图，直四棱柱 底面 直角梯形， ， 是棱 上一点， ， ， ， ，. （ 1）求异面直线 与 所成的角； （ 2）求证： 平面 . 答案： (1) ;（ 2）证
7、明见 . 试题分析：（ 1）本题中由于有 两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（ 2）同（ 1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直， ， ，易得 当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先 ，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形 通过计算利用勾股定理证明， ，因此 ，得证 . （ 1）以 原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 .则 ， ， ， . 3分 于是 , , , 异面直线 与 所成的角的大小等于 . 6分 （ 2）过 作 交 于 ，在 中， ， ，则， ， ， ， 10分 ， .又 ， 平面 . 12
8、分 考点：（ 1）异面直线所成的角；（ 2）线面垂直 . 已知数列 和 满足： ，其中 为实数， 为正整数 . （ 1）对任意实数 ，求证： 不成等比数列； （ 2）试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论 . 答案：（ 1）证明见；（ 2）当 时，数列 是等比数列 . 试题分析：（ 1）证明否定性命题，可用反证法 .如本题中可假设存在 ，使成等比数列，则可由 来求 ，若求不出，说明假设错误，结论是不存在， ，但这个式子化简后为 ，不可能成立，即不存在；（ 2）要判定 是等比数列，由题意可先求出 的递推关系，这时还不能说明 就是等比数列，还要求出 ， ，只有当 时，数列 才是等比数列，因此当
9、 时， 不是等比数列，当 时， 是等比数列 . （ 1）证明：假设存在一个实数 ，使 是等比数列，则有 , 即 矛盾 . 所以 不成等比数列 . 6分 （ 2）因为 9分 又 , 所以当 ， ， ( 为正整数 )，此时 不是等比数列： 11分 当 时， ，由上式可知 ， ( 为正整数 ) ， 故当 时，数列 是以 为首项， - 为公比的等比数列 . 14分 考点：（ 1）反证法；（ 2）等比数列的判定 . 如图， 、 是两个小区所在地， 、 到一条公路 的垂直距离分别为， ， 两端之间的距离为 . （ 1）某移动公司将在 之间找一点 ，在 处建造一个信号塔，使得 对 、的张角与 对 、 的张角
10、相等，试确定点 的位置 . （ 2）环保部门将在 之间找一点 ，在 处建造一个垃圾处理厂，使得 对、 所张角最大，试确定点 的位置 . 答案： (1) ；（ 2） 试题分析：（ 1）设 ，我们只要利用已知 列出关于 的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义， ，因此有 ，解之得；实际上本题可用相似形知识求解， ，则 ，由引开出方程解出 ；（ 2）要使得 最大，可通过求 ，因为，只要设 ，则 都可用 表示出来，从而把问题转化为求函数的最值 ,同（ 1）可得 ，这里我们用换元法求最值，令 ，则有，注意到 ， 可取负数，即 为钝角，因此在 取负值中的最小值时， 取最大值 . （ 1）设
11、 ， ， . 依题意有 ， . 3分 由 ，得 ，解得 ，故点 应选在距 点 2 处 . 6分 （ 2）设 ， ， . 依题意有 ， ， 10分 令 ，由 ，得 ， 12分 ， ， 当 ，所张的角为钝角，最大角当 ，即时取得，故点 应选在距 点 处 . 14分 考点： (1)角相等的应用与列方程解应用题；（ 2）角与函数的最大值 . 阅读： 已知 、 ， ，求 的最小值 . 解法如下： ， 当且仅当 ，即 时取到等号， 则 的最小值为 . 应用上述解法，求解下列问题： （ 1）已知 ， ，求 的最小值； （ 2）已知 ，求函数 的最小值； （ 3）已知正数 、 、 ， ， 求证： . 答案：（
12、 1） 9；（ 2） 18；（ 3）证明见 . 试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（ “1”的代换），并加以运用 .主要就是 ，展开后就可应用基本不等式求得最值 .（ 1）；（ 2）虽然没有已知的 “1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出 “1”： ，因此有，展开后即可应用基本不等式；（ 3）观察求证式的分母，结合已知有 ，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如 与合并相加利用基本不等式有 ，从而最终得出 . （ 1） ， 2分 而 ， 当且仅当 时取到等号，则 ，即 的最小值为 . 5分 （ 2） ， 7分 而 ， ， 当且仅当 ，即 时取到等号，则
13、， 所以函数 的最小值为 . 10分 （ 3） 当且仅当 时取到等号，则 . 16分 考点：阅读材料问题， “1”的代换，基本不等式 . 已知函数 常数 ）满足 . （ 1）求出 的值，并就常数 的不同取值讨论函数 奇偶性； （ 2）若 在区间 上单调递减，求 的最小值； （ 3）在（ 2）的条件下，当 取最小值时，证明： 恰有一个零点 且存在递增的正整数数列 ，使得 成立 . 答案：（ 1） ， 时是偶函数， 时，非奇非偶函数；（ 2） ；（ 3）证明见 . 试题分析：（ 1）直接代入已知 可求得 ，根据奇偶函数的定义可说明函数是奇（偶）函数，如果要说明它不是奇（偶）函数，可举例说明，即 或
14、 ；（ 2）据题意，即当 时，总有 成立，变形整理可得 ，由于分母，故 ，即 ，注意到 ，从而 ，因此有 ；（ 3）在（ 2）的条件下， ，理论上讲应用求出零点 ，由函数表达式可看出，当时，无零点，当 时，函数 是递增函数，如有零点，只有一个，解方程 ，即 ，根据零点存在定理确定出 ，这个三次方程具体的解求不出，但可变形为 ，想到无穷递缩等比数列的和，有 ，因此可取 .证毕 . （ 1）由 得 ，解得 . 从而 ，定义域为 当 时，对于定义域内的任意 ，有 ， 为偶函数 2分 当 时， 从而 ， 不是奇函数；， 不是偶函数， 非奇非偶 . 4分 （ 2）对于任意的 ，总有 恒成立，即，得 . 6分 ， ， ，从而 . 又 ， ， 的最小值等于 . 10分 （ 3）在（ 2）的条件下， . 当 时， 恒成立，函数 在 无零点 . 12分 当 时，对于任意的 ，恒有， 即 ，所以函数 在 上递增，又 ， 在 是有一个零点 . 综上 相关试题 2014届上海市虹口区高三 5月模拟考试理科数学试卷（带）
