1、2014届上海市长宁、嘉定区高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设函数 的定义域为 ，若对于任意 、 ，当 时，恒有 ，则称点 为函数 图像的对称中心研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：考虑到正弦函数的性质，当 时，因此函数 关于点 对称，则， ，又 ，故所和为 考点：分组求和 设 、 是双曲线 ： （ ， ）的两个焦点， 是上一点， 若 ，且 最小内角的大小为 ，则双曲线 的渐近线方程 是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：不妨设 ，则由已知 ，得，又 ，因此 中最小角为 ，由余弦
2、定理得 ，解得 ，所以 ，渐近线方程为 ，选 B 考点：双曲线的定义，余弦定理，渐近线方程 下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 ”的否命题是 “若 ，则 ” B “ ”是 “ ”的必要不充分条件 C命题 “若 ，则 ”的逆否命题是真命题 D “ ”是 “ ”的充分不必要条件 答案： C 试题分析： 中，否命题应该是 “若 ，则 ”， 错； 中 时，有 ，故至少是充分的， 错； 中 “若 ，则 ”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选 ，而 应该是必要不充分条件 考点：充分必要条件，四种命题 运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对 所对应的点都在函数（ ） A 的图像上 B 的图像上
3、 C 的图像上 D 的图像上 答案： D 试题分析：据题意，输出的第一个点是 ，可排除 ，第二个点是 ，又排除 ，故选 . 考点：程序框图 . 填空题 已知 为虚数单位，计算： _ 答案： 试题分析： 考点：复数的运算 定义函数 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，当 （ ）时，函数 的值域为 ，记集合 中元素的个数为 ，则 _ 答案： 试题分析：由题意， ，当 时， ， 的取值依次为共 个，即 ，由此可得， ，所以， . 考点：归纳推理，裂项相消求和，数列的极限 . 设 （ ），若 的内角 满足，则 _ 答案： 试题分析：由诱导公式可得 ， ，即，即 ，所以 ， . 考点：三角函数的周期性
4、 . 若不等式 在 时恒成立，则实数 的取值范围是_ 答案： 试题分析：由题意得 ， ，所以，因为 ，所以 . 考点：简单的不等式恒成立问题 . 设随机变量 的概率分布律如下表所示： 其中 ， ， 成等差数列，若随机变量 的的均值为 ，则 的方差为_ 答案： 试题分析：由题意有 ， ， ，解得，则其方差为 . 考点：随机变量的均值与方差 . 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 米时，量得水面宽为 米则水面升高米后，水面 宽是 _米（精确到 米） 答案： 试题分析：设抛物线方程为 ，当 x=0时 c=2，当 x=-4和 x=4时y=0，求得 ， b=0，则 ，令 y=1，得 ，所以水面宽. 考点：抛物
5、线方程 . 已知点 在曲线 ： （ 为参数）上，则 到曲线 的焦点的距离 为 _ 答案： 试题分析：消去参数 和，得曲线 的普通方程为 ，这是抛物线，其焦点为 ， . 考点：参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义 . 已知集合 ，集合 ，则_ 答案： 试题分析：由题意 ， 考点：集合的运算 函数 的最小正周期是 _ 答案： 试题分析： ， 考点：三角函数的周期 展开式中含 项的系数是 _ 答案： 试题分析： ，所以 的系数为 考点：二项展开式的系数 某校选修篮球课程的学生中，高一学生有 名，高二学生有 名，现用分层抽样的方法在这 名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了 人，则在高二学生中
6、应抽取 _人 答案： 试题分析：设高二学生抽取 人，则 ，解得 考点：分层抽样 在直角三角形 中， ， ，则 _ 答案： 试题分析： 考点：向量的数量积 对于任意 ，函数 的反函数 的图像经 过的定点的坐标是 _ 答案： 试题分析： ， 过点 ，则其反函数必过点 考点：反函数的性质 已知函数 将 的图像与 轴围成的封闭图形绕 轴旋转一周，所得旋转体的体积为 _ 答案： 试题分析： 考点：旋转体的体积 解答题 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知（ ），且 （ 1）当 ， 时，求 ， 的值； （ 2）若 为锐角，求实数 的取值范围 答案： (1) 或 ；（ 2） 试题分析：（ 1）
7、题设要求边，因此已知中角的关系应该转化为边的关系，显然应用正弦定理可达到目的， ，再由已知 ，与 联立可解得 ；（ 2）已知 为锐角，即 ，因此为了求 的范围，最好能把用 表示出来，首先用余弦定理 ，把已知条件代入，可得所想要的关系式，即 ，由此可求得范围 . 试题：（ 1）由正弦定理得， ，所以 ， （ 2分） 又 ，所以 或 （ 5分）（少一组解扣 1分） （ 2）由余弦定理， ，（ 1分） 即 ， （ 2分） 所以 （ 4分） 由 是锐角，得 ，所以 （ 6分） 由题意知 ，所以 （ 7分） 考点：（ 1）正弦定理；（ 2）余弦定理及三角函数值的范围 . 在如图所示的多面体中，四边形 为
8、正方形，四边形 是直角梯形， ， 平面 ， （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小 答案：（ 1）证明见；（ 2） 试题分析：本题中由于垂直关系较多，由题意易得 两两相互垂直，因此可以他们分别为 轴建立空间直角坐标系，若设 ，则 ， ， ， ， 这样第（ 1）题证明线面垂直，计算出 ，就能证得结论；而第（ 2）题 只要求出平面 和平面 的法向量，这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补，其中平面 是坐标平面 平面，其法向量可取 ，从而只要再求一个法向量即可当然如果不用空间向量，也可直接证明，第（ 1）题只要用平面几何知识在直角梯形 中证得，又有 ，线面垂直
