1、2014届上海市闸北区高三 5月模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为 ，其图像上任一点 都位于椭圆： 上，下列判断 函数 一定是偶函数； 函数 可能既不是偶函数，也不是奇函数； 函数 可能是奇函数； 函数如果是偶函数，则值域是 ； 函数 值域是 ，则一定是奇函数 .其中正确的命题个数有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：如图是椭圆的图象，去掉点 后，椭圆上每一点都有可能是函数 的图象上点，如图象是 弧和 弧，则 不是偶函数；的图象可能取弧 ，另外在 弧上取一段，在 弧上取一段，这样既不是奇函数，也不是偶函数；当然也可能是奇函数，也有可能是偶
2、函数；当 为偶函数时，值域不一定是 ，也不一定是 ；由图象的对称性，及当值域是 时，函数一定是奇函数，因此 正确，选 C 考点：函数的奇偶性的定义 已知 为双曲线 的左右焦点，点 在 上， ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由题意， ， ，即 ，又 ， 所以 考点：双曲线的定义与性质，余弦定理 某高中学校采用系统抽样方法，从该校全体 800名学生中抽 50名学生做牙齿健康检查 .现将 800名学生从 1到 800进行编号，求得间隔数 k =16，即每 16人抽取一个人 .在 116中随机抽取一个数，如果抽到的是 7，则从 33 48这 16个数中应取的数是（ ） A 40 B
3、 39 C 38 D 37 答案： B 试题分析：由于 ，因此选 B 考点：系统抽样 执行如图所示的程序框图若输入 ，则输出 的值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：根据程序框图， 的值依次为 ， ， ， ， ， ，由于 ，因此输出的 ，选 C 考点：算法，程序框图 填空题 函数 的最小正周期为 . 答案： 试题分析： . 考点：三角函数的周期 . 将正整数 （ ）任意排成 行 列的数表 .对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数 （ ）的比值 ，称这些比值中的最小值为这个数表的 “特征值 ”.若 表示某个 行 列数表中第 行第 列的数（ ， ），且满足 ，当 时数表的 “特
4、征值 ”为 _ 答案： 试题分析：写出对应的数表： ，每行中比值的最小值分别为 ， ，各列中比值的最小值分别为 ， ， ，再在其中取最小值为 . 考点：新定义 . 过点 且方向向量为 的直线交椭圆 于两点，记原点为 , 面积为 ,则 _ 答案： 试题分析：记 ， ，因为 ，即 的极限点为 ，过 且方向向量为 的直线方程为 ，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点 ，而 ，因此 . 考点：数列的极限 . 对于正项数列 ，定义 为 的 “光阴 ”值，现知某数列的 “光阴 ”值为 ，则数列 的通项公式为 _ 答案： 试题分析：由题意 ， ， ，所以，则 时， ，两式相减得 ， ， 也适合此式，故. 考
5、点：新定义与数列的通项公式 . 已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长为 2的正三角形，那么它的左视图面积的最小值是 _ 答案： 试题分析：如图，正三棱柱 中， 分别是 的中点，则当面 与侧面平行时，左视图面积最小，且面积为 . 考点：三视图 . 已知 的内角 的对边分别为 ,且, 则 _ 答案： 试题分析：由正弦定理已知条件可化为 ，所以，即 ，所以 ，所以 . 考点：正弦定理与余弦定理 . 某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是 时，则该圆锥体的体积是 . 答案： 试题分析：设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，则 ， ， ，所以圆锥的高为 ，体积为 . 考点：圆锥的侧面展
6、开图与体积 . 函数 的反函数为 _. 答案： 试题分析：由题意得 ， ，所以反函数为 . 考点：反函数 . 已知集合 , ，则 =_ 答案： 试题分析： , ，所以 . 考点：集合的运算 . 已知 ，则 =_ 答案： 试题分析：由于 ，所以 ，所以 考点：行列式 设 是虚数单位，复数 为方程 的一个根，则=_. 答案： 试题分析：由题意 是它的另一个根，因此 . 考点：实系数方程的复数根 . 的展开式中 的系数为 _ (用数字作答 ) 答案： 试题分析：通项为 ，令 ， ，所以 的系数为 考点：二项展开式的系数 设实数 满足不等式组 ,则目标函数 的最大值为_ 答案： 试题分析 :作出约束条
7、件表示的可行域，如图 内部（含边界），再作直线，平移直线 ，当 过点 时， 取得最大值 2. 考点：线性规划 . 从 4名男同学和 3名女同学中随机选出 3人参加演讲比赛 ,则男女同学都被抽到的概率为 _ （用数字作答） 答案： 试题分析：由题意 . 考点：古典概型 . 解答题 直三棱柱 的底面为等腰直角三角形， ， 分别是 的中点。求异面直线 和所成角的大小。 答案： 试题分析： 如图取 中点 ,连结 分别为中点， 则 即异面直线 和 所成角（或补角） +3分 +7分 +11分 异面直线 和 所成角大小为 +12分 （说明：也可证 平面 ,从而得到 为直角解直角三角形） 考点：异面直线所成的