9、易得，为此取 中点 ，可得 是正方形， ，接着可得 ，正好辅助线 就是所求二面角的棱，可证 就是平面角，这个角是 试题：（ 1）由已知， ， ， 两两垂直，可以 为原点， 、 、所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 （ 1分） 设 ，则 ， ， ， ， 故 ， ， ， （ 3分） 因为 ， ，故 ， ， 即 ， ， （ 5分） 所以， 平面 （ 6分） （ 2）因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量 为 ， （ 1分） 点 的坐标为 ，则 ， ，（ 2分） 设平面 相关试题 2014届上海市长宁、嘉定区高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷（带） 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，
10、且椭圆 过点 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设斜率为 的直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，以线段 为底边作等腰三角形 ，其中顶点 的坐标为 ，求 的面积 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析： (1)要确定椭圆方程，要确定 两个参数的值，因此需要两个条件，题中有焦点为 ， 即 ，又椭圆过点 ，代入方程又得到一个关于 的等式，联立可解得 ； (2) 直线和圆锥曲线相交问题，一般都是设出直线方程，本题直线 的方程可设为 ，代入椭圆方程得到关于 的一元二次方程，再设交点为，则可得 ， ，而条件等腰三角形 的应用方法是底边 边上的中线就是此边上的高，即取 中点为 ，则 由此可求得 从而得到 坐标，
11、最终求得 的面积 试题：（ 1）由已知得 ，因为椭圆 过点 ，所以 （ 2分） 解得 （ 5分） 所以，椭圆 的方程为 （ 6分） （ 2）设直线 的方程为 ， （ 1分） 由 得 （ 2分） 因为直线 与椭圆 交于不同两点 、 ，所以 ， 所以 （ 3分） 设 ， ，则 ， 是方程 的两根，所以 ， 设 的中点为 ，则 ， ， （ 4分） 因为 是等腰三角形 的底边，所以 ，向量 是直线 的一个法向量， 所以 向量 ，即 向量 ， 所以 ，解得 （ 5分） 此时方程 变为 ，解得 ， ，所以 又 到直线 相关试题 2014届上海市长宁、嘉定区高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷（带） 设数列
12、 ， ， ，已知 ， ， ， ， （ ） （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）求证：对任意 ， 为定值； （ 3）设 为数列 的前 项和，若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2）证明见；（ 3） 试题分析：（ 1）根据已知条件与待求式，作差 ，可得，而 ，故数列 是等比数列，通项公式可求；（ 2）考虑要证的表达式求和 ，表面上看不出什么，但由 ，可得，由由 ，可以想象 ，是常数，因此可用数学归纳法证明；（ 3）由（ 1）（ 2）可解得 ，那么其前 项和可用分组求和法求得， ，这样我们就可求出， ，相当于 ，由于，从而 ，一直是我们只要求得的最大值 和 的最小值 ，则
13、就是 ，由此可求得 的范围 试题：（ 1）因为 ， ，所以 （ ）， （分） 所以 ， ， ， （ 2分） 即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， （ 3分） 所以 （ 4分） （ 2）解法一： ， （ 1分） 因为 ，所以 ， ， 猜测： （ ） （ 2分） 用数学归纳法证明： 当 时， ，结论成立； （ 3分） 假设当 （ ）时结论成立，即 ，那么当 时，即 时结论也成立 （ 5分） 由 ， 得，当 时， 恒成立，即 恒为定值（ 6分） 解法二： ， （ 1分） 所以 ，（ 4分） 而 ，所以由上述递推关系可得，当 时， 恒成立，即 恒为定值（ 6分） （ 3）由（ 1）、（ 2）知 ，
14、所以 ，（ 1分） 所以 ， 所以 ， （ 2分） 由 得 ， 因为 ，所以 设 是实数，函数 （ ） （ 1）求证：函数 不是奇函数； （ 2）当 时，求满足 的 的取值范围； （ 3）求函数 的值域（用 表示） 答案：（ 1）证明见；（ 2） ；（ 3）当 时，函数的值域是 ； 当 时，函数 的值域是 ；当 时，函数 的值域是 试题分析：（ 1）要证明函数 不是奇函数，可用定义证，也可用其必要条件 证，实质上证明否定性命题，只要举一个反例即能说明，本题上中，就说明 不是奇函数了；（ 2）由于 ，函数式中的绝对值符号可去掉，即 ，本题就是解关于 的不等式，变形得 ，由于 恒成立，因此，即 ，
15、这是应该分两种情况 和 分别求解；（ 3）本题要求函数的值域，一个要用换元法把指数式转化为一般的代数式，其次要能够对绝对值进行处理（实质是分类讨论，分段函数），设 ，则 ，原函数变为 ，由（ 1）的结论知当 时，有，值域可求，当 时函数为 注意分段求解，每一个都是二次函数在给定区间上求值域，最后还要适当合并，得出结论 时， ，是增函数，则有 ，当 时，还要分 和 两类情况讨论 试题：（ 1）假设 是奇函数，那么对于一切 ，有 ， 从而 ，即 ，但是 ，矛盾 所以 不是奇函数（也可用 等证明） （ 4分） （ 2）因为 ， ，所以当 时， ，由 ，得 ，即 ， ，（ 2分） 因为 ，所以 ，即 （ 3分） 当 ，即 时， 恒成立，故 的取值范围是 ；（ 4分） 当 ，即 时，由 ，得 ，故 的取值范围是 （ 6分） （ 3）令 ，则 ，原函数变成 若 ，则 在 上是增函数，值域为 （ 2分） 若 ，则 （ 3分） 对于 相关试题 2014届上海市长宁、嘉定区高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷（带）