8、角 如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形 ,其中 位于边 上， 位于边上 .已知 米， ,设 ,记 ，当 越大，则污水净化效果越好 . (1)求 关于的函数式，并求定义域； (2)求 最大值，并指出等号成立条件？ 答案：（ 1） ；（ 2） 时， 取得最大值 3 试题分析： (1)我们只要求出两边 ，就能求出 的面积，从图中易知在 中， ，在 中， ，由此； （ 2）由 表达式可知，要求其最大值，必须把它转化为一个三角函数，且为一次的函数形式，即化为 形式，这样问题可利用正弦函数 的性质 解决 （ 1） , +2分 +4分 +6分 ，
9、+7分 （ 2） +11分 当 时，即 时 +13分 答 ：当 时， 的最大值为 3 +14分 考点：（ 1）三角形的面积；（ 2）三角函数的最值问题 数列 的首项 , 求数列 的通项公式； 设 的前 项和为 ,求 的最小值 . 答案： (1)；（ 2） . 试题分析：（ 1）由题设递推关系， ，得 ，两式相减可得 ，这说明数列 的奇数项与偶数项分别成等差数列，只要根据题意再求出 ，就能写出其通项公式；（ 2）由于奇数项与偶数项的表达式不相同，因此在求 时，要按 的奇偶分类讨论，当 为偶数，即时，可求出 ，当 为奇数时，可求出，从而 S，则题意，则应该有，由此得 的范围 . （ 1） +1分
10、又 ， 则 即奇数项成等差，偶数项成等差 +3分 +6分 （或 : ） （ 2）当 为偶数，即 时： +9分 当 为奇数，即 时： +12分 +14分 考点：（ 1）数列的通项公式；（ 2）数列的前 项和与最小值问题 . 定义函数 ( 为定义域 )图像上的点到坐标原点的距离为函数的 的模 .若模存在最大值，则称之为函数 的长距；若模存在最小值，则称之为函数 的短距 . (1)分别判断函数 与 是否存在长距与短距，若存在，请求出 ; (2)求证：指数函数 的短距小于 1; (3)对于任意 是否存在实数 ，使得函数 的短距不小于 2，若存在，请求出 的取值范围；不存在，则说明理由？ 答案：（ 1）
11、 短距为 ，长距不存在， 短距为 ，长距为 5；（ 2）证明见；（ 3） . 试题分析：本题属于新定义概念，问题的实质是求函数 图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话） ,正面讨论时我们把距离表示为 的函数 .（ 1）对 ， （当且仅当 时等号成立），因此存在短距为 ，不存在长距，对 ， ， ，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（ 2）对函数 ， ，由于 ，因此短距不大于 1，令 ，则有 ，故当 时，存在 使得 ，当 时，存在 使得 ，即证；（ 3）记 ，按题意条件，则有不等式对 恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，按 分别讨
12、论，由此可求得 的范围 . （ 1）设 （当且仅当 取得等号） +2分 短距为 ，长距不存在。 +4分 （ 2）设 +6分 +8分 短距为 ，长距为 5。 +9分 （ 3）设 函数 的短距不小于 2 即 对于 始终成立： +10分 当 时： 对于 始终成立 +12分 当 时：取 即可知显然不成立 +13分 当 时： 对于 始终成立 +15分 综上 +16分 考点：新定义概念，函数的最大值与最小值，不等式恒成立问题 . 在平面直角坐标系 中，原点为 ,抛物线 的方程为 ,线段 是抛物线 的一条动弦 (1)求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ; (2)若 ,求证：直线 恒过定点； (3)当 时，设圆
13、,若存在且仅存在两条动弦 ,满足直线 与圆 相切，求半径 的取值范围？ 答案：（ 1）准线方程： ，焦点坐标 ；（ 2）证明见；（ 3）. 试题分析：（ 1）根据抛物线标准方程确定焦点在哪个轴上及开口方向，焦点为，准线方程为 ；（ 2）本题实质是直线与抛物线相交问题，一般是设直线 方程为 ，与抛物线方程联立方程组，消去 可得，再设 ，则有 ， ，而，把刚才求出的 代入可得 的关系，本题中求得 为常数，因此直线 A一定过定点 ；（ 3）由（ 2）利用可求出 的关系式， ，则 ，而直线 与圆相切，则圆心到直线的距离 等于圆的半径 ，即 ，由题意，作为关于 的方程，此方程只有两解，设 ，则有 ，由于在 时是减函数，且 ，即函数 在 时递减 ，在 时递增 ，因此为了保证 有两解，即 只有一解，故要求 . （ 1）准线方程： +2分 焦点坐标： +4分 （ 2）设直线 方程为 , 得 +6分 +8分 直线 过定点（ 0， 2） +10分 （ 3） +12分 +14分 令 当 时， 单调递减， +15分 当 时， 单调递增， +16分 存在两解即 一解 +18分 考点：（ 1）抛物线的性质；（ 2）直线与抛物线相交问题；（ 3）圆的切线的条数与方程的解 .
